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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 10:51:46 +0100
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+
+\title{Formes tordues}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Formes tordues}
+\fi
+
+\section{Formes et cohomologie galoisienne, généralités}\label{formes}
+
+Références : \cite{CG@Serre}, chap. I, §§2,5 et chap. III,
+§1 ainsi que \cite{CL@Serre}, chap. X et \cite[§§18,28]{Involutions@KMRT}.
+
+\subsection{Correspondance de Galois-Grothendieck}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $Π$.
+Dans ce paragraphe nous allons énoncer et démontrer
+une généralisation de la correspondance de Galois
+finie (\refext{CG}{correspondance Galois finie}),
+sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres}
+étales trivialisée par $K\bo k$ (\refext{Alg}{algèbre
+trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
+il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe.
+
+\subsubsection{}\label{notations Galois-Grothendieck}Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre
+finie, on note $A^{\japmath{田}}(K)$ l'ensemble fini $\Hom_k(A,K)$ et que ce dernier
+est en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A_K,K)$
+(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable} (i)).
+Il est naturellement muni d'une action de $Π$ par
+composition : si $u:A→K$, on pose $σ\cdot u:=σ\circ u$.
+Si $f:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres, l'application
+$B^{\japmath{田}}(K)→A^{\japmath{田}}(K)$, $v↦u:=v\circ f$, est $Π$-équivariante
+pour ces actions. Réciproquement, on peut
+associer à tout $Π$-ensemble fini $X$ la
+$k$-algèbre étale $k_X=\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$
+des fonctions $f:X→K$ qui sont $Π$-équivariantes
+c'est-à-dire telles que $f(σ\cdot x)=σ(f(x))$.
+(Alternativement, $k_X=\Fix_Π(\Hom_{\Ens}(X,K))$,
+où l'action de $Π$ sur $\Hom_{\Ens}(X,K)=K^X$ est donnée par $σ ⋅ f:x ↦ σ(f(σ^{-1}x))$.)
+La $k$-algèbre $K^X$ est trivialisée par $K\bo k$ ;
+il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X$ (\refext{Alg}{sous-diag=diag}).
+Enfin, notons que tout morphisme $X→Y$ de $Π$-ensembles induit un morphisme de
+$k$-algèbres $k_Y→k_X$.
+
+\begin{proposition2}\label{Galois-Grothendieck fini}
+Soit $K\bo k$ une extension finie étale de groupe
+de Galois $Π$.
+\begin{enumerate}
+\item Les applications $A↦ A^{\japmath{田}}(K)$ et $X↦k_X$ induisent
+des bijections entre l'ensemble des classes d'isomorphismes
+de $k$-algèbres étales trivialisées par $K\bo k$
+et l'ensemble des classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles
+finis. Ces applications font se correspondre le $k$-rang
+et le cardinal.
+\item Elles sont réciproques l'une de l'autre au sens
+suivant :
+\begin{enumerate}
+\item pour toute $k$-algèbre étale $A$ trivialisée par $K\bo
+k$,
+l'application d'évaluation
+\[\ev_A:A→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(A^\japmath{田}(K),K)=k_{A^\japmath{田}(K)}\]
+\[a↦\big((f:A→K)↦f(a)\big)\]
+est un isomorphisme de $k$-algèbres ;
+\item pour tout $Π$-ensemble $X$, l'application
+d'évaluation \[\ev_X:X→\Hom_k(k_X,K)={k_X}^\japmath{田}(K)\]
+\[x↦\big((f:X→K)↦f(x)\big)\] est une bijection
+$Π$-équivariante.
+\end{enumerate}
+\item Pour toute paire de $k$-algèbres étales diagonalisées
+par $K\bo
+k$ et toute paire de $Π$-ensembles finis, les applications
+\[\Hom_k(A,B)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(B^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)\]
+et
+\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,Y)→\Hom_k(k_Y,k_X)\]
+sont des \emph{bijections}.
+\item (Lien avec correspondance de Galois classique)
+Soit $H$ un sous-groupe de $Π$ et soit $k'$ une sous-$k$-extension de $K$.
+L'algèbre $k_{Π/H}$ est naturellement isomorphe au
+\emph{corps} $\Fix_H(K)$ et le $Π$-ensemble ${k ′}^\japmath{田}(K)$
+à l'ensemble quotient $Π/\Gal(K\bo k ′)$.
