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path: root/chapitres/formes-tordues.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 18:44:07 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 18:44:07 +0100
commit86d4da44e78929304edb148e35f5cf631edb8f9a (patch)
treeb7e99be0b001bba5f75c73c2f3180809e49a74c5 /chapitres/formes-tordues.tex
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[CG, Alg, formes] améliorations sorites en vue de réécriture Galois-Grothendieck
Toudou : — Hom_k(V,W) ⥲ Fix_G(Hom_K(V_K,W_K) — application à Galois-Grothendieck — améliorer [formes] : torseurs etc.
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-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex10
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index a94fa0f..8d9f915 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -89,8 +89,8 @@ La $k$-algèbre $K^X=\Hom_{\Ens}(X,K)$ est étale, trivialisée par $K \bo k$,
si bien que sa sous-algèbre $Θ_{K\bo k}(X):=\Fix_{Π}(K^X)$, où $Π$ agit à gauche sur $K^X$
par $σ ⋅ f:\big(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)\big)$, est également trivialisée
par $K \bo k$ (\refext{Alg}{sous-quotient-diag=diag} (ii)).
-Si l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$, par $λ ⋅ σ = σ^{-1}(λ)$,
-l'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$.
+L'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$,
+où l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$ par $a ⋅ σ = σ^{-1}(a)$.
En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$
le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$,
on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$
@@ -105,6 +105,8 @@ $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(H ∖ Π,Y) → \Fix_H(Y)$, $φ ↦ φ(H)$
est une bijection. Il en résulte que $Θ^{K\bo k}(H ∖ Π)$ est naturellement
en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$.
+% Dire que si $K ⊆ K ′$, $π₀^{K ′ /k}(A) → π₀^{K /k}(A)$ est un iso si $K/k$ trivialise $A$
+% (Utile pour version profinie j'imagine.)
\begin{théorème2}
\label{Galois-Grothendieck fini}
@@ -608,7 +610,7 @@ considérons le $Π$-ensemble fini $A^\japmath{田}(K)$ où $σ∈Π$ agit par
composition :
$σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
-(\ref{Galois-Grothendieck fini})
+(\ref{Galois-Grothendieck fini})
cette construction induit une bijection entre l'ensemble
$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
d'isomorphismes
@@ -625,7 +627,7 @@ Pour conclure deux méthodes s'offrent à nous.
\emph{Première méthode} : vérifier que l'hypothèse (F)
est satisfaite. C'est une simple variante
-de la seconde démonstration de \ref{KsurG=k}.
+de la seconde démonstration de \refext{CG}{KsurG=k}.
Il en résulte (cf. \ref{formes et cohomologie})
que l'application de l'énoncé est injective. Comme le but
est fini et, d'après ce qui précède, en bijection