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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-16 16:17:30 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-16 16:17:30 +0100 |
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[Spec, Alg] End_k(k^X) ⥲ End_Ens(X) déplacé vers [Alg] avec nouvelle démo et autres menus changements
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 1264cf6..6256e82 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -150,7 +150,7 @@ de $k$-algèbres locales d'idéaux maximaux nilpotents. \subsubsection{}Pour toute $k$-algèbre $A$, les ensembles introduits ci-dessus s'inscrivent dans le diagramme -suivant : +suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ : \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] @@ -172,7 +172,7 @@ Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}. \item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont finis ; ils satisfont la condition suivante : \[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\] -\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec $\Specmax(A)$. +\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$. Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$. \item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵 @@ -270,15 +270,16 @@ ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont naturellement en bijection. -\subsubsection{Sous-quotients d'une algèbre diagonalisable} +\subsubsection{Sous-quotients et endomorphismes d'une algèbre diagonalisable} Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$. On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b) une description explicite des idéaux de $A$ : ils -sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(π₀(A))$ -des parties de $π₀(A)$. D'autre part, le quotient de $A$ +sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(X)$ +des parties de $X$ et l'ensemble $X$ est naturellement en bijection +avec $π₀(A)$ (\refext{Spec}{pi0 produit}). D'autre part, le quotient de $A$ par l'idéal correspondant par cette bijection -à une partie $Y ⊆ π₀(A)$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$. +à une partie $Y ⊆ X$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$. Il en résulte que toute algèbre $B$ quotient de $A$ est diagonalisable. Ceci peut également se vérifier de la façon suivante. D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut @@ -293,20 +294,23 @@ L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$. Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$ -de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$. -Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est -également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la -sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable. +de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B : + \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ |(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\}; \draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd); \draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad); -\draw[right hook->] (B) -- (A); +\draw[->] (B) -- node{$f$} (A); \draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad); \end{tikzpicture} \end{center} + +\begin{itemize} +\item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est +également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la +sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable. D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif, l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$ est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est @@ -316,6 +320,17 @@ Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$. Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition. +\item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$ +diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont +les flèches verticales sont des isomorphismes — +montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée +du morphisme d'ensembles $\japmath{田}f: \japmath{田}B(k) → \japmath{田}A(k)$. +Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$ +et d'autre part que $\japmath{田}f$ correspond à $π₀(f)$ par ces +isomorphismes. +\end{itemize} + + Résumons les résultats obtenus. \begin{théorème2} @@ -327,9 +342,16 @@ avec l'ensemble fini des parties de $π₀(A)$ et toute algèbre quotient de $A \item L'ensemble des sous-algèbres de $A$ est en bijection avec l'ensemble fini des partitions de $π₀(A)$ et toute sous-algèbre de $A$ est également diagonalisable. +\item L'application $\End_k(A) → \End_\Ens(π₀(A))^{\op}$, $f ↦ π₀(f)$ +est un isomorphisme d'anneaux non nécessairement commutatifs. \end{enumerate} \end{théorème2} +Le lecteur vérifiera sans peine, à l'aide des techniques et énoncés de [Spec] +que (iii) est valable dès lors que $k$ est un anneau connexe. +Voir également l'exercice \refext{Spec}{dévissage Hom(A,produit connexes)} pour une généralisation. +%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}. + \subsection{Produit tensoriel de deux $k$-algèbres}\label{section définition restreinte produit tensoriel} La notion de produit tensoriel d'algèbres et de modules joue un rôle central dans ce livre. |