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[Spec, Alg] artinien=produit fini de connexes ; cas particulier k-algèbres finies
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 70cd5ea..4b7b49e 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -135,14 +135,23 @@ $a↦\big(f∈A^{\japmath{田}}(k)↦f(a)\big)$. D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et chaque idéal premier est rationnel. +Enfin, l'anneau $A$ étant artinien, l'ensemble $π₀(A)$ de +ses composantes connexes est fini (\refext{Spec}{pi0(artinien)=fini}) +et $A$ est isomorphe à un produit indicé par $π₀(A)$ +de $k$-algèbres finies connexes $A_𝔵$ (\refext{Spec}{décomposition en +produit de connexes si pi0 fini}). L'égalité +$[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment +la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$. + Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans -le théorème suivant. +le théorème suivant. \begin{théorème2}\label{k-algebres-finies} Soit $A$ une $k$-algèbre finie. \begin{enumerate} \item $\Spec(A)$ est fini et coïncide avec $\Specmax(A)$. \item $\# A^{\japmath{田}}(k)≤\#\Spec(A)≤[A:k]$, où $A^{\japmath{田}}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$. +\item $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$. \item L'épimorphisme « chinois » $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$ est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit. \item Le morphisme d'évaluation $A → k^{A^{\japmath{田}}(k)}$ est surjectif. @@ -185,39 +194,47 @@ $a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme. \end{enumerate} \end{exercice2} -%\begin{facultatif} -\subsection{Structure des $k$-algèbres finies (facultatif)} +\subsection{Structure des $k$-algèbres finies} \begin{théorème2}\label{structure-algebres-finies} -Soit $k$ un corps. -\begin{enumerate} -\item Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres -\emph{locales}, \cad ayant un unique idéal maximal. -\item L'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent. -\end{enumerate} +Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales}, +dont l'idéal maximal est nilpotent. \end{théorème2} -Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation -partielle du théorème précédent. -Remarquons que, plus généralement, le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal +Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation +partielle du théorème précédent. Remarquons que, plus généralement, +le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal est un anneau local. \begin{démo} -(i) Soit $A$ une $k$-algèbre finie. -D'après le théorème précédent, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et +Une $k$-algèbre finie $A$ est un anneau artinien car toute suite +décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori} +d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit +anneaux locaux}, $A$ est un produit d'anneaux locaux, qui +en sont des quotients donc, de manière naturelle, des $k$-algèbres. +On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'une algèbre +artinienne locale $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal +est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne +(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). +\end{démo} + +\begin{démo}[Seconde démonstration] +Soit $A$ une $k$-algèbre finie. +D'après le théorème \ref{k-algebres-finies}, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et constitué d'idéaux \emph{maximaux}. Notons $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ ses éléments. Puisqu'ils sont deux-à-deux étrangers (\refext{Spec}{ideaux etrangers}), le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$ (\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}) coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$. -L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que +L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que $\Nilp(A)^N=\{0\}$ (\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). Comme $\Nilp(A)^N=(𝔪₁\cdots -𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$. +𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$. Il résulte de \refext{Spec}{puissance-etrangers=etrangers} -que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois +que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois (\refext{Spec}{lemme chinois}) que le morphisme canonique $A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme. D'autre part, pour tout $1≤i≤n$, l'anneau -$A/𝔪_i^N$ est local. -(ii) Si $A$ est une $k$-algèbre locale d'idéal maximal $𝔪$, on a $\Nilp(A)=𝔪$, qui est -nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}. +$A/𝔪_i^N$ est local. Enfin, si $B$ est une $k$-algèbre finie locale d'idéal +maximal $𝔪$, on a $\Nilp(B)=𝔪$ (\ref{k-algebres-finies} (i) et +\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}). Ce nil-idéal +est nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}. \end{démo} \begin{remarque2} @@ -247,8 +264,6 @@ dimension quatre. Indications. \XXX \end{exercice2} -%\end{facultatif} - \subsection{Algèbres diagonalisables} %On rappelle que dans ce chapitre, on note $k$ un corps. @@ -276,9 +291,12 @@ est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections $\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. -(iv) ⇔ (ii) Résulte de \refext{Spec}{pi0 produit}, -\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini} et -\ref{pi0(artinien)=fini} \XXX. +(ii) ⇒ (iv). On a vu en \refext{Spec}{pi0 produit} +que $π₀(k^X)$ est canoniquement isomorphe à l'ensemble $X$, +dont le cardinal est égal à la dimension $[k^X:k]$. +(iv) ⇒ (ii). Le cas d'égalité se produit lorsque +chaque composante connexe $A_𝔵$ de $A$ est de dimension $1$ +sur $k$, c'est-à-dire isomorphe à $k$. (ii) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$. (v) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs @@ -1529,40 +1547,37 @@ Lorsque $A$ est un corps $K$, l'existence d'une extension $k ′ \bo k$ trivialisant $A$ entraîne l'existence d'un $k$-plongement — en général non unique — de $K$ dans $k ′$. En effet, la $k′$-algèbre $K⊗_k k ′$, étant isomorphe -à ${k ′}^r$ (où $r=[K:k]$) se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k -k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. (Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement -l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$.) +à ${k ′}^[K:k]$, elle se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k +k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement +par cette méthode l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$. \end{remarque2} - \begin{proposition2}\label{critere-numerique-diagonalisable} Soient $A$ une $k$-algèbre et $K\bo k$ une extension. \begin{enumerate} \item L'application $k$-linéaire canonique $A→A⊗_k K=A_K$, -$a↦a⊗1$, induit une bijection +$a↦a⊗1$, induit une bijection \[ -\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K) +\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K). \] \item -\[ -\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K) ≤ [A:k], -\] -avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$. +Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ +est majoré par $[A:k]$, avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} (i) Montrons que plus généralement, pour toute $K$-algèbre $B$, l'application canonique $r:\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)$, -envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$ +envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$ sur sa restriction $k$-linéaire $r(φ):a↦φ(a⊗1)$ est une bijection. Il suffit de vérifier que l'application $e:\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)→\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)$, envoyant $ψ:A→B$ sur $e(ψ):A_K→B$, caractérisé par $a⊗λ↦λψ(a)$, satisfait $re=\Id$ et $er=\Id$. Cela résulte de la définition. (Ce résultat est un cas particulier -de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf. +de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf. \refext{Tens}{}.) -(ii) résulte de (i) et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii). +(ii) résulte de (i), l'égalité $[A_K:K]=[A:k]$ et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii). \end{démo} \begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable} @@ -1573,7 +1588,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : diagonalisable ; \item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ; \item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ; -\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$. +\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ; +\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -1586,15 +1602,15 @@ est de cardinal $[A_K:K]=[A:k]=:d$. D'autre part, l'application de restriction $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection. Soit $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$. Puisque $A$ est de dimension finie sur $k$, il en est de même de l'image $φ(A)⊆K$ de $φ$. D'autre part, -puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre -de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf. -\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré -par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie} +puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre +de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf. +\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré +par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie} de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion \emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection. Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et $A$ est diagonalisable sur $k_A$. -(ii)⇒(iii). +(ii)⇒(iii). Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$ et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable, @@ -1603,7 +1619,7 @@ comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$. %est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}). %On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii). (iii)⇒(i) : évident. -(iii)↔(iv). Résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable}. +(iii) ⇔ (iv) et (iii) ⇔ (v) : résultent de \ref{critere-numerique-diagonalisable}. \end{démo} @@ -1618,17 +1634,17 @@ s'il existe une surjection de $k[X]$ sur $A$. L'image de $X$ par un tel morphisme est appelé un \emph{générateur} de l'algèbre $A$ sur $k$. \end{definition2} -Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal}) -la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$. +Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal} et \ref{k-f}) +la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$. \begin{lemme2} Toute $k$-algèbre monogène finie -est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$ (convention \ref{k-f}), -où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$. +est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$, +où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$. \end{lemme2} -Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre : -il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme +Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre : +il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme minimal (\ref{polynome-minimal}). \subsubsection{}Écrivons $f=∏_{i=1}^r f_i$ où les polynômes $f_i∈k[X]$ sont @@ -1646,8 +1662,9 @@ qui est un cas particulier explicite de \ref{structure-algebres-finies}. On en tire sans difficulté le lemme suivant. \begin{lemme2}\label{structure k-f} -Soit $f∈k[X]$. La $k$-algèbre $k_f$ est : +Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est : \begin{enumerate} +\item \emph{connexe} \ssi $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ; \item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ; \item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ; \item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}. @@ -1655,14 +1672,19 @@ Soit $f∈k[X]$. La $k$-algèbre $k_f$ est : \end{lemme2} \begin{démo} -Le premier point est évident ; il n'est mis que pour mémoire. -Vérifions (ii). D'après la décomposition précédente et compte tenu +(i) Si $f$ n'est pas une puissance d'un polynôme irréductible, +l'anneau $k_f$ n'est pas connexe car il se décompose en un produit non trivial d'anneaux. +Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal +(\refext{Spec}{exemple anneau local}), +donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}). +Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire. +Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est, il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible, -l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$, +l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$, la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication -réciproque est un corollaire de (i).) -Vérifions (iii). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable}, +réciproque est un corollaire de (ii).) +Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable}, et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable \ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD. \end{démo} @@ -1677,7 +1699,8 @@ $(X^i\mod f)⊗λ$ sur $(λX^i\mod f)$ est un isomorphisme. En effet, on vérifie sans peine que l'application $(λ X^i\mod f)↦(X^i \mod f)⊗λ$ en est un inverse. Alternativement, on pourrait utiliser l'isomorphisme -« $A/I⊗_A M ⥲ M/I$ » de \refext{Tens}{}. +$A/I⊗_A M ⥲ M/I$ de \refext{Tens}{}, où $I$ est un idéal d'un anneau $A$ +et $M$ un $A$-module. \end{démo} \begin{corollaire2}\label{pot-diag-reduit} @@ -2132,7 +2155,7 @@ cette hypothèse. la trace d'un endomorphisme nilpotent est nulle, on a l'inclusion $\Nilp(A)⊆\Ker(A→A^\vee)$ de sorte que $A$ est réduite si $A→A^{\vee}$ est un isomorphisme. -(vi)↔(i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}). +(vi) ⇔ (i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}). \end{démo} \begin{remarque2} |