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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 14:53:54 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 14:53:54 +0100
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[Spec, Alg] artinien=produit fini de connexes ; cas particulier k-algèbres finies
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@@ -135,14 +135,23 @@ $a↦\big(f∈A^{\japmath{田}}(k)↦f(a)\big)$.
D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
chaque idéal premier est rationnel.
+Enfin, l'anneau $A$ étant artinien, l'ensemble $π₀(A)$ de
+ses composantes connexes est fini (\refext{Spec}{pi0(artinien)=fini})
+et $A$ est isomorphe à un produit indicé par $π₀(A)$
+de $k$-algèbres finies connexes $A_𝔵$ (\refext{Spec}{décomposition en
+produit de connexes si pi0 fini}). L'égalité
+$[A:k]=∑_{𝔵 ∈ π₀(A)} [A_𝔵:k]$ entraîne notamment
+la majoration : $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$.
+
Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
-le théorème suivant.
+le théorème suivant.
\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
\begin{enumerate}
\item $\Spec(A)$ est fini et coïncide avec $\Specmax(A)$.
\item $\# A^{\japmath{田}}(k)≤\#\Spec(A)≤[A:k]$, où $A^{\japmath{田}}(k)=\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$.
+\item $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$.
\item L'épimorphisme « chinois » $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$ est un isomorphisme \ssi $A$ est
réduit.
\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{A^{\japmath{田}}(k)}$ est surjectif.
@@ -185,39 +194,47 @@ $a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
-%\begin{facultatif}
-\subsection{Structure des $k$-algèbres finies (facultatif)}
+\subsection{Structure des $k$-algèbres finies}
\begin{théorème2}\label{structure-algebres-finies}
-Soit $k$ un corps.
-\begin{enumerate}
-\item Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres
-\emph{locales}, \cad ayant un unique idéal maximal.
-\item L'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent.
-\end{enumerate}
+Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
+dont l'idéal maximal est nilpotent.
\end{théorème2}
-Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation
-partielle du théorème précédent.
-Remarquons que, plus généralement, le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal
+Puisqu'un corps est un anneau local, ce résultat est une généralisation
+partielle du théorème précédent. Remarquons que, plus généralement,
+le quotient d'un anneau par une puissance d'un idéal maximal
est un anneau local.
\begin{démo}
-(i) Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
-D'après le théorème précédent, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et
+Une $k$-algèbre finie $A$ est un anneau artinien car toute suite
+décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
+d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit
+anneaux locaux}, $A$ est un produit d'anneaux locaux, qui
+en sont des quotients donc, de manière naturelle, des $k$-algèbres.
+On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'une algèbre
+artinienne locale $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal
+est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
+(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}).
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
+D'après le théorème \ref{k-algebres-finies}, l'ensemble $\Spec(A)$ est fini et
constitué d'idéaux \emph{maximaux}. Notons $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ ses éléments.
Puisqu'ils sont deux-à-deux étrangers (\refext{Spec}{ideaux etrangers}), le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$
(\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}) coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
-L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que
+L'anneau $A$ étant nœthérien, il existe un entier $N$ tel que
$\Nilp(A)^N=\{0\}$ (\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}). Comme $\Nilp(A)^N=(𝔪₁\cdots
-𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$.
+𝔪_n)^N=𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N$, on a donc $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$.
Il résulte de \refext{Spec}{puissance-etrangers=etrangers}
-que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois
+que les $𝔪_i^N$ sont deux-à-deux étrangers et du lemme chinois
(\refext{Spec}{lemme chinois}) que le morphisme canonique
$A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme. D'autre part, pour tout $1≤i≤n$, l'anneau
-$A/𝔪_i^N$ est local.
-(ii) Si $A$ est une $k$-algèbre locale d'idéal maximal $𝔪$, on a $\Nilp(A)=𝔪$, qui est
-nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}.
+$A/𝔪_i^N$ est local. Enfin, si $B$ est une $k$-algèbre finie locale d'idéal
+maximal $𝔪$, on a $\Nilp(B)=𝔪$ (\ref{k-algebres-finies} (i) et
+\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}). Ce nil-idéal
+est nilpotent d'après \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}.
\end{démo}
\begin{remarque2}
@@ -247,8 +264,6 @@ dimension quatre.
Indications. \XXX
\end{exercice2}
-%\end{facultatif}
-
\subsection{Algèbres diagonalisables}
%On rappelle que dans ce chapitre, on note $k$ un corps.
@@ -276,9 +291,12 @@ est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$.
Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$.
-(iv) ⇔ (ii) Résulte de \refext{Spec}{pi0 produit},
-\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini} et
-\ref{pi0(artinien)=fini} \XXX.
+(ii) ⇒ (iv). On a vu en \refext{Spec}{pi0 produit}
+que $π₀(k^X)$ est canoniquement isomorphe à l'ensemble $X$,
+dont le cardinal est égal à la dimension $[k^X:k]$.
+(iv) ⇒ (ii). Le cas d'égalité se produit lorsque
+chaque composante connexe $A_𝔵$ de $A$ est de dimension $1$
+sur $k$, c'est-à-dire isomorphe à $k$.
(ii) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
(v) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
@@ -1529,40 +1547,37 @@ Lorsque $A$ est un corps $K$, l'existence d'une extension $k ′ \bo k$
trivialisant $A$ entraîne l'existence d'un $k$-plongement — en général non
unique — de $K$ dans $k ′$.
