diff options
author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-07-12 14:33:43 +0200 |
---|---|---|
committer | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-07-12 14:33:43 +0200 |
commit | 97fd44a036dec602183dd36a0c6a5eb9d0f5727d (patch) | |
tree | adadd222d3de1fd7c41a8dc8dd97b31e1ce53926 /chapitres/extensions-algebriques.tex | |
parent | 7c5ecf0c6402498add976ada460bc61657188fc3 (diff) | |
download | galois-97fd44a036dec602183dd36a0c6a5eb9d0f5727d.tar.gz galois-97fd44a036dec602183dd36a0c6a5eb9d0f5727d.tar.bz2 galois-97fd44a036dec602183dd36a0c6a5eb9d0f5727d.zip |
[Alg] uniformisation notations (m_a -> [×a])
Diffstat (limited to 'chapitres/extensions-algebriques.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/extensions-algebriques.tex | 20 |
1 files changed, 10 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index fdebda0..d46c27d 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -78,10 +78,10 @@ Toute $k$-algèbre de dimension finie \emph{intègre} est un corps. \begin{démo} Soient $A$ une telle $k$-algèbre et $a∈A-\{0\}$ ; on souhaite montrer que $a$ est inversible. -Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $m_a:A→A$. +Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $[×a]:A→A$. Elle est injective car $A$ est intègre donc \emph{bijective} car $A$ est de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que -$m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD. +$[×a](a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD. \end{démo} \subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps} @@ -229,7 +229,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont \item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ; \item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ; \item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ; -\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}. +\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}. \item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection et $A$ est réduit. \end{enumerate} @@ -1209,10 +1209,10 @@ n'est pas nécessairement un corps. \begin{définition2} Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie. -Pour tout élément $a∈A$, on note $m_a:A→A$ +Pour tout élément $a∈A$, on note $[×a]:A→A$ l'endomorphisme $k$-linéaire $x\mapsto ax$ de multiplication par $a$ dans $A$. -Sa trace $\Tr(m_a)$, son déterminant $\det(m_a)$ et son polynôme caractéristique unitaire -$\det(X\Id-m_a)$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme} +Sa trace $\Tr([×a])$, son déterminant $\det([×a])$ et son polynôme caractéristique unitaire +$\det(X\Id-[×a])$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme} \index{trace} \index{norme} et le \emph{polynôme caractéristique} \index{polynôme caractéristique} de $a$. On note $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$ les deux premiers, qui sont des éléments de $k$, et $χ_{A\bo k}(a,X)∈k[X]$ le @@ -1306,10 +1306,10 @@ Le premier point n'est mis que pour mémoire (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). Soient $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$ et $a∈A$. Notons $a_{ij}$ la matrice de l'endomorphisme -$m_a:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition, +$[×a]:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a_{ii}$. Pour chaque $a∈A$, l'endomorphisme $m_{a⊗1}:A'→A'$ -a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $m_a$ +a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $[×a]$ (relativement à la base $(e_i)_{1≤i≤n}$) par l'application $M_n(k)→M_n(k')$. Sa trace est donc égale à $\Tr_{A\bo k}(a)$. On procède de même pour la norme et le polynôme caractéristique. @@ -1336,7 +1336,7 @@ Soient $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$, $(e_{i}^{\vee})_{i=1,\dots,n}$ la base duale et $(f_{j})_{j=1,\dots,m}$ une base de $B$ sur $A$. L'ensemble des éléments $f_{j}e_{i}$ constitue une base de $B$ sur $k$. Considérons $b∈B$ et notons $(b_{j'j})$ la matrice à coefficients dans $A$ de -l'application $A$-linéaire $m_b$ dans la base $(f_{j})_j$. +l'application $A$-linéaire $[×b]$ dans la base $(f_{j})_j$. Un calcul immédiat montre que chaque $b(f_{j}e_{i})$ est la somme de $b_{jj}^{(i)}f_{j}e_{i}$ et d'une combinaison linéaire des $f_{j'}e_{i'}$ pour $(i ′,j ′)≠(i,j)$. @@ -2618,7 +2618,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}. (\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$ associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$. -(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.) +(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker([×e]:A→A)$.) \item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$, $a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme. \end{enumerate} |