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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-24 10:56:42 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-24 10:56:42 +0100
commit3f5d4685250400d61b7dc88e0fefc6e287895b10 (patch)
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[ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;)
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex34
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--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -668,16 +668,16 @@ Donnons une application « numérique » de la proposition et du
corollaire précédents.
\subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient
-$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
+$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$,
-ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$
-et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
-engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$.
-Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
+ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$
+et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
+engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$.
+Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
-rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$,
+rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$,
appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
@@ -703,20 +703,20 @@ $$
On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique
$\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
-Par construction, $\sqrt{3}$ (resp. $\sqrt[3]{2}$) est une valeur
+Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur
propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent,
de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme
-$α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
+$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus.
La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible
(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
il est irréductible sur $𝐐$.
-Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
+Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.)
De la même façon, on vérifie par le calcul que
-$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement
-tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
+$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement
+tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
est algébrique sur $𝐐$.
@@ -833,12 +833,12 @@ u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non
nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est
\emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}).
\item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes.
-Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
+Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
$3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se
surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$,
-mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par
-l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et
-$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
+mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par
+l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et
+$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
\ref{non unicite composition} ci-dessous.)
En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée
de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant
@@ -2625,8 +2625,8 @@ toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
dont les autres racines sont des nombres complexes de module
strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
\[
-\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
-\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
+√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+
+√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
\]
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.