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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-09 21:28:11 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-09 21:28:11 +0100
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[Alg,Spec,formes] π₀ (suite)
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@@ -21,7 +21,8 @@
\synctex=1
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\textwidth16cm
+\hoffset-1.5cm
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -45,67 +46,101 @@ Références : \cite{CG@Serre}, chap. I, §§2,5 et chap. III,
§1 ainsi que \cite{CL@Serre}, chap. X et \cite[§§18,28]{Involutions@KMRT}.
\subsection{Correspondance de Galois-Grothendieck}
-Soit $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $Π$.
+\label{Galois-Grothendieck}
Dans ce paragraphe nous allons énoncer et démontrer
une généralisation de la correspondance de Galois
finie (\refext{CG}{correspondance Galois finie}),
sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres}
-étales trivialisée par $K\bo k$ (\refext{Alg}{algèbre
-trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
-il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe.
+étales trivialisées (\refext{Alg}{algèbre trivialisée})
+par une extension de corps $K\bo k$, finie galoisienne de groupe $Π=\Gal(K\bo k)$.
+Quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
+il nous faut abandonner les groupes pour les \emph{ensembles} avec action de groupe.
\subsubsection{}
\label{notations Galois-Grothendieck}
-Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre, on note $π₀(A_K)$
-l'ensemble des composantes connexes de la $K$-algèbre
-$A_K=A ⊗_k K$. Tout automorphisme $σ ∈ Π$ induit
-un $k$-automorphisme $A_σ:A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, qui induit
-à son tour une bijection $π₀(A_σ): π₀(A_K) → π₀(A_K)$
-(\refext{Spec}{fonctorialité pi0}) que nous noterons également $π₀(σ)$.
-Par contravariante du foncteur $π₀$, on a la formule : $π₀(σ τ)=π₀(τ) π₀(σ)$.
-Ainsi, le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit-il naturellement à
-droite sur l'ensemble $π₀(A_K)$ ; il agit à gauche
-par $σ ↦ π₀(σ^{-1}) ∈ 𝔖(π₀(A_K))$. Si l'algèbre $A$ est finie sur $k$,
-l'ensemble $π₀(A_K)$ est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)).
+Soit $A$ une $k$-algèbre et notons $π₀^{K\bo k}(A)$
+l'ensemble des composantes connexes (\refext{Spec}{composantes
+connexes}) de la $K$-algèbre $A_K=A ⊗_k K$. À un $k$-morphisme
+d'algèbres $f:A → B$, on associe l'application $π₀(f_K): π₀(B_K) → π₀(A_K)$,
+que nous noterons $π₀^{K\bo k}(f)$ ; pour chaque $k$-morphisme $g:B → C$,
+on a l'égalité $π₀^{K\bo k}(gf)=π₀^{K\bo k}(f) ∘ π₀^{K\bo k}(g)$ (\refext{Spec}{fonctorialité pi0}).
+En particulier, chaque $k$-automorphisme $A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$,
+où $σ$ est dans $Π$, donne lieu à une bijection de $π₀^{K\bo k}(A)$, notée
+abusivement $π₀^{K\bo k}(σ)$ et l'on a
+\[π₀^{K\bo k}(σ τ)=π₀^{K\bo k}(τ) π₀^{K\bo k}(σ):\]
+le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit donc naturellement à
+droite sur l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$, en posant : $𝔵 ⋅ σ=π₀^{K\bo k}(σ)(𝔵)$,
+$𝔵 ∈ π₀^{K\bo k}(A)$, $σ ∈ Π$.
+Pour $f$ comme ci-dessus, les applications $π₀^{K\bo k}(f)$ sont compatibles avec l'action de $Π$ ;
+on a donc construit un foncteur contravariant de la catégorie $k\traitdunion\Alg$ des $k$-algèbres
+vers la catégorie $Π\traitdunion\Ens$ des $Π$-ensembles à droite.
+Notons que si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$
+est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). Par restriction,
+on en tire un foncteur contravariant, que nous noterons $π₀^{K\bo k}$,
+de la catégorie $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$ des $k$-algèbres
+étales trivialisées par $K\bo k$ vers la catégorie
+$Π\traitdunion\Ens𝖿$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}.
+\begin{quote}Jusqu'à la fin de la section \ref{Galois-Grothendieck},
+les $Π$-ensembles sont des $Π$-ensemble \emph{à droite}.
+\end{quote}
-\subsubsection{}
-Considérons maintenant un $Π$-ensemble à gauche $X$, fini.
-La $k$-algèbre $K^X$ est étale, trivialisée par $K \bo k$.