+Plus précisément :
+\begin{enumerate}
+\item Le morphisme de $k$-algèbres
+\[k_{Π/H}→\Fix_H(K)\]
+\[\big((f:Π/H→K)↦f(H)\big),\]
+où $Π/H$ désigne l'ensemble $\{σH\}$ des classes à gauche
+suivant $H$, est un isomorphisme.
+\item Le morphisme de $Π$-ensembles
+\[Π/\Gal(K\bo k')→{k'}^\japmath{田}(K)\]
+\[σ\Gal(K\bo k')↦\big(k'→K,x'↦σ(x')\big)\]
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+On peut essentiellement paraphraser (i)-(iii) en disant,
+suivant (\refext{Cat}{definition-equivalence-categories}), que les
+catégories des $k$-algèbres étales diagonalisées par $K\bo k$ et des $Π$-ensembles finis sont
+anti-\emph{équivalentes}, les foncteurs $A↦ A^{\japmath{田}}(K)$ et $X↦k_X$
+étant \emph{quasi}-inverses l'un de l'autre.
+
+Une démonstration « cohomologique » d'une partie de cette proposition
+sera donnée en §\ref{H1kSn}.
+
+\begin{démo}
+Nous allons procéder à reculons pour nous ramener au cas de la correspondance
+de Galois classique.
+
+(iv). Pour tout $Π$-ensemble $Y$, l'application
+$\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(Π/H,Y)→\Fix_H(Y)$, $f↦f(H)$
+est une bijection. Le a) en découle. Vérifions b). Soit $ι$ l'injection
+$k'↪K$ vue comme élément de ${k'}^\japmath{田}(K)$. Il est
+tautologique que le stabilisateur $\Stab_Π(ι)$ de $ι$ est
+le sous-groupe $\Gal(K\bo k')$ de $Π$. Pour démontrer b), il
+suffit donc de vérifier que l'action de $Π$ sur ${k'}^\japmath{田}(K)$
+est \emph{transitive}. Or, si $ι₁$ et $ι₂$ sont deux
+$k$-plongements
+$k'→K$, ils se prolongent en des $k$-automorphismes $σ_1$ et
+$σ₂$ de $K$. L'élément $σ=σ_1σ₂^{-1}$ envoie $ι₂$ sur $ι₁$.
+
+(ii). Soient $X$ un $Π$-ensemble et $A$ une
+$k$-algèbre.
+Puisque $k_{X∐Y}$ (resp. $(A×B)^\japmath{田}(K)$) est naturellement
+isomorphe à $k_X×k_Y$ (resp. $A^\japmath{田}(K)∐B^\japmath{田}(K)$), et que ces
+isomorphismes sont compatibles aux applications d'évaluations, on peut supposer
+que $X$ est \emph{connexe}, \cad que l'action de $Π$ sur $X$ est
+transitive, et d'autre part que $A$ est un corps.
+Quitte à remplacer $X$ (resp. $A$) par un $Π$-ensemble
+(resp. une $k$-algèbre) isomorphe, on peut supposer que
+$X=Π/H$ (resp. $A=k'$) où $H$ est un sous-groupe de $Π$
+(resp. $k'$ est une sous-$k$-extension de $k'$). (Rappelons
+(\refext{Alg}{diagonalisable implique sous-truc}) que toute $k$-\emph{extension}
+trivialisée par $K$ se plonge dans $K$.) Vérifions le point a).
+Comme nous l'avons vu en (iv), le $Π$-ensemble
+${k'}^\japmath{田}(K)=\Hom_k(k',K)$ et la $k$-algèbre $k_{Π/\Gal(K\bo k')}$ sont respectivement
+isomorphes à $Π/\Gal(K\bo k')$ et $k'$. On vérifie immédiatement que
+l'isomorphisme $k'⥲k_{{k'}^\japmath{田}(K)}$ obtenu ainsi par composition n'est autre
+que le morphisme d'évaluation de l'énoncé. La démonstration du b) est semblable.
+
+Seconde démonstration de a) n'utilisant pas la correspondance de Galois
+classique.
+On souhaite montrer que le morphisme d'évaluation
+$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est un isomorphisme.
+Comme l'algèbre $A$ est supposée étale sur $k$, trivialisée par $K$, on
+a égalité $♯A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
+du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est $n$. Il résulte
+du lemme \ref{lemme de Speiser} ci-dessous que le $k$-espace vectoriel
+$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est également de dimension $n$.
