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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-02-09 11:39:40 +0100 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-02-09 11:39:40 +0100 |
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[Alg] 𝐑-algèbres de rang 3
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-rw-r--r-- | chapitres/extensions-algebriques.tex | 38 |
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 4b26512..02c0067 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -2554,6 +2554,37 @@ général dit de \emph{localisation}. \section{Exercices} +\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}] +\begin{enumerate} +\item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme +de $𝐑$-algèbres de rang $2$. +\item Montrer qu'il existe $5$ classes d'isomorphisme +de $𝐑$-algèbres de rang $2$ +\item Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de +dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en +dimension quatre. +\end{exercice} + +% esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$. +%Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales, +%OPS·$A$ locale. Si le corps résiduel est·$𝐂$, $A=𝐂$ car +%elle contient un sous-corps isomorphe à son corps résiduel +%(Bourbaki, AC·Ⅸ). Si le corps résiduel est·$𝐑$ et·$𝔪$ est l'idéal +%maximal (supposé non nul sans quoi $A=𝐑$), +%on a soit $\dim(A)=2$ soit $\dim(A)=3$. +%Le premier cas est trivial·: $A=𝐑[X]/(X²)$ (par +%exemple parce que·$A$ est monogène). Dans le second +%cas on a $𝔪 ∕ 𝔪²$ de dimension·$2$ ou·$1$. Dans le premier +%cas, $𝔪²=0$ et si $x,y$ engendrent·$𝔪$ modulo·$𝔪²$, +%on a $A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑y$ avec $xy=x²=y²=0$ d'où +%$A=𝐑[X,Y]/(X,Y)²$. Dans le second cas, si·$x$ +%engendre·$𝔪$ modulo $𝔪²$, tout·$y$ est de +%la forme $a + bx + (𝔪²)$ et finalement +%$A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑x²$ d'où $A=𝐑[X]/(X³)$. +%Les cinq classes d'isomorphisme +%sont donc +%\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\] + \begin{exercice} Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$. @@ -2563,13 +2594,6 @@ infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$. Cf. Poonen \XXX \end{démo} -\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}] -Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de -dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en -dimension quatre. -Indications. \XXX -\end{exercice} - \begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies} Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre sans faire appel à la notion d'anneau connexe que |