[Alg] 𝐑-algèbres de rang 3

1 files changed, 31 insertions, 7 deletions

diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 4b26512..02c0067 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -2554,6 +2554,37 @@ général dit de \emph{localisation}.
 
 \section{Exercices}
 
+\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
+\begin{enumerate}
+\item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme
+de $𝐑$-algèbres de rang $2$.
+\item Montrer qu'il existe $5$ classes d'isomorphisme
+de $𝐑$-algèbres de rang $2$
+\item Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
+dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
+dimension quatre.
+\end{exercice}
+
+% esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$.
+%Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales,
+%OPS·$A$ locale. Si le corps résiduel est·$𝐂$, $A=𝐂$ car
+%elle contient un sous-corps isomorphe à son corps résiduel
+%(Bourbaki, AC·Ⅸ). Si le corps résiduel est·$𝐑$ et·$𝔪$ est l'idéal
+%maximal (supposé non nul sans quoi $A=𝐑$),
+%on a soit $\dim(A)=2$ soit $\dim(A)=3$. 
+%Le premier cas est trivial·: $A=𝐑[X]/(X²)$ (par
+%exemple parce que·$A$ est monogène). Dans le second
+%cas on a $𝔪 ∕ 𝔪²$ de dimension·$2$ ou·$1$. Dans le premier
+%cas, $𝔪²=0$ et si $x,y$ engendrent·$𝔪$ modulo·$𝔪²$,
+%on a $A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑y$ avec $xy=x²=y²=0$ d'où 
+%$A=𝐑[X,Y]/(X,Y)²$. Dans le second cas, si·$x$
+%engendre·$𝔪$ modulo $𝔪²$, tout·$y$ est de
+%la forme $a + bx + (𝔪²)$ et finalement
+%$A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑x²$ d'où $A=𝐑[X]/(X³)$.
+%Les cinq classes d'isomorphisme
+%sont donc
+%\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\]
+
 \begin{exercice}
 Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
 infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
@@ -2563,13 +2594,6 @@ infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
 Cf. Poonen \XXX
 \end{démo}
 
-\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
-Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
-dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
-dimension quatre.
-Indications. \XXX
-\end{exercice}
-
 \begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies}
 Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre
 sans faire appel à la notion d'anneau connexe que