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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-09 21:28:11 +0100 |
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[Alg,Spec,formes] π₀ (suite)
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diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index 07e3bb1..a94fa0f 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -21,7 +21,8 @@ \synctex=1 -\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} +\textwidth16cm +\hoffset-1.5cm \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder \externaldocument{categories} \externaldocument{entiers} @@ -45,67 +46,101 @@ Références : \cite{CG@Serre}, chap. I, §§2,5 et chap. III, §1 ainsi que \cite{CL@Serre}, chap. X et \cite[§§18,28]{Involutions@KMRT}. \subsection{Correspondance de Galois-Grothendieck} -Soit $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $Π$. +\label{Galois-Grothendieck} Dans ce paragraphe nous allons énoncer et démontrer une généralisation de la correspondance de Galois finie (\refext{CG}{correspondance Galois finie}), sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres} -étales trivialisée par $K\bo k$ (\refext{Alg}{algèbre -trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres, -il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe. +étales trivialisées (\refext{Alg}{algèbre trivialisée}) +par une extension de corps $K\bo k$, finie galoisienne de groupe $Π=\Gal(K\bo k)$. +Quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres, +il nous faut abandonner les groupes pour les \emph{ensembles} avec action de groupe. \subsubsection{} \label{notations Galois-Grothendieck} -Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre, on note $π₀(A_K)$ -l'ensemble des composantes connexes de la $K$-algèbre -$A_K=A ⊗_k K$. Tout automorphisme $σ ∈ Π$ induit -un $k$-automorphisme $A_σ:A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, qui induit -à son tour une bijection $π₀(A_σ): π₀(A_K) → π₀(A_K)$ -(\refext{Spec}{fonctorialité pi0}) que nous noterons également $π₀(σ)$. -Par contravariante du foncteur $π₀$, on a la formule : $π₀(σ τ)=π₀(τ) π₀(σ)$. -Ainsi, le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit-il naturellement à -droite sur l'ensemble $π₀(A_K)$ ; il agit à gauche -par $σ ↦ π₀(σ^{-1}) ∈ 𝔖(π₀(A_K))$. Si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, -l'ensemble $π₀(A_K)$ est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). +Soit $A$ une $k$-algèbre et notons $π₀^{K\bo k}(A)$ +l'ensemble des composantes connexes (\refext{Spec}{composantes +connexes}) de la $K$-algèbre $A_K=A ⊗_k K$. À un $k$-morphisme +d'algèbres $f:A → B$, on associe l'application $π₀(f_K): π₀(B_K) → π₀(A_K)$, +que nous noterons $π₀^{K\bo k}(f)$ ; pour chaque $k$-morphisme $g:B → C$, +on a l'égalité $π₀^{K\bo k}(gf)=π₀^{K\bo k}(f) ∘ π₀^{K\bo k}(g)$ (\refext{Spec}{fonctorialité pi0}). +En particulier, chaque $k$-automorphisme $A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, +où $σ$ est dans $Π$, donne lieu à une bijection de $π₀^{K\bo k}(A)$, notée +abusivement $π₀^{K\bo k}(σ)$ et l'on a +\[π₀^{K\bo k}(σ τ)=π₀^{K\bo k}(τ) π₀^{K\bo k}(σ):\] +le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit donc naturellement à +droite sur l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$, en posant : $𝔵 ⋅ σ=π₀^{K\bo k}(σ)(𝔵)$, +$𝔵 ∈ π₀^{K\bo k}(A)$, $σ ∈ Π$. +Pour $f$ comme ci-dessus, les applications $π₀^{K\bo k}(f)$ sont compatibles avec l'action de $Π$ ; +on a donc construit un foncteur contravariant de la catégorie $k\traitdunion\Alg$ des $k$-algèbres +vers la catégorie $Π\traitdunion\Ens$ des $Π$-ensembles à droite. +Notons que si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$ +est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). Par restriction, +on en tire un foncteur contravariant, que nous noterons $π₀^{K\bo k}$, +de la catégorie $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$ des $k$-algèbres +étales trivialisées par $K\bo k$ vers la catégorie +$Π\traitdunion\Ens𝖿$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}. +\begin{quote}Jusqu'à la fin de la section \ref{Galois-Grothendieck}, +les $Π$-ensembles sont des $Π$-ensemble \emph{à droite}. +\end{quote} -\subsubsection{} -Considérons maintenant un $Π$-ensemble à gauche $X$, fini. -La $k$-algèbre $K^X$ est étale, trivialisée par $K \bo k$. -Il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X:=\Fix_{Π}(K^X)$, -où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ par $σ ⋅ f:(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)$. +Considérons maintenant un $Π$-ensemble fini $X$. +La $k$-algèbre $K^X=\Hom_{\Ens}(X,K)$ est étale, trivialisée par $K \bo k$, +si bien que sa sous-algèbre $Θ_{K\bo k}(X):=\Fix_{Π}(K^X)$, où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ +par $σ ⋅ f:\big(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)\big)$, est également trivialisée +par $K \bo k$ (\refext{Alg}{sous-quotient-diag=diag} (ii)). +Si l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$, par $λ ⋅ σ = σ^{-1}(λ)$, +l'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$. +En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$ +le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$, +on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$ +vers $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$. + +\subsubsection{}Étudions le lien entre ces constructions et la théorie +de Galois telle que présentée en \refext{CG}{correspondance Galois finie}. +À cet effet, considérons un sous-groupe $H$ de $Π$, auquel on associe +naturellement le $Π$-ensemble $H ∖ Π$ des classes à droite $\{H σ\}$, $σ ∈ Π$. +Pour tout $Π$-ensemble $Y$, l'application +$\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(H ∖ Π,Y) → \Fix_H(Y)$, $φ ↦ φ(H)$ +est une bijection. Il en résulte que $Θ^{K\bo k}(H ∖ Π)$ est naturellement +en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$. + + +\begin{théorème2} +\label{Galois-Grothendieck fini} +Soit $K\bo k$ une extension fini étale de groupe de Galois $Π$. +Les foncteurs +\[π₀^{K\bo k}: \categ{\acute{E}t}(K\bo k) → Π\traitdunion\Ens𝖿\] +et +\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\Ens𝖿 → \categ{\acute{E}t}(K\bo k)\] +sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre. + +\begin{enumerate} +\item L'application $A ↦ π₀^{K\bo k}(A)$ induit une bijection entre +les classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales trivialisées par $K \bo k$ +et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus, +\[ +[A:k] = ♯ π₀^{K\bo k}(A). +\] +\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$, +l'application +\[ +\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B) → \Hom_{Π\traitdunion\Ens}(π₀^{K\bo k}(B),π₀^{K\bo k}(A)) +\] +est une bijection. +\item +\end{enumerate} +\end{théorème2} \[⁂\] -Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre -finie, on note $A^{\japmath{田}}(K)$ l'ensemble fini $\Hom_k(A,K)$ et que ce dernier -est en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A_K,K)$ -(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable} (i)). -Il est naturellement muni d'une action de $Π$ par -composition : si $u:A→K$, on pose $σ\cdot u:=σ\circ u$. -Si $f:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres, l'application -$B^{\japmath{田}}(K)→A^{\japmath{田}}(K)$, $v↦u:=v\circ f$, est $Π$-équivariante -pour ces actions. Réciproquement, on peut -associer à tout $Π$-ensemble fini $X$ la -$k$-algèbre étale $k_X=\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$ -des fonctions $f:X→K$ qui sont $Π$-équivariantes -c'est-à-dire telles que $f(σ\cdot x)=σ(f(x))$. -(Alternativement, $k_X=\Fix_Π(\Hom_{\Ens}(X,K))$, -où l'action de $Π$ sur $\Hom_{\Ens}(X,K)=K^X$ est donnée par $σ ⋅ f:x ↦ σ(f(σ^{-1}x))$.) -La $k$-algèbre $K^X$ est trivialisée par $K\bo k$ ; -il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X$ (\refext{Alg}{sous-diag=diag}). -Enfin, notons que tout morphisme $X→Y$ de $Π$-ensembles induit un morphisme de -$k$-algèbres $k_Y→k_X$. -\begin{quote} -On peut sans doute réécrire tout ça en terme de $π₀(A_K)$ ; c'est peut-être -plus parlant. Cependant : $π₀$ est muni d'une action à \emph{droite} -et il faut vérifier dans [Alg] que chaque $𝔵$ dans $π₀$ induit, +Il faut vérifier dans [Alg] que chaque $𝔵$ dans $π₀$ induit, dans le cas diagonalisable, un morphisme $A ↠ K$ qui envoie $a$ sur $\ev_A(a)$ via isomorphisme $π₀$ et $K$-points... -\end{quote} -\begin{proposition2}\label{Galois-Grothendieck fini} +\begin{proposition2} Soit $K\bo k$ une extension finie étale de groupe de Galois $Π$. \begin{enumerate} |