diff options
author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-16 18:44:07 +0100 |
---|---|---|
committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-16 18:44:07 +0100 |
commit | 86d4da44e78929304edb148e35f5cf631edb8f9a (patch) | |
tree | b7e99be0b001bba5f75c73c2f3180809e49a74c5 /chapitres/formes-tordues.tex | |
parent | 2bcb871debbbc1c1469d211b2498bf4c9ae009c2 (diff) | |
download | galois-86d4da44e78929304edb148e35f5cf631edb8f9a.tar.gz galois-86d4da44e78929304edb148e35f5cf631edb8f9a.tar.bz2 galois-86d4da44e78929304edb148e35f5cf631edb8f9a.zip |
[CG, Alg, formes] améliorations sorites en vue de réécriture Galois-Grothendieck
Toudou :
— Hom_k(V,W) ⥲ Fix_G(Hom_K(V_K,W_K)
— application à Galois-Grothendieck
— améliorer [formes] : torseurs etc.
Diffstat (limited to 'chapitres/formes-tordues.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/formes-tordues.tex | 10 |
1 files changed, 6 insertions, 4 deletions
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index a94fa0f..8d9f915 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -89,8 +89,8 @@ La $k$-algèbre $K^X=\Hom_{\Ens}(X,K)$ est étale, trivialisée par $K \bo k$, si bien que sa sous-algèbre $Θ_{K\bo k}(X):=\Fix_{Π}(K^X)$, où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ par $σ ⋅ f:\big(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)\big)$, est également trivialisée par $K \bo k$ (\refext{Alg}{sous-quotient-diag=diag} (ii)). -Si l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$, par $λ ⋅ σ = σ^{-1}(λ)$, -l'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$. +L'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$, +où l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$ par $a ⋅ σ = σ^{-1}(a)$. En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$ le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$, on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$ @@ -105,6 +105,8 @@ $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(H ∖ Π,Y) → \Fix_H(Y)$, $φ ↦ φ(H)$ est une bijection. Il en résulte que $Θ^{K\bo k}(H ∖ Π)$ est naturellement en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$. +% Dire que si $K ⊆ K ′$, $π₀^{K ′ /k}(A) → π₀^{K /k}(A)$ est un iso si $K/k$ trivialise $A$ +% (Utile pour version profinie j'imagine.) \begin{théorème2} \label{Galois-Grothendieck fini} @@ -608,7 +610,7 @@ considérons le $Π$-ensemble fini $A^\japmath{田}(K)$ où $σ∈Π$ agit par composition : $σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$. D'après la correspondance de Galois-Grothendieck -(\ref{Galois-Grothendieck fini}) +(\ref{Galois-Grothendieck fini}) cette construction induit une bijection entre l'ensemble $\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes d'isomorphismes @@ -625,7 +627,7 @@ Pour conclure deux méthodes s'offrent à nous. \emph{Première méthode} : vérifier que l'hypothèse (F) est satisfaite. C'est une simple variante -de la seconde démonstration de \ref{KsurG=k}. +de la seconde démonstration de \refext{CG}{KsurG=k}. Il en résulte (cf. \ref{formes et cohomologie}) que l'application de l'énoncé est injective. Comme le but est fini et, d'après ce qui précède, en bijection |