[Alg,Spec,formes] π₀ (suite)

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index 1475632..31cb3fb 100644
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+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -113,14 +113,13 @@ D'autre part, on a un morphisme de projection
 donné par la restriction de l'ensemble des facteurs.
 Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble
 des idéaux premiers $𝔭$ de $A$ tels que le morphisme composé
-$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers 
-sont dits \emph{rationnels} sur $k$. On vérifie
-sans peine (\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux})
-que l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ 
+$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers
+sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé
+en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
+l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
 associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
 aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
-des idéaux premiers rationnels.
-La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
+des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
 \ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
 
 \subsubsection{Morphisme d'évaluation}Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
@@ -146,12 +145,14 @@ est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
 Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$
 de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble
 $π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ des composantes connexes est en bijection
-avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)).
-L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu
-n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$
-sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$
-vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$.
-[À détailler] \XXX
+avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)) [et
+\ref{artinien=produit anneaux locaux} \XXX].
+%L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu
+%n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$
+%sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$
+%vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$.
+%[À détailler] \XXX
+Faire un diagramme : $\japmath{田}A(k) ↪ \Spec ↠ π₀$. \XXX
 
 Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
 le théorème suivant.