+Pour montrer que le morphisme $\ev_A$ est un isomorphisme il suffit donc de vérifier
+qu'il est injectif. Si $a$ est dans le noyau, on a $f(a)=0$ pour tout
+$k$-morphisme $f:A → K$. Il en résulte que les $K$-morphismes $A_K=A ⊗_k K →
+K$ envoient $a ⊗ 1$ sur $0$. Comme $A_K$ est isomorphe à $K^n$,
+la considération des $n$ projections montre que $a ⊗ 1=0$ et, finalement, $a=0$.
+
+(iii). Soient $L$ une sous-$k$-extension de $K$ et $A$ une
+$k$-algèbre étale diagonalisée par $K\bo k$.
+L'isomorphisme (iv.b) $Π/\Gal(K\bo L)⥲L^\japmath{田}(K)$ induit une
+bijection
+\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)⥲
+\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),A^\japmath{田}(K)\big).\]
+Par composition avec l'isomorphisme
+\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),\tiret)⥲
+\Fix_{\Gal(K\bo L)}(\tiret)\] on en déduit
+un isomorphisme
+\(\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)⥲\Fix_{Π/\Gal(K\bo
+L)}\big(A^\japmath{田}(K)\big)\).
+Ce dernier ensemble n'est autre que $\Hom_k(A,L)$ car
+$\Fix_{Π/\Gal(K\bo L)}(K)=L$. On vérifie sans peine que la
+bijection ainsi obtenue est l'inverse de l'application
+$\Hom_k(A,L)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)$
+de l'énoncé. Le cas d'une $k$-algèbre étale $B$
+diagonalisable sur $K$ se ramène à ce cas particulier par « dévissage »
+(décomposition en produit de corps).
+La démonstration du second point est semblable et laissée
+en exercice au lecteur. \XXX.
+
+(i). Conséquence immédiate de (ii) et (iii).
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+On peut voir l'énoncé (ii) comme un résultat de
+« bidualité ».
+\end{remarque2}
+
+\begin{exemple2}
+Soient $C$ un groupe commutatif et $f:Π → C$ un morphisme de groupes.
+Notons $C_f$ le $Π$-ensemble $C$ muni de l'action $σ ⋅ c=c+f(σ)$.
+La $k$-algèbre $k_{C_f}$ est par définition
+la sous-$k$-algèbre
+\[\{(λ_c) ∈ K^C: σ(λ_c)=λ_{c+f(σ)} \text{ pour tout }σ ∈ Π\}
+\]
+de $K^C$. Elle est connue dans $\big(\Fix_{\Ker(f)}(K)\big)^C$.
+Il résulte du théorème précédent que $k_{C_f}$ est un corps si et seulement
+si l'action de $Π$ sur $C_f$ est \emph{transitive}. Cela
+revient à dire que le morphisme $f$ est \emph{surjectif}.
+Dans ce cas, le morphisme évident $\Aut_{Π\traitdunion\Ens}(C_f) →
+C$, $a ↦ a(0)$, est un isomorphisme. Il en découle que le corps $k_{C_f}$
+est une extension galoisienne de $k$ de groupe naturellement isomorphe à $C$.
+La théorie de Galois prédit qu'une telle extension correspond
+à un sous-groupe distingué de $Π$. On peut vérifier
+qu'il s'agit du noyau de $f$, conformément au résultat attendu
+d'après (iv). En effet, la surjectivité de $f$ force
+$k_{C_f}$ à être l'image du sous-corps $\Fix_{\Ker(f)}(K)$ de $K$ plongé diagonalement
+dans $\big(\Fix_{\Ker(f)}(K)\big)^C ⊆ K^C$.
+\end{exemple2}
+
+\subsection{Formes, cocycles associés}
+
+\subsubsection{}Soit $K\bo k$ une extension de corps et
+supposons donné un procédé — appelé « extension des
+scalaires de $k$ à $K$ »
+et noté $x↦x_{∕K}$ — associant à des objets et des
+applications
+dits « définis sur $k$ » (ou $k$-objets, $k$-morphismes)
+des objets et des applications dits « définis sur $K$ » (ou
+$K$-objets, $K$-morphismes).
+Un $k$-objet $y$ est dit être une \emph{$K\bo k$-forme} d'un
+$k$-objet $x$ s'il existe un $K$-isomorphisme entre $x_{∕K}$
+et $y_{∕K}$.
+En termes plus précis, on se donne deux \emph{catégories}
+$\categ{C}$ et
+$\categ{C}'$ (la première étant appelée catégorie des
+$k$-objets, la seconde
+catégorie des $K$-objets), un \emph{foncteur}
+$e:\categ{C}→\categ{C}'$
+(appelé foncteur d'extension des scalaires) et l'on dit
+qu'un objet $y∈\ob
+\categ{C}$ est une $K∕k$-forme d'un objet $x∈\ob \categ{C}$
+s'il existe un isomorphisme
+(dans la catégorie $\categ{C}'$) entre les objets $e(x)$ et
+$e(y)$.
