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path: root/chapitres/extensions-algebriques.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 16:17:30 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 16:17:30 +0100
commit9cca6b08c5ad63e04916cd0c354667c325a5275a (patch)
treef9accca11d02c927830ef9688a9437a7f7eda579 /chapitres/extensions-algebriques.tex
parentaeebed5b36ee5702e3b46767623d40bdcd152b40 (diff)
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[Spec, Alg] End_k(k^X) ⥲ End_Ens(X) déplacé vers [Alg] avec nouvelle démo et autres menus changements
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex44
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index 1264cf6..6256e82 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -150,7 +150,7 @@ de $k$-algèbres locales d'idéaux maximaux nilpotents.
\subsubsection{}Pour toute $k$-algèbre $A$,
les ensembles introduits ci-dessus s'inscrivent dans le diagramme
-suivant :
+suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
@@ -172,7 +172,7 @@ Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
-\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec $\Specmax(A)$.
+\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
@@ -270,15 +270,16 @@ ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
naturellement en bijection.
-\subsubsection{Sous-quotients d'une algèbre diagonalisable}
+\subsubsection{Sous-quotients et endomorphismes d'une algèbre diagonalisable}
Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$.
On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b)
une description explicite des idéaux de $A$ : ils
-sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(π₀(A))$
-des parties de $π₀(A)$. D'autre part, le quotient de $A$
+sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(X)$
+des parties de $X$ et l'ensemble $X$ est naturellement en bijection
+avec $π₀(A)$ (\refext{Spec}{pi0 produit}). D'autre part, le quotient de $A$
par l'idéal correspondant par cette bijection
-à une partie $Y ⊆ π₀(A)$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$.
+à une partie $Y ⊆ X$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$.
Il en résulte que toute algèbre $B$ quotient
de $A$ est diagonalisable. Ceci peut également se vérifier de la façon suivante.
D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut
@@ -293,20 +294,23 @@ L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable
Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$.
Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$
-de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$.
-Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
-également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
-sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
+de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B :
+
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\};
\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd);
\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad);
-\draw[right hook->] (B) -- (A);
+\draw[->] (B) -- node{$f$} (A);
\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad);
\end{tikzpicture}
\end{center}
+
+\begin{itemize}
+\item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
+également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
+sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif,
l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
@@ -316,6 +320,17 @@ Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
+\item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$
+diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont
+les flèches verticales sont des isomorphismes —
+montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée
+du morphisme d'ensembles $\japmath{田}f: \japmath{田}B(k) → \japmath{田}A(k)$.
+Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$
+et d'autre part que $\japmath{田}f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
+isomorphismes.
+\end{itemize}
+
+
Résumons les résultats obtenus.
\begin{théorème2}
@@ -327,9 +342,16 @@ avec l'ensemble fini des parties de $π₀(A)$ et toute algèbre quotient de $A
\item L'ensemble des sous-algèbres de $A$ est
en bijection avec l'ensemble fini des partitions de $π₀(A)$
et toute sous-algèbre de $A$ est également diagonalisable.
+\item L'application $\End_k(A) → \End_\Ens(π₀(A))^{\op}$, $f ↦ π₀(f)$
+est un isomorphisme d'anneaux non nécessairement commutatifs.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
+Le lecteur vérifiera sans peine, à l'aide des techniques et énoncés de [Spec]
+que (iii) est valable dès lors que $k$ est un anneau connexe.
+Voir également l'exercice \refext{Spec}{dévissage Hom(A,produit connexes)} pour une généralisation.
+%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
+
\subsection{Produit tensoriel de deux $k$-algèbres}\label{section définition restreinte produit tensoriel}
La notion de produit tensoriel d'algèbres et de modules joue un rôle central dans ce livre.