En effet, la $k′$-algèbre $K⊗_k k ′$, étant isomorphe
-à ${k ′}^r$ (où $r=[K:k]$) se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k
-k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. (Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement
-l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$.)
+à ${k ′}^[K:k]$, elle se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k
+k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement
+par cette méthode l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$.
\end{remarque2}
-
\begin{proposition2}\label{critere-numerique-diagonalisable}
Soient $A$ une $k$-algèbre et $K\bo k$ une extension.
\begin{enumerate}
\item L'application $k$-linéaire canonique $A→A⊗_k K=A_K$,
-$a↦a⊗1$, induit une bijection
+$a↦a⊗1$, induit une bijection
\[
-\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)
+\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K).
\]
\item
-\[
-\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K) ≤ [A:k],
-\]
-avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
+Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
+est majoré par $[A:k]$, avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
(i) Montrons que plus généralement, pour toute $K$-algèbre $B$,
l'application canonique $r:\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)$,
-envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$
+envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$
sur sa restriction $k$-linéaire $r(φ):a↦φ(a⊗1)$ est une bijection.
Il suffit de vérifier que l'application $e:\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)→\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)$,
envoyant $ψ:A→B$ sur $e(ψ):A_K→B$, caractérisé par $a⊗λ↦λψ(a)$, satisfait
$re=\Id$ et $er=\Id$.
Cela résulte de la définition. (Ce résultat est un cas particulier
-de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf.
+de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf.
\refext{Tens}{}.)
-(ii) résulte de (i) et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
+(ii) résulte de (i), l'égalité $[A_K:K]=[A:k]$ et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
\end{démo}
\begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable}
@@ -1573,7 +1588,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1586,15 +1602,15 @@ est de cardinal $[A_K:K]=[A:k]=:d$. D'autre part,
l'application de restriction $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
est une bijection. Soit $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$. Puisque $A$ est de dimension finie sur $k$,
il en est de même de l'image $φ(A)⊆K$ de $φ$. D'autre part,
-puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre
-de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf.
-\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré
-par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
+puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre
+de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf.
+\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré
+par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
-(ii)⇒(iii).
+(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
@@ -1603,7 +1619,7 @@ comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
-(iii)↔(iv). Résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable}.
+(iii) ⇔ (iv) et (iii) ⇔ (v) : résultent de \ref{critere-numerique-diagonalisable}.
\end{démo}
@@ -1618,17 +1634,17 @@ s'il existe une surjection de $k[X]$ sur $A$. L'image de $X$ par un tel
morphisme est appelé un \emph{générateur} de l'algèbre $A$ sur $k$.
\end{definition2}
-Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal})
-la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$.
+Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal} et \ref{k-f})
+la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$.
\begin{lemme2}
Toute $k$-algèbre monogène finie
-est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$ (convention \ref{k-f}),
-où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$.
+est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$,
+où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$.
\end{lemme2}
-Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre :
-il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme
+Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre :
+il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme
minimal (\ref{polynome-minimal}).
\subsubsection{}Écrivons $f=∏_{i=1}^r f_i$ où les polynômes $f_i∈k[X]$ sont
@@ -1646,8 +1662,9 @@ qui est un cas particulier explicite de \ref{structure-algebres-finies}.
On en tire sans difficulté le lemme suivant.
\begin{lemme2}\label{structure k-f}
-Soit $f∈k[X]$. La $k$-algèbre $k_f$ est :
+Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est :
\begin{enumerate}
+\item \emph{connexe} \ssi $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
\item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ;
\item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
\item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
@@ -1655,14 +1672,19 @@ Soit $f∈k[X]$. La $k$-algèbre $k_f$ est :
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Le premier point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
-Vérifions (ii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
+(i) Si $f$ n'est pas une puissance d'un polynôme irréductible,
+l'anneau $k_f$ n'est pas connexe car il se décompose en un produit non trivial d'anneaux.
+Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal
+(\refext{Spec}{exemple anneau local}),
+donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}).
+Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
+Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est,
il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible,
-l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
+l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication
-réciproque est un corollaire de (i).)
-Vérifions (iii). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
+réciproque est un corollaire de (ii).)
+Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable
\ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
\end{démo}
@@ -1677,7 +1699,8 @@ $(X^i\mod f)⊗λ$ sur $(λX^i\mod f)$ est un isomorphisme.
En effet, on vérifie sans peine que l'application $(λ X^i\mod f)↦(X^i \mod f)⊗λ$
en est un inverse.
Alternativement, on pourrait utiliser l'isomorphisme
-« $A/I⊗_A M ⥲ M/I$ » de \refext{Tens}{}.
+$A/I⊗_A M ⥲ M/I$ de \refext{Tens}{}, où $I$ est un idéal d'un anneau $A$
+et $M$ un $A$-module.
\end{démo}
\begin{corollaire2}\label{pot-diag-reduit}
@@ -2132,7 +2155,7 @@ cette hypothèse.
la trace d'un endomorphisme nilpotent est nulle, on a
l'inclusion $\Nilp(A)⊆\Ker(A→A^\vee)$ de sorte que $A$ est réduite si
$A→A^{\vee}$ est un isomorphisme.
-(vi)↔(i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}).
+(vi) ⇔ (i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}).
\end{démo}
\begin{remarque2}