+
+Supposons maintenant que l'extension $K\bo k$ est
+galoisienne, dont
+on notera $Π$ le groupe de Galois, et que ce dernier agit
+naturellement sur les objets obtenus par extension des
+scalaires.
+Formellement : on se donne un morphisme $Π→\Aut(e)$, où
+$\Aut(e)$
+désigne l'ensemble des transformations naturelles
+inversibles du foncteur $e$ vers
+lui-même.
+
+\begin{exemples2}\label{exemple k-formes kn}
+Ces conditions sont réunies si l'on prend pour $k$-objets
+les $k$-algèbres, pour $K$-objets les $K$-algèbres,
+et pour foncteur d'extension des scalaires le foncteur
+$\tiret⊗_k K$. Une $K\bo k$-forme de l'algèbre \emph{diagonale}
+$k^n$ ($n≥1$)
+n'est autre qu'une $k$-algèbre étale de rang $n$
+trivialisée par l'extension $K\bo k$ (cf. \refext{Alg}{etale}).
+\end{exemples2}
+
+\subsubsection{}\label{action G sur Aut}Par hypothèse, le
+groupe $Π$ agit sur les objet $x_{∕K}$ où
+$x$ est défini sur $k$ : on a pour chaque $x$ un morphisme
+$Π→\Aut(x_{∕K})$,
+noté $σ↦g_x$.
+Il agit donc naturellement par conjugaison sur le groupe
+non nécessairement commutatif $A=\Aut(x_{∕K})$ des automorphismes
+$\Aut(x_{∕K})$, et plus généralement sur les ensembles
+$\Hom(x_{\bo K},y_{\bo K})$ : si $f:x_{∕K}→y_{∕K}$ est un
+$K$-morphisme,
+$σ⋅f$, aussi noté ${^σ f}$, est $σ_y f σ_x^{-1}$.
+En d'autres termes, le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row
+sep=5ex]{
+x_{∕K} & y_{∕K} \\ x_{∕K} & y_{∕K}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$σ_x$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$σ_y$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$f$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$σ⋅f$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+commute. \XXX
+
+\subsubsection{}\label{definition cocycle forme}Fixons
+maintenant un $k$-objet $x$ et supposons
+que $y$ en soit une $K\bo k$-forme.
+À tout isomorphisme $φ:x_{\bo K}⥲y_{\bo K}$, on
+associe une \emph{fonction} $Π→A$, notée
+$c_φ$, définie par
+$c_φ(g)=φ^{-1}∘σ_y∘φ∘σ_x^{-1}$.
+(En diagramme :
+\XXX
+)
+
+\begin{lemme2}
+L'application $c_φ$ satisfait la relation suivante :
+pour tout couple $(σ,τ)∈Π²$,
+\begin{equation}
+\tag{$\star$} c_φ(στ)=c_φ(σ)⋅{^σ c_φ(τ)}.
+\end{equation}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte des deux égalités
+\[
+c_φ(στ)=φ^{-1}σ_y τ_y φ τ_x^{-1}σ_x^{-1}=\big(φ^{-1}σ_y φ
+σ_x^{-1}\big)\big(σ_x(φ^{-1}τ_y φ σ_x^{-1})σ_x^{-1}\big).
+\]
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\label{généralités 1-cocycles}
+Une telle application est dite un \emph{$1$-cocycle} de $Π$ dans le
+groupe $A$ ; leur ensemble est noté $Z¹(Π,A)$.
+(Pour des définitions moins \emph{ad hoc} et plus
+générales des cocycles d'un groupe à valeurs dans un autre,
+ainsi que divers compléments, nous renvoyons le lecteur à
+l'appendice
+\refext{Coho}{}\XXX.)
+
+Voyons maintenant comment dépend de $φ$ l'application $c_φ$.
+Soit $ψ:x_{\bo K}⥲y_{\bo K}$ un autre $K$-isomorphisme et
+posons $a=ψ^{-1}φ∈\Aut(x_{\bo K})$.
+On vérifie immédiatement que l'on a
+\begin{equation}
+\tag{$\star\star$} c_φ(σ)=a^{-1}⋅c_ψ(σ)⋅{^σ a}.
