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[Alg] fusion de deux théorèmes et exercices déplacés (fin du chapitre)
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Le théorème suivant est l'ingrédient clef qui mène à la structure des $k$-algèbres finies. -\begin{théorème2}\label{Spec=Specmax-cas-part} +\begin{proposition2}\label{Spec=Specmax-cas-part} Tout idéal premier d'une $k$-algèbre finie est maximal. -\end{théorème2} +\end{proposition2} En d'autres termes, si $𝔭$ est un idéal premier d'une $k$-algèbre $A$, l'anneau quotient $A/𝔭$, \emph{a priori} seulement intègre, est un \emph{corps}. - Il est d'usage de noter $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$) l'ensemble des idéaux premiers (resp. maximaux) de $A$ (\refext{Spec}{spectre}). Le théorème affirme donc que, pour une $k$-algèbre finie, @@ -85,7 +85,7 @@ de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que $m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD. \end{démo} -\subsubsection{}Considérons une $k$-algèbre finie $A$. +\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}Considérons une $k$-algèbre finie $A$. Pour chaque $𝔭∈\Spec(A)=\Specmax(A)$ notons $κ(𝔭)$ le corps $A/𝔭$. Les idéaux $𝔭∈\Spec(A)$ étant maximaux donc premiers entre eux deux-à-deux, il résulte du lemme chinois, rappelé en @@ -119,150 +119,90 @@ sont dits \emph{rationnels} sur $k$. On vérifie sans peine (\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux}) que l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$, -aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$ +aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$ des idéaux premiers rationnels. -La projection ci-dessus est donc un isomorphisme -\ssi l'injection d'ensembles $A^{\japmath{田}}(k)→\Spec(A)$ est une bijection. +La projection ci-dessus est donc un isomorphisme +\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection. -Enfin, il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.}, +\subsubsection{Morphisme d'évaluation}Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.}, démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et -$(\star\star)$, réécrite sous la forme +$(\star\star)$, réécrite sous la forme \[ -A↠k^{A^{\japmath{田}}(k)}, +A↠k^{\japmath{田}A(k)}, \] coïncide avec l'application d'évaluation -$a↦\big(f∈A^{\japmath{田}}(k)↦f(a)\big)$. +$a↦\big(f∈\japmath{田}A(k)↦f(a)\big)$. D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et chaque idéal premier est rationnel. -Enfin, l'anneau $A$ étant artinien, l'ensemble $π₀(A)$ de -ses composantes connexes est fini (\refext{Spec}{pi0(artinien)=fini}) -et $A$ est isomorphe à un produit indicé par $π₀(A)$ -de $k$-algèbres finies connexes $A_𝔵$ (\refext{Spec}{décomposition en -produit de connexes si pi0 fini}). L'égalité -$[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment -la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$. +\subsubsection{Composantes connexes} +Une $k$-algèbre finie est un anneau artinien (\refext{Spec}{définition +artinien-noethérien}) car toute suite décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori} +d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit +anneaux locaux}, $A$ est produit de $k$-algèbres quotients +qui sont locales. On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'un +anneau artinien local $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal +est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne +(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). +Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$ +de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble +$π₀(A)$ des composantes connexes est en bijection +avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)). + +L'égalité $[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment +la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$, avec égalité si et seulement +si chaque $A_𝔵$ est isomorphe à $k$. Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans le théorème suivant. \begin{théorème2}\label{k-algebres-finies} -Soit $A$ une $k$-algèbre finie. +Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}. \begin{enumerate} -\item $\Spec(A)$ est fini et coïncide avec $\Specmax(A)$. -\item $\# A^{\japmath{田}}(k)≤\#\Spec(A)≤[A:k]$, où $A^{\japmath{田}}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$. -\item $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$. -\item L'épimorphisme « chinois » $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$ est un isomorphisme \ssi $A$ est +\item Le spectre $\Spec(A)$ est fini de cardinal au plus $[A:k]$ ; +il coïncide avec $\Specmax(A)$ et est en bijection naturelle avec $π₀(A)$. +\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵 +∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent. +\item L'application $\japmath{田}A(k) → \Spec(A)$, $f ↦ \Ker(f)$, est +une injection. +\item L'épimorphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit. -\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{A^{\japmath{田}}(k)}$ est surjectif. -C'est un isomorphisme \ssi $\# A^{\japmath{田}}(k)=[A:k]$. +\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est surjectif. +C'est un isomorphisme \ssi $\# \japmath{田}A(k)=[A:k]$. \end{enumerate} \end{théorème2} En conséquence, une $k$-algèbre finie \emph{réduite} est isomorphe à un produit fini de corps. -\begin{remarque2} -La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit -un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels -(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que -le diagramme -\begin{center} -\begin{tikzpicture}[auto] -\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ -A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\}; -\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2); -\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2); -\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2); -\end{tikzpicture} -\end{center} -déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$ -et des isomorphismes susmentionnés est commutatif. -\end{remarque2} - +%\begin{remarque2} +%La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit +%un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels +%(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que +%le diagramme +%\begin{center} +%\begin{tikzpicture}[auto] +%\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ +%A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\}; +%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2); +%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2); +%\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2); +%\end{tikzpicture} +%\end{center} +%déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$ +%et des isomorphismes susmentionnés est commutatif. +%\end{remarque2} -\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents} -Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}. -\begin{enumerate} -\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable -(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$ -associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection -entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$. -(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.) -\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$, -$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme. -\end{enumerate} -\end{exercice2} - -\subsection{Structure des $k$-algèbres finies} - -\begin{théorème2}\label{structure-algebres-finies} -Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales}, -dont l'idéal maximal est nilpotent. -\end{théorème2} - -Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation -partielle du théorème précédent. Remarquons que, plus généralement, -le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal -est un anneau local. - -\begin{démo} -Une $k$-algèbre finie $A$ est un anneau artinien car toute suite -décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori} -d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit -anneaux locaux}, $A$ est un produit d'anneaux locaux, qui -en sont des quotients donc, de manière naturelle, des $k$-algèbres. -On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'une algèbre -artinienne locale $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal -est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne -(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). -\end{démo} - -\begin{démo}[Seconde démonstration] -Soit $A$ une $k$-algèbre finie. -D'après le théorème \ref{k-algebres-finies}, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et -constitué d'idéaux \emph{maximaux}. Notons $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ ses éléments. -Puisqu'ils sont deux-à-deux étrangers (\refext{Spec}{ideaux etrangers}), le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$ -(\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}) coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$. -L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que -$\Nilp(A)^N=\{0\}$ (\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). Comme $\Nilp(A)^N=(𝔪₁\cdots -𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$. -Il résulte de \refext{Spec}{puissance-etrangers=etrangers} -que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois -(\refext{Spec}{lemme chinois}) que le morphisme canonique -$A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme. D'autre part, pour tout $1≤i≤n$, l'anneau -$A/𝔪_i^N$ est local. Enfin, si $B$ est une $k$-algèbre finie locale d'idéal -maximal $𝔪$, on a $\Nilp(B)=𝔪$ (\ref{k-algebres-finies} (i) et -\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}). Ce nil-idéal -est nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}. -\end{démo} +\begin{définition2} +\label{définition hensélien} +Un anneau local $k$ est dit \emph{hensélien}\index{hensélien, anneau hensélien} +si toute $k$-algèbre $A$ finie en tant que $k$-module est un +produit d'anneaux locaux. +\end{définition2} -\begin{remarque2} -Un anneau local $k$ tel que toute $k$-algèbre finie $A$ soit un produit d'anneaux -locaux est un anneau dit \emph{hensélien}\index{anneau hensélien}. Le -théorème précédent affirme donc qu'un corps est un -anneau hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau +D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), un corps est un anneau +hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs. -\end{remarque2} - -Bien entendu, le résultat ci-dessous n'est qu'un premier pas vers -une éventuelle classification des algèbres finies sur un corps. - -\begin{proposition2} -Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une -infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -Cf. Poonen \XXX -\end{démo} - -\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}] -Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de -dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en -dimension quatre. -Indications. \XXX -\end{exercice2} \subsection{Algèbres diagonalisables} @@ -568,10 +508,6 @@ Soient $A$ et $B$ deux $k$-algèbres diagonalisables. La $k$-algèbre $A⊗_k B$ Cela résulte du calcul fait en \ref{kXtenskY} ci-dessus. \end{démo} -\begin{exercice2} -Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et -$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$. -\end{exercice2} \section{Extensions algébriques} @@ -795,35 +731,6 @@ est donc finie (cf. \emph{loc. cit.}) de sorte que $k(x)⊆K₀(x)$ est de dimension finie sur $k$. CQFD. \end{démo} -\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons} -Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps} -inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}. -On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux -adéquats. -\end{exercice2} - -\begin{exercice2} -Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. -\begin{enumerate} -\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$. -\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante. -Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$ -dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$. -\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle, -qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} -\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} -toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers -dont les autres racines sont des nombres complexes de module -strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle -\[ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 -\] -(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit -nombre de Pisot.