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path: root/chapitres/extensions-algebriques.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-19 16:04:54 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-19 16:04:54 +0100
commit39a0f7c690b3292a7a6c6bdb9376d6410421a18e (patch)
treec21150a7f089ddca699f74b75c754292ccc8804b /chapitres/extensions-algebriques.tex
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[Alg] coupé-[collé vers Spec]
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex46
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 1a437db..2a4865a 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -290,42 +290,15 @@ si elle satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.
-\begin{lemme2}\label{ideaux-k-X}
-Soit $X$ un ensemble fini. L'application
-$Y∈𝒫(X)\mapsto ℐ_Y:=\{f\colon X→k,\,f(Y)=\{0\}\,\}$
-est une \emph{bijection} entre l'ensemble des parties de $X$
-et l'ensemble des idéaux de l'algèbre $k^X$ des fonctions de $X$ dans $k$.
-De plus, pour tout $Y⊆X$ le morphisme de projection $k^X→k^Y$
-(restriction des fonctions) induit un isomorphisme
-$k^X/\mc{I}_Y ⥲ k^Y$.
-\end{lemme2}
-
-Il résulte du second point que les idéaux premiers de $k^X$ correspondent aux singletons
-de $𝒫(X)$ et sont maximaux.
-
-\begin{démo}
-Soit $𝒥$ un idéal de $k^X$. Pour chaque $x ∈ X$, notons $𝒥(x)$
-l'\emph{image} de $𝒥$, c'est-à-dire l'ensemble $\{j(x):j∈\mc{J}\}⊆X$.
-Considérons maintenant l'ensemble l'annulation de $𝒥$, c'est-à-dire
-l'ensemble $Y_𝒥=\{x∈X,\, \mc{J}(x)=\{0\}\}$. Par construction
-on a l'inclusion $𝒥⊆ℐ_{Y}$. D'autre part, pour chaque $x∉Y$,
-il existe une fonction $f∈\mc{J}$ telle que $f(x)≠0$. Puisque $\mc{J}$ est un idéal, la fonction
-de Dirac en $x$, qui satisfait l'égalité $δ_x=δ_x \frac{f}{f(x)}$,
-appartient également à $\mc{J}$. Comme les Dirac à support hors de $Y$
-engendrent, comme $k$-espace vectoriel, l'idéal $\mc{I}_Y$,
-on a l'inclusion opposée $\mc{I}_Y⊆\mc{J}$ et, finalement, l'égalité.
-Ceci démontre le premier point. Le second point est évident.
-\end{démo}
-
-Cette démonstration s'étend immédiatement au cas où $X$ est infini,
-à condition de remplacer $k^X$ par $k^{(X)}$ (fonctions à support fini).
+Les deux propositions suivantes sont des corollaires immédiats
+de \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b).
-\begin{corollaire2}\label{quotient diagonalisable}
+\begin{proposition2}\label{quotient diagonalisable}
Le quotient d'une $k$-algèbre diagonalisable est diagonalisable.
-\end{corollaire2}
+\end{proposition2}
-\begin{démo}[Seconde démonstration du corollaire (esquisse), utilisant notamment \ref{structure-algebres-finies}]
-Soient $A=k^X$ une algèbre diagonale et $B$ un quotient de $A$,
+Esquissons une autre démonstration s'appuyant notamment sur
+\ref{structure-algebres-finies}. Soient $A=k^X$ une algèbre diagonale et $B$ un quotient de $A$,
dont on souhaite montrer qu'il est diagonalisable.
D'après \emph{loc. cit.}, on peut supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie
locale, donc connexe au sens de \refext{Spec}{définition anneau
@@ -333,13 +306,12 @@ connexe}. Il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} que l'application
$k^X→B$ se factorise en un morphisme composé $k^X↠k→B$, où la première flèche est la projection
sur un facteur. Puisque par hypothèse le morphisme $k^X→B$ est surjectif,
il en est de même de $k→B$, qui est donc un isomorphisme.
-\end{démo}
-\begin{corollaire2}\label{nombre ideaux fini}
+\begin{proposition2}\label{nombre ideaux fini}
Le nombre d'idéaux d'une $k$-algèbre diagonalisable est fini.
-\end{corollaire2}
+\end{proposition2}
-Ce nombre est même égal à $2^{\dim_k}$.
+%Ce nombre est même égal à $2^{\dim_k}$.
Après avoir étudié les algèbres quotients des algèbres diagonalisables, nous allons
maintenant étudier leurs sous-algèbres.