+\end{equation}
+
+Deux $1$-cocycles $c$ et $c'$ de $Π$ dans un groupe non nécessairement
+commutatif $A$ muni d'une action de $Π$ (ici $A=\Aut(x_{\bo K})$) sont dit \emph{cohomologues}
+s'il existe un élément $a∈A$
+tel que $c(σ)=a^{-1}⋅c'(σ)⋅{^σ a}$. C'est une relation
+d'équivalence
+sur $Z¹(Π,A)$ et l'ensemble quotient est noté $H¹(Π,A)$. Il
+est appelé « premier ensemble de cohomologie à valeurs dans $A$ ».
+
+Signalons que l'on note également $H⁰(Π,A)$ l'ensemble des points fixes
+$\Fix_Π(A)$.
+
+\begin{remarque2}\label{H1=Hom}
+Si $Π$ agit trivialement sur $A$, les $1$-cocycles
+de $Π$ à valeurs dans $A$ ne sont autre que les applications
+$f:Π→A$ qui sont multiplicatives (c'est-à-dire :
+$∀(σ,τ)∈Π²,f(στ)=f(σ)f(τ)$).
+Il s'agit donc de morphismes de groupes (car
+$f(e_Π)²=f(e²_Π)=f(e_Π)$)
+et deux tels morphismes sont cohomologues si et seulement si
+ils sont
+conjugués (dans $A$) :
+\[
+H¹(Π,A)=\Hom_{\categ{Grp}}(Π,A)/\textrm{conjugaison dans }A.
+\]
+En particulier, si $A$ est abélien, on a
+canoniquement $\Hom_{\categ{Grp}}(Π,A) ⥲H¹(Π,A)$.
+\end{remarque2}
+
+Les cocycles $c_φ$ et $c_ψ$ étant cohomologues, on
+peut donc associer à toute $K\bo k$-forme $y$ de $x$
+une classe $[y]∈H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))$ qui ne dépend que de
+$y$.
+Mieux encore :
+
+\begin{lemme2}
+Cette classe de cohomologie ne dépend que de la classe de
+$k$-isomorphisme
+de $y$ : si $y$ et $y'$ sont $k$-isomorphes, $[y]=[y']$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Fixons un $K$-isomorphisme $φ:x_{\bo K}⥲y_{\bo K}$ et un
+$k$-isomorphisme
+$b:y⥲y'$. On en déduit un $K$-isomorphisme $ψ:x_{\bo
+K}⥲y'_{\bo K}$ par composition :
+$ψ=b_{\bo K}∘φ$.
+Il résulte des définitions que l'on a pour tout $σ∈Π$ :
+\[
+c_φ(σ)=φ^{-1}σ_y φ σ_x^{-1}
+\]
+et
+\[
+c_ψ(σ)=(b_{\bo K}∘φ)^{-1}σ_{y'}(b_{\bo K}∘φ)σ_x^{-1}.
+\]
+Comme $b_{\bo K}$ provient par extension des scalaires d'un
+$k$-morphisme, on a
+$σ_{y'}b_{\bo K}=b_{\bo K}σ_y$.
+De façon équivalente, $b_{\bo K}^{-1}σ_{y'}=σ_y b_{\bo
+K}^{-1}$
+et, finalement, $c_ψ=c_φ$.
+\end{démo}
+
+Notons $\textrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
+de $k$-isomorphisme des $K\bo k$-formes de $x$.
+Nous venons de construire une application
+\begin{equation}\label{formes vers H1}
+\textrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
+\end{equation}
+
+\subsubsection{}\label{hypothèse faisceau}Un des point clef
+de la théorie de Galois
+est le lemme \ref{KsurG=k} d'après lequel $\Fix_Π(K)=k$.
+Dans notre cadre axiomatique, il est naturel de faire
+une hypothèse de cette nature pour préciser le lien
+entre les objets sur $K$ et les objets sur $k$. Nous la
+formulons de la façon suivante :
+
+\begin{quote}
+(F) Pour toute paire d'objets $y$ et $y'$ définis sur $k$,
+l'application
+\[
+\Hom(y,y')→\Hom(y_{\bo K},y'_{\bo K})
+\]
+induit une \emph{bijection}
+\[
+\Hom(y,y')⥲\Fix_Π\big(\Hom(y_{\bo K},y'_{\bo K})\big).
+\]
+\end{quote}
+
+% F pour « faisceau ».