-Il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X:=\Fix_{Π}(K^X)$,
-où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ par $σ ⋅ f:(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)$.
+Considérons maintenant un $Π$-ensemble fini $X$.
+La $k$-algèbre $K^X=\Hom_{\Ens}(X,K)$ est étale, trivialisée par $K \bo k$,
+si bien que sa sous-algèbre $Θ_{K\bo k}(X):=\Fix_{Π}(K^X)$, où $Π$ agit à gauche sur $K^X$
+par $σ ⋅ f:\big(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)\big)$, est également trivialisée
+par $K \bo k$ (\refext{Alg}{sous-quotient-diag=diag} (ii)).
+Si l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$, par $λ ⋅ σ = σ^{-1}(λ)$,
+l'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$.
+En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$
+le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$,
+on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$
+vers $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$.
+
+\subsubsection{}Étudions le lien entre ces constructions et la théorie
+de Galois telle que présentée en \refext{CG}{correspondance Galois finie}.
+À cet effet, considérons un sous-groupe $H$ de $Π$, auquel on associe
+naturellement le $Π$-ensemble $H ∖ Π$ des classes à droite $\{H σ\}$, $σ ∈ Π$.
+Pour tout $Π$-ensemble $Y$, l'application
+$\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(H ∖ Π,Y) → \Fix_H(Y)$, $φ ↦ φ(H)$
+est une bijection. Il en résulte que $Θ^{K\bo k}(H ∖ Π)$ est naturellement
+en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$.
+
+
+\begin{théorème2}
+\label{Galois-Grothendieck fini}
+Soit $K\bo k$ une extension fini étale de groupe de Galois $Π$.
+Les foncteurs
+\[π₀^{K\bo k}: \categ{\acute{E}t}(K\bo k) → Π\traitdunion\Ens𝖿\]
+et
+\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\Ens𝖿 → \categ{\acute{E}t}(K\bo k)\]
+sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre.
+
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A ↦ π₀^{K\bo k}(A)$ induit une bijection entre
+les classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales trivialisées par $K \bo k$
+et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus,
+\[
+[A:k] = ♯ π₀^{K\bo k}(A).
+\]
+\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$,
+l'application
+\[
+\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B) → \Hom_{Π\traitdunion\Ens}(π₀^{K\bo k}(B),π₀^{K\bo k}(A))
+\]
+est une bijection.
+\item
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
\[⁂\]
-Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre
-finie, on note $A^{\japmath{田}}(K)$ l'ensemble fini $\Hom_k(A,K)$ et que ce dernier
-est en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A_K,K)$
-(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable} (i)).
-Il est naturellement muni d'une action de $Π$ par
-composition : si $u:A→K$, on pose $σ\cdot u:=σ\circ u$.
-Si $f:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres, l'application
-$B^{\japmath{田}}(K)→A^{\japmath{田}}(K)$, $v↦u:=v\circ f$, est $Π$-équivariante
-pour ces actions. Réciproquement, on peut
-associer à tout $Π$-ensemble fini $X$ la
-$k$-algèbre étale $k_X=\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$
-des fonctions $f:X→K$ qui sont $Π$-équivariantes
-c'est-à-dire telles que $f(σ\cdot x)=σ(f(x))$.
-(Alternativement, $k_X=\Fix_Π(\Hom_{\Ens}(X,K))$,
-où l'action de $Π$ sur $\Hom_{\Ens}(X,K)=K^X$ est donnée par $σ ⋅ f:x ↦ σ(f(σ^{-1}x))$.)
-La $k$-algèbre $K^X$ est trivialisée par $K\bo k$ ;
-il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X$ (\refext{Alg}{sous-diag=diag}).
-Enfin, notons que tout morphisme $X→Y$ de $Π$-ensembles induit un morphisme de
-$k$-algèbres $k_Y→k_X$.
-\begin{quote}
-On peut sans doute réécrire tout ça en terme de $π₀(A_K)$ ; c'est peut-être
-plus parlant. Cependant : $π₀$ est muni d'une action à \emph{droite}
-et il faut vérifier dans [Alg] que chaque $𝔵$ dans $π₀$ induit,
+Il faut vérifier dans [Alg] que chaque $𝔵$ dans $π₀$ induit,
dans le cas diagonalisable, un morphisme $A ↠ K$ qui envoie $a$
sur $\ev_A(a)$ via isomorphisme $π₀$ et $K$-points...
-\end{quote}
-\begin{proposition2}\label{Galois-Grothendieck fini}
+\begin{proposition2}
Soit $K\bo k$ une extension finie étale de groupe
de Galois $Π$.
\begin{enumerate}