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path: root/chapitres/extensions-algebriques.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 14:33:43 +0200
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 14:33:43 +0200
commit97fd44a036dec602183dd36a0c6a5eb9d0f5727d (patch)
treeadadd222d3de1fd7c41a8dc8dd97b31e1ce53926 /chapitres/extensions-algebriques.tex
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[Alg] uniformisation notations (m_a -> [×a])
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex20
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index fdebda0..d46c27d 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -78,10 +78,10 @@ Toute $k$-algèbre de dimension finie \emph{intègre} est un corps.
\begin{démo}
Soient $A$ une telle $k$-algèbre et $a∈A-\{0\}$ ; on souhaite montrer que $a$ est inversible.
-Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $m_a:A→A$.
+Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $[×a]:A→A$.
Elle est injective car $A$ est intègre donc \emph{bijective} car $A$ est
de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que
-$m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
+$[×a](a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
\end{démo}
\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}
@@ -229,7 +229,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
-\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
+\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
et $A$ est réduit.
\end{enumerate}
@@ -1209,10 +1209,10 @@ n'est pas nécessairement un corps.
\begin{définition2}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre
admettant une base finie.
-Pour tout élément $a∈A$, on note $m_a:A→A$
+Pour tout élément $a∈A$, on note $[×a]:A→A$
l'endomorphisme $k$-linéaire $x\mapsto ax$ de multiplication par $a$ dans $A$.
-Sa trace $\Tr(m_a)$, son déterminant $\det(m_a)$ et son polynôme caractéristique unitaire
-$\det(X\Id-m_a)$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme}
+Sa trace $\Tr([×a])$, son déterminant $\det([×a])$ et son polynôme caractéristique unitaire
+$\det(X\Id-[×a])$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme}
\index{trace} \index{norme} et le \emph{polynôme caractéristique}
\index{polynôme caractéristique} de $a$. On note $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
les deux premiers, qui sont des éléments de $k$, et $χ_{A\bo k}(a,X)∈k[X]$ le
@@ -1306,10 +1306,10 @@ Le premier point n'est mis que pour mémoire (cf. \ref{changement de
base k-algèbre}).
Soient $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$
et $a∈A$. Notons $a_{ij}$ la matrice de l'endomorphisme
-$m_a:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition,
+$[×a]:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition,
$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a_{ii}$.
Pour chaque $a∈A$, l'endomorphisme $m_{a⊗1}:A'→A'$
-a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $m_a$
+a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $[×a]$
(relativement à la base $(e_i)_{1≤i≤n}$) par l'application $M_n(k)→M_n(k')$.
Sa trace est donc égale à $\Tr_{A\bo k}(a)$. On procède de même pour
la norme et le polynôme caractéristique.
@@ -1336,7 +1336,7 @@ Soient $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$,
$(e_{i}^{\vee})_{i=1,\dots,n}$ la base duale et $(f_{j})_{j=1,\dots,m}$ une base de $B$ sur $A$.
L'ensemble des éléments $f_{j}e_{i}$ constitue une base de $B$ sur $k$.
Considérons $b∈B$ et notons $(b_{j'j})$ la matrice à coefficients dans $A$ de
-l'application $A$-linéaire $m_b$ dans la base $(f_{j})_j$.
+l'application $A$-linéaire $[×b]$ dans la base $(f_{j})_j$.
Un calcul immédiat montre que chaque
$b(f_{j}e_{i})$ est la somme de $b_{jj}^{(i)}f_{j}e_{i}$ et d'une
combinaison linéaire des $f_{j'}e_{i'}$ pour $(i ′,j ′)≠(i,j)$.
@@ -2618,7 +2618,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$
associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection
entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
-(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.)
+(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker([×e]:A→A)$.)
\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}