+
+\begin{proposition2}\label{formes et cohomologie}
+Sous l'hypothèse (F), l'application
+\[
+\textrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
+\]
+\[
+\textrm{classe de $k$-isomorphisme de }y↦[y]
+\]
+est \emph{injective}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Supposons en effet que $y$ et $y'$ soient deux $K\bo
+k$-formes de $x$
+induisant la même classe de $1$-cocycle. Si $φ$ (resp. $ψ$)
+est un isomorphisme
+$x_{\bo K}⥲y_{\bo K}$ (resp. $x_{\bo K}⥲y'_{\bo K}$), la
+condition
+$[y]=[y']$, se réécrit : il existe $a$ dans $\Aut(x_{\bo
+K})$
+tel que pour tout $σ∈Π$, $φ^{-1}σ_y φ
+σ_x^{-1}=a^{-1}⋅ψ^{-1}σ_{y'}ψ σ_x^{-1}⋅{^σ a}$.
+Cette égalité est équivalente à ${^σ (ψaφ^{-1})}=ψaφ^{-1}$.
+D'après l'hypothèse (F), le $K$-isomorphisme
+$σ=ψaφ^{-1}:y_{\bo K}⥲y'_{\bo K}$
+provient donc d'un $k$-isomorphisme $y⥲y'$. CQFD.
+(\emph{A priori}, on sait seulement que $σ$ provient d'un
+$k$-\emph{morphisme}
+$τ:y→y'$ ; il suffit d'appliquer le même argument à $σ^{-1}$
+pour
+obtenir un inverse de $τ$.)
+\end{démo}
+
+Terminons cette discussion générale par une illustration
+de la théorie dans un cas particulièrement simple.
+
+\subsection{$k$-algèbres finies diagonalisables par $K\bo k$}\label{H1kSn}
+
+\subsubsection{}\label{H1kSn début} Considérons comme en \ref{exemple k-formes kn}
+les catégories des $k$-algèbres, des $K$-algèbres
+et le foncteur évident d'extension des scalaires (produit
+tensoriel). Fixons un entier $n≥1$. Comme on l'a rappelé
+ci-dessus,
+les $K\bo k$-formes de $k^n$ ne sont autres que les
+$k$-algèbres de rang
+$n$ trivialisées par l'extension $K\bo k$.
+
+Pour mémoire, rappelons que les trois applications
+$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\mathrm{pr}_i)$
+($\mathrm{pr}_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
+$\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
+$φ↦\Ker(φ)$, et
+$\Aut_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K))$,
+$φ↦(ψ↦ψφ)$, sont des bijections. Cela résulte
+par exemple de \refext{Alg}{ideaux-k-X} pour la première, de
+\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
+\refext{Alg}{k-algebres-finies}, et \refext{Alg}{critere
+diagonalisabilite}
+pour la seconde et enfin de \ref{Galois-Grothendieck fini}
+(dans le cas
+particulier où $G=\{1\}$) pour la troisième.
+
+En d'autres termes, le groupe $\Aut_K(K^n)$ est
+naturellement isomorphe à
+$𝔖_n$ : un automorphisme de $K$-algèbre de $K^n$ est une
+permutation des coordonnées.
+L'action induite de $Π$ sur $𝔖_n$ est ici triviale car $Π$
+agit composante par composante sur $K^n$.
+
+Il résulte de la construction générale qui précède que nous
+disposons
+d'une application explicite :
+\[
+\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
+k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
+}n\textrm{ diag. sur }K\}∕\textrm{isom.}→H¹(Π,𝔖_n).
+\]
+
+\begin{proposition2}\label{formes algebres commutatives}
+L'application
+\[
+\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
+k),𝔖_n)
+\]
+est une bijection.
+\end{proposition2}
+
+
+\begin{démo}
+Soit $A$ une $K\bo k$-forme de $k^n$ et
+considérons le $Π$-ensemble fini $A^\japmath{田}(K)$ où $σ∈Π$ agit par
+composition :
+$σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
+D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
+(\ref{Galois-Grothendieck fini})
+cette construction induit une bijection entre l'ensemble
+$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
+d'isomorphismes
+d'action de $Π$ sur $\{1,\dots,n\}$. Ce dernier
+n'est autre que l'ensemble des morphismes
+de groupes de $Π$ dans $𝔖_n$, modulo conjugaison,
+qui coïncide avec $H¹(Π,𝔖_n)$ car l'action de $Π$ est
+triviale (cf. \ref{H1=Hom}).
+
+Ceci montre déjà que les deux ensembles
+$\textrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
+sont en bijection ; en particulier, ils ont même cardinal.
+Pour conclure deux méthodes s'offrent à nous.