}. -\end{enumerate} -\end{exercice2} - \subsection{Extensions composées} \begin{définition2}\label{extension-composee} @@ -929,23 +836,6 @@ contient les $u(λ)$, c'est $E$ tout entier. Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur corps stable par cb} et \refext{Ent}{cb-entier}. \end{démo} -\subsubsection{Exercices} - -\begin{exercice3} -Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que -l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$. -\end{exercice3} - -\begin{exercice3}\label{non unicite composition} -Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme -irréductible. À quelle condition sur $f$ -les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles -toutes $k$-isomorphes ? -(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$ -pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est -$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, -(v)).) -\end{exercice3} \subsection{Corps de rupture et de décomposition d'un polynôme} @@ -1043,10 +933,6 @@ sont des isomorphismes. Comme $u_i$ induit un isomorphisme $K_i⥲u_i(K_i)$, on un diagramme d'isomorphismes $K₁⭇E⭉K₂$. \end{démo} -\begin{exercice2} -Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation -de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? -\end{exercice2} \subsection{Corps de décomposition d'une famille de polynômes} @@ -1270,38 +1156,6 @@ on parlera — conformément à \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel} d'\emph{une} clôture algébrique d'un corps. \end{remarque2} -\subsubsection{Exercices} -\begin{exercice3}%Difficile à ce niveau là. -Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que -tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$ -est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de -$k$.) -% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines -% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que -% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$. -% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$. -\end{exercice3} - -\begin{exercice3}[Théorème de d'Alembert-Gauß] -\begin{enumerate} -\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$. -Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$ -tels que $|f(z)|<1$. -\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$. -\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet -un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est -nul.) -\end{enumerate} -\end{exercice3} - -\begin{exercice3} -Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. -À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ? -% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles. -\end{exercice3} - - - \section{Trace et norme}\label{trace-et-norme} Dans ce paragraphe, contrairement à la convention de ce chapitre, $k$ @@ -2027,59 +1881,6 @@ Ainsi, $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$ est réduit à l'ensemble $\{0\}$. CQFD. %Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux %hensélien, p.38 dans le cas d'un corps infini. -\subsubsection{Exercices} - - -\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion] -\begin{enumerate} -\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que -$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$ -de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement -$A→T$. - -\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons -$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$. -Montrer que le carré - -\begin{center} -\begin{tikzpicture}[auto] -\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ -\overline{φ} & φ \\ -\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\ -\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\ -x & (x,v) - \\}; -\draw[<-|] (diag-1-1) -- (diag-1-2); -\draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2); -\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1); -\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2); -\draw[<-] (diag-3-1) -- (diag-3-2); -\draw[<-|] (diag-4-1) -- (diag-4-2); -%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1); -\end{tikzpicture} -\end{center} -où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif. -\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette -sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, -nécessairement $f'(x)∈k^×$. -\end{enumerate} -\end{exercice2} - -\begin{exercice2} -Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module. -Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre -suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$. -L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme -naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$ -de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$. -\begin{enumerate} -\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées -vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$. -\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire -$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$. -\end{enumerate} -\end{exercice2} - \subsection{Algèbres étales} Dans ce paragraphe, on note $k$ un corps. @@ -2686,6 +2487,190 @@ général dit de \emph{localisation}. %Géo diff aussi (jacobienne etc.) : cf. (f,f') +\section{Exercices} + +\begin{exercice} +Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une +infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$. +\end{exercice} + +\begin{démo} +Cf. Poonen \XXX +\end{démo} + +\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}] +Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de +dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en +dimension quatre. +Indications. \XXX +\end{exercice} + +\begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies} +Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre +sans faire appel à la notion d'anneau connexe que +toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales}, +dont l'idéal maximal est nilpotent. Soit $A$ une $k$-algèbre finie. +\begin{enumerate} +\item Soient $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ les idéaux maximaux de $A$. +Montrer que le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$ +coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$. +\item Montrer qu'il existe $N ∈ 𝐍$ tel que $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$. +\item En déduire que le morphisme canonique $A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme. +\item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local. +\item Conclure. +\end{enumerate} +\end{exercice} + +\begin{exercice}\label{algebres finies via idempotents} +Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}. +\begin{enumerate} +\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable +(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$ +associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection +entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$. +(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.) +\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$, +$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{exercice} + +\begin{exercice} +Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et +$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$. +\end{exercice} + +\begin{exercice}\label{utilisation matrices compagnons} +Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps} +inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}. +On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux +adéquats. +\end{exercice} + +\begin{exercice} +Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. +\begin{enumerate} +\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$. +\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante. +Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$ +dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$. +\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle, +qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} +\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} +toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers +dont les autres racines sont des nombres complexes de module +strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle +\[ +\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+ +\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 +\] +(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit +nombre de Pisot.}. +\end{enumerate} +\end{exercice} + +\begin{exercice} +Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que +l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$. +\end{exercice} + +\begin{exercice}\label{non unicite composition} +Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme +irréductible. À quelle condition sur $f$ +les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles +toutes $k$-isomorphes ? +(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$ +pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est +$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, +(v)).) +\end{exercice} + +\begin{exercice} +Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation +de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? +\end{exercice} + +\begin{exercice}%Difficile à ce niveau là. +Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que +tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$ +est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de +$k$.) +% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines +% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que +% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$. +% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$. +\end{exercice} + +\begin{exercice}[Théorème de d'Alembert-Gauß] +\begin{enumerate} +\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$. +Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$ +tels que $|f(z)|<1$. +\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$. +\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet +un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est +nul.) +\end{enumerate} +\end{exercice} + +\begin{exercice} +Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. +À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ? +% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles. +\end{exercice} + +\begin{exercice}[Analogue algébrique de la notion d'immersion] +\begin{enumerate} +\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que +$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$ +de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement +$A→T$. + +\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons +$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$. +Montrer que le carré + +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ +\overline{φ} & φ \\ +\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\ +\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\ +x & (x,v) + \\}; +\draw[<-|] (diag-1-1) -- (diag-1-2); +\draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2); +\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1); +\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2); +\draw[<-] (diag-3-1) -- (diag-3-2); +\draw[<-|] (diag-4-1) -- (diag-4-2); +%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1); +\end{tikzpicture} +\end{center} +où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif. +\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette +sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, +nécessairement $f'(x)∈k^×$. +\end{enumerate} +\end{exercice} + +\begin{exercice} +Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module. +Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre +suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$. +L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme +naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$ +de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$. +\begin{enumerate} +\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées +vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$. +\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire +$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$. +\end{enumerate} +\end{exercice} + + + + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |