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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 09:42:17 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 09:42:17 +0100
commitaeebed5b36ee5702e3b46767623d40bdcd152b40 (patch)
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[Alg] petites clarifications sur Spec/Specmax/π₀/田
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex77
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index 31cb3fb..1264cf6 100644
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+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -84,7 +84,9 @@ de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que
$m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
\end{démo}
-\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
+\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}
+\label{quotients corporels}
+Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
Pour chaque $𝔭∈\Spec(A)=\Specmax(A)$ notons $κ(𝔭)$ le corps $A/𝔭$.
Les idéaux $𝔭∈\Spec(A)$ étant maximaux donc premiers entre eux
deux-à-deux, il résulte du lemme chinois, rappelé en
@@ -122,7 +124,9 @@ aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le s
des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
-\subsubsection{Morphisme d'évaluation}Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
+\subsubsection{Morphisme d'évaluation}
+\label{morphisme évaluation}
+Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
$(\star\star)$, réécrite sous la forme
\[
@@ -134,28 +138,33 @@ D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
chaque idéal premier est rationnel.
\subsubsection{Composantes connexes}
-Une $k$-algèbre finie est un anneau artinien (\refext{Spec}{définition
-artinien-noethérien}) car toute suite décroissante de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
-d'idéaux — est stationnaire. D'après \refext{Spec}{artinien=produit
-anneaux locaux}, $A$ est produit de $k$-algèbres quotients
-qui sont locales. On a vu dans \emph{loc. cit.} que l'idéal maximal d'un
-anneau artinien local $B$ est son radical $\Nilp(B)$ ; ce nil-idéal
-est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
-(\refext{Spec}{Nilradical-est-nilp}).
-Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$
-de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble
-$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ des composantes connexes est en bijection
-avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)) [et
-\ref{artinien=produit anneaux locaux} \XXX].
-%L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu
-%n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$
-%sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$
-%vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$.
-%[À détailler] \XXX
-Faire un diagramme : $\japmath{田}A(k) ↪ \Spec ↠ π₀$. \XXX
-
-Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
-le théorème suivant.
+Une $k$-algèbre finie est un anneau nœthérien
+(resp. artinien (\refext{Spec}{définition artinien-noethérien}))
+car toute suite croissante (resp. décroissante) de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
+d'idéaux — est stationnaire. Nous verrons d'ailleurs en \refext{AC}{}
+que tout anneau artinien est nœthérien.
+Il résulte donc de \refext{Spec}{artinien=produit anneaux locaux}
+et \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp} que $A$ est un produit
+indexé par l'ensemble $π₀(A)$ des composantes connexes
+de $k$-algèbres locales d'idéaux maximaux nilpotents.
+
+\subsubsection{}Pour toute $k$-algèbre $A$,
+les ensembles introduits ci-dessus s'inscrivent dans le diagramme
+suivant :
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
+|(points)| \japmath{田}A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
+\draw[->>] (spec) -- (pi0);
+\draw[right hook->] (points) -- (specmax);
+\draw[right hook->] (specmax) -- (spec);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Les flèches horizontales sont des bijections lorsque $A$ est
+\emph{finies} sur $k$. Pour référence ultérieure, consignons une
+partie de ces observations dans le théorème suivant.
\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
@@ -217,10 +226,12 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $\#\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
+\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
+et $A$ est réduit.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -233,7 +244,7 @@ L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
-est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
+est au moins égal à $[k^X:k]=♯X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
@@ -242,6 +253,8 @@ des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
$k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.
+(vi) ⇔ (i). N'est mis que pour mémoire : cf. fin du
+paragraphe \ref{morphisme évaluation}.
\end{démo}
\begin{définition2}\label{diagonalisable}
@@ -1448,7 +1461,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $♯\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
@@ -1471,14 +1484,14 @@ de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (
par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
-Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
+Ainsi, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
-%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%En effet, si $♯ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $♯ \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=♯\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
@@ -1911,7 +1924,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
-\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1928,11 +1941,11 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
-finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+finie $A$ l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}
-Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).