+
+\emph{Première méthode} : vérifier que l'hypothèse (F)
+est satisfaite. C'est une simple variante
+de la seconde démonstration de \ref{KsurG=k}.
+Il en résulte (cf. \ref{formes et cohomologie})
+que l'application de l'énoncé est injective. Comme le but
+est fini et, d'après ce qui précède, en bijection
+avec la source, l'application de l'énoncé est une bijection.
+
+\emph{Seconde méthode} : vérifier que l'application
+$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
+de construire en utilisant la correspondance de
+Galois-Grothendieck
+coïncide avec l'application de l'énoncé, définie de façon
+plus
+générale. Pour cela, on explicite cette dernière.
+Soit $A$ une $k$-algèbre de rang $n$ trivialisée par $K\bo
+k$.
+Le morphisme d'évaluation (cf. \refext{Alg}{consequences
+lemme chinois})
+$A_K→ K^{A_K^\japmath{田}(K)}$ est un isomorphisme. Rappelons que
+$A_K=A⊗_k K$ (par définition) et que l'application de
+restriction
+$A_K^\japmath{田}(K)→A^\japmath{田}(K)$ des $K$-morphismes de $A_K$ dans $K$
+vers les $k$-morphismes de $A$ dans $K$ est une bijection
+(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable}).
+Notons $\ev:A_K⥲K^{A^\japmath{田}(K)}$ l'isomorphisme ainsi obtenu
+et $φ$ son inverse. On vérifie immédiatement que $\ev$
+envoie $b=a⊗λ$ sur $x∈A^\japmath{田}(K)↦λx(a)∈K$.
+Soit $σ∈Π=\Gal(K\bo k)$. Son action sur $A_K$ est
+caractérisée par
+$σ_A⋅a⊗λ=a⊗σ(λ)$ tandis que son action sur l'algèbre
+diagonale
+$K^{A^\japmath{田}(K)}$ se fait coordonnées par coordonnées :
+$σ⋅(λ_x)_{x∈A^\japmath{田}(K)}=(σ(λ_x))_{x∈A^\japmath{田}(K)}$.
+Ainsi,
+\[\big(σ∘\ev∘σ_A^{-1}∘{\ev}^{-1}\big)\big(x↦λx(a)\big)=(x↦λ
+\big(σ∘x)(a)\big).\]
+Par définition, l'automorphisme $σ∘\ev∘σ_A^{-1}∘{\ev}^{-1}$
+est l'\emph{inverse} du $K$-automorphisme $c_{φ}(σ)$ de
+$K^{A^\japmath{田}(K)}$ ;
+d'après ce qui précède, la permutation de $A^\japmath{田}(K)$
+induite par $c_φ$ en prenant le spectre n'est autre que
+l'application $x↦σ∘x$.
+(Prendre garde que si $σ$ est une permutation d'un ensemble
+fini $X$,
+l'image inverse par l'automorphisme $(λ_x)↦(λ_{σ(x)})$ de
+$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\mathrm{pr}_x)$
+est $𝔭_{σ^{-1}(x)}$.) CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}Comme l'avons vu au début de la démonstration,
+l'ensemble $H¹(Π,𝔖_n)$ est canoniquement en bijection
+avec l'ensemble des classes de conjugaison de morphismes $Π → 𝔖_n$
+(\ref{H1=Hom}), ce dernier étant lui-même naturellement en bijection avec l'ensemble
+des classes d'isomorphisme de $Π$-ensembles de cardinal $n$.
+En explicitant les flèches (cf. \ref{formes algèbres et cocycles}
+\emph{infra}), on peut vérifier qu'un morphisme $c: Π → 𝔖_n$ ($1$-cocycle) correspond
+à l'algèbre étale $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}([1,n],K)$, où
+$Π$ agit sur $[1,n]$ par $c$. On retrouve la description (\ref{Galois-Grothendieck fini})
+des $k$-algèbres étales trivialisées par $K\bo k$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarque2}
+Le morphisme signature $𝔖_n → \{±1\}$ induit une application
+\[H¹(Π,𝔖_n) → H¹(Π,\{±1\}).\]
+(Signalons, bien que cela ne soit pas important ici, que le terme de droite
+est naturellement isomorphe au quotient $({K^×}² ∩ k^×)/{k^×}²$ si la
+caractéristique de $k$ n'est pas deux.)
+D'après ce qui précède, on a associe donc à toute $k$-algèbre
+étale $A$ de rang $n$ trivialisée par $K\bo k$ une $k$-algèbre
+étale de rang $2$ trivialisée par $K\bo k$.
