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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 18:31:06 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 18:31:06 +0100
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Encore du nettoyage d'utilisation des polices.
Pour les catégories, on essaiera d'utiliser \categ{...} pour une variable (C, D, etc.) et \categmot{...} pour une abréviation (Ens, Alg, Mod, etc.).
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--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -55,9 +55,9 @@ vers la catégorie $Π\traitdunion\Ens$ des $Π$-ensembles à droite.
Notons que si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$
est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). Par restriction,
on en tire un foncteur contravariant, que nous noterons $π₀^{K\bo k}$,
-de la catégorie $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$ des $k$-algèbres
+de la catégorie $\categmot{Ét}(K\bo k)$ des $k$-algèbres
étales trivialisées par $K\bo k$ vers la catégorie
-$Π\traitdunion\Ens𝖿$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}.
+$Π\traitdunion\categmot{Ensf}$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}.
\begin{quote}Jusqu'à la fin de la section \ref{Galois-Grothendieck},
les $Π$-ensembles sont des $Π$-ensemble \emph{à droite}.
\end{quote}
@@ -71,8 +71,8 @@ L'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$,
où l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$ par $a ⋅ σ = σ^{-1}(a)$.
En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$
le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$,
-on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$
-vers $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$.
+on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\categmot{Ensf}$
+vers $\categmot{Ét}(K\bo k)$.
\subsubsection{}Étudions le lien entre ces constructions et la théorie
de Galois telle que présentée en \refext{CG}{correspondance Galois finie}.
@@ -90,9 +90,9 @@ en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$.
\label{Galois-Grothendieck fini}
Soit $K\bo k$ une extension fini étale de groupe de Galois $Π$.
Les foncteurs
-\[π₀^{K\bo k}: \categ{\acute{E}t}(K\bo k) → Π\traitdunion\Ens𝖿\]
+\[π₀^{K\bo k}: \categmot{Ét}(K\bo k) → Π\traitdunion\categmot{Ensf}\]
et
-\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\Ens𝖿 → \categ{\acute{E}t}(K\bo k)\]
+\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\categmot{Ensf} → \categmot{Ét}(K\bo k)\]
sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre.
\begin{enumerate}
@@ -102,7 +102,7 @@ et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus,
\[
[A:k] = \# π₀^{K\bo k}(A).
\]
-\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$,
+\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categmot{Ét}(K\bo k)$,
l'application
\[
\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B) → \Hom_{Π\traitdunion\Ens}(π₀^{K\bo k}(B),π₀^{K\bo k}(A))
@@ -422,10 +422,10 @@ et deux tels morphismes sont cohomologues si et seulement si
ils sont
conjugués (dans $A$) :
\[
-H¹(Π,A)=\Hom_{\categ{Grp}}(Π,A)/\textrm{conjugaison dans }A.
+H¹(Π,A)=\Hom_{\categmot{Grp}}(Π,A)/\textrm{conjugaison dans }A.
\]
En particulier, si $A$ est abélien, on a
-canoniquement $\Hom_{\categ{Grp}}(Π,A) ⥲H¹(Π,A)$.
+canoniquement $\Hom_{\categmot{Grp}}(Π,A) ⥲H¹(Π,A)$.
\end{remarque2}
Les cocycles $c_φ$ et $c_ψ$ étant cohomologues, on
@@ -462,11 +462,11 @@ K}^{-1}$
et, finalement, $c_ψ=c_φ$.
\end{démo}
-Notons $\textrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
+Notons $\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
de $k$-isomorphisme des $K\bo k$-formes de $x$.
Nous venons de construire une application
\begin{equation}\label{formes vers H1}
-\textrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
+\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
\end{equation}
\subsubsection{}\label{hypothèse faisceau}Un des point clef
@@ -494,7 +494,7 @@ induit une \emph{bijection}
\begin{proposition2}\label{formes et cohomologie}
Sous l'hypothèse (F), l'application
\[
-\textrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
+\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
\]
\[
\textrm{classe de $k$-isomorphisme de }y↦[y]
@@ -546,9 +546,9 @@ $n$ trivialisées par l'extension $K\bo k$.
Pour mémoire, rappelons que les trois applications
$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\pr_i)$
($\pr_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
-$\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
+$\Hom_{K\traitdunion\Alg}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
$φ↦\Ker(φ)$, et
-$\Aut_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K))$,
+$\Aut_{K\traitdunion\Alg}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\Alg}(K^n,K))$,
$φ↦(ψ↦ψφ)$, sont des bijections. Cela résulte
par exemple de \refext{Alg}{ideaux-k-X} pour la première, de
\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
@@ -569,7 +569,7 @@ Il résulte de la construction générale qui précède que nous
disposons
d'une application explicite :
\[
-\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
+\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
}n\textrm{ diag. sur }K\}∕\textrm{isom.}→H¹(Π,𝔖_n).
\]
@@ -577,7 +577,7 @@ k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
\begin{proposition2}\label{formes algebres commutatives}
L'application
\[
-\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
+\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
k),𝔖_n)
\]
est une bijection.
@@ -592,7 +592,7 @@ $σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
(\ref{Galois-Grothendieck fini})
cette construction induit une bijection entre l'ensemble
-$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
+$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
d'isomorphismes
d'action de $Π$ sur $\{1,\dots,n\}$. Ce dernier
n'est autre que l'ensemble des morphismes
@@ -601,7 +601,7 @@ qui coïncide avec $H¹(Π,𝔖_n)$ car l'action de $Π$ est
triviale (cf. \ref{H1=Hom}).
Ceci montre déjà que les deux ensembles
-$\textrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
+$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
sont en bijection ; en particulier, ils ont même cardinal.
Pour conclure deux méthodes s'offrent à nous.
@@ -614,7 +614,7 @@ est fini et, d'après ce qui précède, en bijection
avec la source, l'application de l'énoncé est une bijection.
\emph{Seconde méthode} : vérifier que l'application
-$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
+$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
de construire en utilisant la correspondance de
Galois-Grothendieck
coïncide avec l'application de l'énoncé, définie de façon
@@ -691,7 +691,7 @@ une interprétation générale de l'ensemble de cohomologie
$H¹(Π,G)$. Signalons qu'on ne l'étudie pas nécessairement \emph{per se}
mais souvent au motif qu'il décrit les objets que nous allons introduire
dans un instant. Pour le lien entre ce qui suit, dans le cas
-particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
+particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
précédente, voir remarque \ref{H1(k,Sn)=H1(k,Sn)}.
\subsubsection{}Considérons les catégories des $k$-algèbres