[Alg] fusion de deux théorèmes et exercices déplacés (fin du chapitre)

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+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -44,24 +44,24 @@ Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne un
 
 \section{Algèbres finies sur un corps}
 
-\subsection{Généralités, conséquences du lemme chinois}\label{consequences lemme chinois}
+\subsection{Généralités et théorème de structure}\label{consequences lemme chinois}
 
 \begin{définition2}\label{définition algèbre finie sur corps}
 Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre de dimension finie
 en tant que $k$-espace vectoriel est dite \emph{finie} \index{algèbre finie} sur $k$.
 \end{définition2}
-On note également $[A:k]$ la dimension $\dim_k(A)$.
+
+On note également $[A:k]$ sa dimension $\dim_k(A)$.
 
 Le théorème suivant est l'ingrédient clef qui mène à la structure
 des $k$-algèbres finies.
 
-\begin{théorème2}\label{Spec=Specmax-cas-part}
+\begin{proposition2}\label{Spec=Specmax-cas-part}
 Tout idéal premier d'une $k$-algèbre finie est maximal.
-\end{théorème2}
+\end{proposition2}
 
 En d'autres termes, si $𝔭$ est un idéal premier d'une $k$-algèbre $A$,
 l'anneau quotient $A/𝔭$, \emph{a priori} seulement intègre, est un \emph{corps}.
-
 Il est d'usage de noter $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$)
 l'ensemble des idéaux premiers (resp. maximaux) de $A$ (\refext{Spec}{spectre}).
 Le théorème affirme donc que, pour une $k$-algèbre finie,
@@ -85,7 +85,7 @@ de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que
 $m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\subsubsection{}Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
+\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
 Pour chaque $𝔭∈\Spec(A)=\Specmax(A)$ notons $κ(𝔭)$ le corps $A/𝔭$.
 Les idéaux $𝔭∈\Spec(A)$ étant maximaux donc premiers entre eux
 deux-à-deux, il résulte du lemme chinois, rappelé en
@@ -119,150 +119,90 @@ sont dits \emph{rationnels} sur $k$. On vérifie
 sans peine (\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux})
 que l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ 
 associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
-aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
+aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
 des idéaux premiers rationnels.
-La projection ci-dessus est donc un isomorphisme 
-\ssi l'injection d'ensembles $A^{\japmath{田}}(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
+La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
+\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
 
-Enfin, il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
+\subsubsection{Morphisme d'évaluation}Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
 démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
-$(\star\star)$, réécrite sous la forme 
+$(\star\star)$, réécrite sous la forme
 \[
-A↠k^{A^{\japmath{田}}(k)},
+A↠k^{\japmath{田}A(k)},
 \]
 coïncide avec l'application d'évaluation
-$a↦\big(f∈A^{\japmath{田}}(k)↦f(a)\big)$.
+$a↦\big(f∈\japmath{田}A(k)↦f(a)\big)$.
 D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
 chaque idéal premier est rationnel.
 
-Enfin, l'anneau $A$ étant artinien, l'ensemble $π₀(A)$ de
-ses composantes connexes est fini (\refext{Spec}{pi0(artinien)=fini})
-et $A$ est isomorphe à un produit indicé par $π₀(A)$
-de $k$-algèbres finies connexes $A_𝔵$ (\refext{Spec}{décomposition en
-produit de connexes si pi0 fini}). L'égalité
-$[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment
-la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$.
+\subsubsection{Composantes connexes}
+Une $k$-algèbre finie est un anneau artinien (\refext{Spec}{définition
+artinien-noethérien}) car toute suite décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
+d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit
+anneaux locaux}, $A$ est produit de $k$-algèbres quotients
+qui sont locales. On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'un
+anneau artinien local $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal
+est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
+(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}).
+Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$
+de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble
+$π₀(A)$ des composantes connexes est en bijection
+avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)).
+
+L'égalité $[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment
+la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$, avec égalité si et seulement
+si chaque $A_𝔵$ est isomorphe à $k$.
 
 Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
 le théorème suivant.
 
 \begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
-Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
 \begin{enumerate}
-\item $\Spec(A)$ est fini et coïncide avec $\Specmax(A)$.
-\item $\# A^{\japmath{田}}(k)≤\#\Spec(A)≤[A:k]$, où $A^{\japmath{田}}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$.
-\item $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$.
-\item L'épimorphisme « chinois » $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$ est un isomorphisme \ssi $A$ est
+\item Le spectre $\Spec(A)$ est fini de cardinal au plus $[A:k]$ ;
+il coïncide avec $\Specmax(A)$ et est en bijection naturelle avec $π₀(A)$.
+\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
+∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent.
+\item L'application $\japmath{田}A(k) →  \Spec(A)$, $f ↦ \Ker(f)$, est
+une injection.
+\item L'épimorphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est un isomorphisme \ssi $A$ est
 réduit.
-\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{A^{\japmath{田}}(k)}$ est surjectif.
-C'est un isomorphisme \ssi $\# A^{\japmath{田}}(k)=[A:k]$.
+\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est surjectif.
+C'est un isomorphisme \ssi $\# \japmath{田}A(k)=[A:k]$.
 \end{enumerate}
 \end{théorème2}
 
 En conséquence, une $k$-algèbre finie \emph{réduite} est
 isomorphe à un produit fini de corps.
 
-\begin{remarque2}
-La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit
-un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels
-(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que
-le diagramme
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[auto]
-\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\};
-\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
-\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2);
-\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2);
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
-déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$
-et des isomorphismes susmentionnés est commutatif.
-\end{remarque2}
-
+%\begin{remarque2}
+%La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit
+%un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels
+%(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que
+%le diagramme
+%\begin{center}
+%\begin{tikzpicture}[auto]
+%\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+%A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\};
+%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2);
+%\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2);
+%\end{tikzpicture}
+%\end{center}
+%déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$
+%et des isomorphismes susmentionnés est commutatif.
+%\end{remarque2}
 
-\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents}
-Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable 
-(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$
-associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection 
-entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
-(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.)
-\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
-$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
-\end{enumerate}
-\end{exercice2}
-
-\subsection{Structure des $k$-algèbres finies}
-
-\begin{théorème2}\label{structure-algebres-finies}
-Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
-dont l'idéal maximal est nilpotent.
-\end{théorème2}
-
-Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation
-partielle du théorème précédent. Remarquons que, plus généralement,
-le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal
-est un anneau local.
-
-\begin{démo}
-Une $k$-algèbre finie $A$ est un anneau artinien car toute suite
-décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
-d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit
-anneaux locaux}, $A$ est un produit d'anneaux locaux, qui
-en sont des quotients donc, de manière naturelle, des $k$-algèbres.
-On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'une algèbre
-artinienne locale $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal
-est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
-(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}).
-\end{démo}
-
-\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
-D'après le théorème \ref{k-algebres-finies}, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et
-constitué d'idéaux \emph{maximaux}. Notons $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ ses éléments.
-Puisqu'ils sont deux-à-deux étrangers (\refext{Spec}{ideaux etrangers}), le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$
-(\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}) coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
-L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que
-$\Nilp(A)^N=\{0\}$ (\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). Comme $\Nilp(A)^N=(𝔪₁\cdots
-𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$.
-Il résulte de \refext{Spec}{puissance-etrangers=etrangers}
-que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois
-(\refext{Spec}{lemme chinois}) que le morphisme canonique
-$A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme. D'autre part, pour tout $1≤i≤n$, l'anneau
-$A/𝔪_i^N$ est local. Enfin, si $B$ est une $k$-algèbre finie locale d'idéal
-maximal $𝔪$, on a $\Nilp(B)=𝔪$ (\ref{k-algebres-finies} (i) et
-\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}). Ce nil-idéal
-est nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}.
-\end{démo}
+\begin{définition2}
+\label{définition hensélien}
+Un anneau local $k$ est dit \emph{hensélien}\index{hensélien, anneau hensélien}
+si toute $k$-algèbre $A$ finie en tant que $k$-module est un
+produit d'anneaux locaux.
+\end{définition2}
 
