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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-09 21:28:11 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-09 21:28:11 +0100 |
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[Alg,Spec,formes] π₀ (suite)
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-rw-r--r-- | chapitres/extensions-algebriques.tex | 25 |
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 1475632..31cb3fb 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -113,14 +113,13 @@ D'autre part, on a un morphisme de projection donné par la restriction de l'ensemble des facteurs. Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble des idéaux premiers $𝔭$ de $A$ tels que le morphisme composé -$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers -sont dits \emph{rationnels} sur $k$. On vérifie -sans peine (\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux}) -que l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ +$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers +sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé +en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux}, +l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$ associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$, aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$ -des idéaux premiers rationnels. -La projection ci-dessus est donc un isomorphisme +des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme \ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection. \subsubsection{Morphisme d'évaluation}Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.}, @@ -146,12 +145,14 @@ est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble $π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ des composantes connexes est en bijection -avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)). -L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu -n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$ -sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$ -vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$. -[À détailler] \XXX +avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)) [et +\ref{artinien=produit anneaux locaux} \XXX]. +%L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu +%n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$ +%sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$ +%vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$. +%[À détailler] \XXX +Faire un diagramme : $\japmath{田}A(k) ↪ \Spec ↠ π₀$. \XXX Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans le théorème suivant. |