-\begin{remarque2}
-Un anneau local $k$ tel que toute $k$-algèbre finie $A$ soit un produit d'anneaux
-locaux est un anneau dit \emph{hensélien}\index{anneau hensélien}. Le
-théorème précédent affirme donc qu'un corps est un
-anneau hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau
+D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), un corps est un anneau
+hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau
 des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.
-\end{remarque2}
-
-Bien entendu, le résultat ci-dessous n'est qu'un premier pas vers
-une éventuelle classification des algèbres finies sur un corps.
-
-\begin{proposition2}
-Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
-infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Cf. Poonen \XXX
-\end{démo}
-
-\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
-Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
-dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
-dimension quatre.
-Indications. \XXX
-\end{exercice2}
 
 \subsection{Algèbres diagonalisables}
 
@@ -568,10 +508,6 @@ Soient $A$ et $B$ deux $k$-algèbres diagonalisables. La $k$-algèbre $A⊗_k B$
 Cela résulte du calcul fait en \ref{kXtenskY} ci-dessus.
 \end{démo}
 
-\begin{exercice2}
-Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
-$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
-\end{exercice2}
 
 \section{Extensions algébriques}
 
@@ -795,35 +731,6 @@ est donc finie (cf. \emph{loc. cit.}) de sorte que $k(x)⊆K₀(x)$ est de
 dimension finie sur $k$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons}
-Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
-inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
-On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
-adéquats.
-\end{exercice2}
-
-\begin{exercice2}
-Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. 
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
-\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante.
-Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$
-dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$.
-\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle,
-qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
-\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
-toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
-dont les autres racines sont des nombres complexes de module
-strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
-\[
-\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
-\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
-\]
-(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
-nombre de Pisot.}.
-\end{enumerate}
-\end{exercice2}
-
 \subsection{Extensions composées}
 
 \begin{définition2}\label{extension-composee}
@@ -929,23 +836,6 @@ contient les $u(λ)$, c'est $E$ tout entier.
 Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur corps stable par cb} et \refext{Ent}{cb-entier}.
 \end{démo}
 
-\subsubsection{Exercices}
-
-\begin{exercice3}
-Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
-l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$.
-\end{exercice3}
-
-\begin{exercice3}\label{non unicite composition}
-Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
-irréductible. À quelle condition sur $f$
-les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
-toutes $k$-isomorphes ?
-(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$
-pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est 
-$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
-(v)).)
-\end{exercice3}
 
 \subsection{Corps de rupture et de décomposition d'un polynôme}
 
@@ -1043,10 +933,6 @@ sont des isomorphismes. Comme $u_i$ induit un isomorphisme $K_i⥲u_i(K_i)$, on
 un diagramme d'isomorphismes $K₁⭇E⭉K₂$.
 \end{démo}
 
-\begin{exercice2}
-Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
-de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? 
-\end{exercice2}
 
 \subsection{Corps de décomposition d'une famille de polynômes}
 
@@ -1270,38 +1156,6 @@ on parlera — conformément à \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel} �
 d'\emph{une} clôture algébrique d'un corps.
 \end{remarque2}
 
-\subsubsection{Exercices}
-\begin{exercice3}%Difficile à ce niveau là.
-Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
-tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
-est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
-$k$.)
-% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
-% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
-% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
-% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
-\end{exercice3}
-
-\begin{exercice3}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
-\begin{enumerate}
-\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
-Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
-tels que $|f(z)|<1$.
-\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$.
-\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet
-un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est 
-nul.)
-\end{enumerate}
-\end{exercice3}
-
-\begin{exercice3}
-Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
-À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
-% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
-\end{exercice3}
-
-
-
 \section{Trace et norme}\label{trace-et-norme}
 
 Dans ce paragraphe, contrairement à la convention de ce chapitre, $k$ 
@@ -2027,59 +1881,6 @@ Ainsi, $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$ est réduit à l'ensemble $\{0\}$. CQFD.
 %Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux
 %hensélien, p.38 dans le cas d'un corps infini.
 
-\subsubsection{Exercices}
-
-
-\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
-\begin{enumerate}
-\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
-$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
-de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement
-$A→T$.
-
-\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons
-$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$.
-Montrer que le carré 
-
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[auto]
-\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-\overline{φ} & φ \\
-\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\
-\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\
-x & (x,v)
- \\};
-\draw[<-|] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
-\draw[<-] (diag-2-1) --  (diag-2-2);
-\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1);
-\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2);
-\draw[<-] (diag-3-1) --  (diag-3-2);
-\draw[<-|] (diag-4-1) --  (diag-4-2);
-%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1);
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
-où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif.
-\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette
-sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, 
-nécessairement $f'(x)∈k^×$.
-\end{enumerate}
-\end{exercice2}
-
-\begin{exercice2}
-Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
-Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre 
-suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
-L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme
-naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$
-de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
-\begin{enumerate}
-\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
-vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
-\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
-$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
-\end{enumerate}
-\end{exercice2}
-
 \subsection{Algèbres étales}
 
 Dans ce paragraphe, on note $k$ un corps.
@@ -2686,6 +2487,190 @@ général dit de \emph{localisation}.
 
 %Géo diff aussi (jacobienne etc.) : cf. (f,f')
 
+\section{Exercices}
+
+\begin{exercice}
+Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
+infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
+\end{exercice}
+
+\begin{démo}
+Cf. Poonen \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
+Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
+dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
+dimension quatre.
+Indications. \XXX
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies}
+Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre
+sans faire appel à la notion d'anneau connexe que
+toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
+dont l'idéal maximal est nilpotent. Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
+\begin{enumerate}
+\item Soient $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ les idéaux maximaux de $A$.
+Montrer que le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$
+coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
+\item Montrer qu'il existe $N ∈ 𝐍$ tel que $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$.
+\item En déduire que le morphisme canonique $A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme.
+\item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local.
+\item Conclure.
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}\label{algebres finies via idempotents}
+Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable
+(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$
+associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection
+entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
+(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.)
+\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
+$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
+$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}\label{utilisation matrices compagnons}
+Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
+inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
+On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
+adéquats.
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. 
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
+\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante.
+Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$
+dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$.
+\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle,
+qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
+\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
+toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
+dont les autres racines sont des nombres complexes de module
+strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
+\[
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
+\]
+(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
+nombre de Pisot.}.
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
+l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$.
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}\label{non unicite composition}
+Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
+irréductible. À quelle condition sur $f$
+les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
+toutes $k$-isomorphes ?
+(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$
+pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est 
+$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
+(v)).)
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
+de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? 
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}%Difficile à ce niveau là.
+Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
+tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
+est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
+$k$.)
+% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
+% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
+% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
+% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
+\begin{enumerate}
+\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
+Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
+tels que $|f(z)|<1$.
+\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$.
+\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet
+un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est 
+nul.)
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
+% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
+\begin{enumerate}
+\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
+$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
+de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement
+$A→T$.
+
+\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons
+$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$.
+Montrer que le carré
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\overline{φ} & φ \\
+\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\
+\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\
+x & (x,v)
+ \\};
+\draw[<-|] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
+\draw[<-] (diag-2-1) --  (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2);
+\draw[<-] (diag-3-1) --  (diag-3-2);
+\draw[<-|] (diag-4-1) --  (diag-4-2);
+%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif.
+\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette
+sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, 
+nécessairement $f'(x)∈k^×$.
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+\begin{exercice}
+Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
+Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre 
+suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
+L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme
+naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$
+de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
+\begin{enumerate}
+\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
+vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
+\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
+$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
+\end{enumerate}
+\end{exercice}
+
+
+
+
 
 \ifx\danslelivre\undefined
 \bibliography{../configuration/bibliographie-livre}