+Supposons que l'algèbre $A$ soit un corps. Elle est alors $k$-isomorphe à un quotient $k[X]/f(X)$
+où $f ∈ k[X]$ est un polynôme séparable de degré $n$, scindé sur $K$.
+Il est essentiellement tautologique (cf. \refext{CG}{definition discriminant et
+2-distinguant}) de vérifier que l'algèbre étale de rang $2$ obtenue
+est $k[T]/(T²-Δ(f))$ si $\car(k)≠2$ et $k[T]/(T²-T-\japmath{別}₂(f))$ sinon.
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Torseurs sur $k$ sous un groupe fini $G$}
+
+\subsubsection{}Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne
+de groupe $Π$ et $G$ un groupe fini. Nous allons donner
+une interprétation générale de l'ensemble de cohomologie
+$H¹(Π,G)$. Signalons qu'on ne l'étudie pas nécessairement \emph{per se}
+mais souvent au motif qu'il décrit les objets que nous allons introduire
+dans un instant. Pour le lien entre ce qui suit, dans le cas
+particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
+précédente, voir remarque \ref{H1(k,Sn)=H1(k,Sn)}.
+
+\subsubsection{}Considérons les catégories des $k$-algèbres
+\emph{munies d'une action $k$-linéaire de $G$} (resp.
+des $K$-algèbres munies d'une action $K$-linéaire de $G$)
+et le foncteur évident d'extension des scalaires
+associant à $A$ l'algèbre $A ⊗_k K$ où $G$ agit trivialement sur
+$K$. De tels objets seront appelés ici $(G,k)$-algèbres
+(resp. $(G,K)$-algèbres). Les morphismes dans $(G,k)\traitdunion\Alg$
+sont les morphismes de $k$-algèbres commutant à l'action de $G$.
+De même sur $K$.
+
+\subsubsection{La $(G,K)$-algèbre $K^G$}
+Considérons la $K$-algèbre $K^G=\Hom_{\Ens}(G,K)$
+munie de l'action de $G$ par translation à droite : $g ⋅ f=f(\tiret g)$.
+Malgré la similitude formelle, prendre garde de ne pas confondre
+cette algèbre avec une des algèbres construites en \ref{notations
+Galois-Grothendieck} ; le groupe $G$ n'agit d'ailleurs \emph{a priori} pas
+sur $K$. (Voir cependant \ref{classification ensembliste des torseurs}
+pour un lien entre ces deux approches.)
+Notons pour chaque $g ∈ G$, $e_g$ la fonction valant $1$ en $g$ et zéro
+ailleurs. Comme vérifié en \refext{Spec}{idempotents-produit},
+l'application $G → \Idem(K^G) ⊆ K^G$, $g ↦ e_g$, induit une bijection
+$G$-équivariante de $G$ vers l'ensemble des idempotents indécomposables,
+où $G$ agit sur lui-même par translation à droite : $g ⋅h=hg^{-1}$. L'algèbre $K^G$ étant réduite,
+il résulte de l'exercice \refext{Alg}{algebres finies via
+idempotents} que l'application $G → \Spec(K^G)$ $g ↦ \Ann(e_g)$ est
+une bijection\footnote{On obtient une seconde démonstration de ce fait en observant que
+$\Ann(e_g)=\Ker(\pr_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}.
+L'isomorphisme $G ⥲ \Spec(K^G)$
+ainsi obtenu est $G$-équivariant, si l'on fait agir $G$ sur le spectre de
+la manière naturelle, c'est-à-dire par $g ⋅ 𝔭=g(𝔭)$.
+(À titre d'exercice, on pourra comparer ces observations avec la conjonction
+de \refext{CG}{galois=autodiag} et \refext{CG}{points-KtensK}.)
+Afin d'étudier suivant la méthode de ce chapitre les formes tordues
+de $K^G$, \emph{en tant que $(G,K)$-algèbre}, il nous faut calculer
+$\Aut_{(G,K)\traitdunion\Alg}(K^G)$. Le sur-groupe $\Aut_{K\traitdunion\Alg}(K^G)$
+est déjà connu : c'est le groupe $𝔖(G)$ des permutations de $G$, que l'on peut voir
+d'après ce qui précède comme groupe de permutations des $𝔭_g ∈ \Spec(K^G)$ ou
+bien comme groupe de permutations des $e_g ∈ \Idem(K^G)$. Les seules permutations
+commutant à l'action de $G$ (par translation à droite des indices) sont
+les translations à gauche par des éléments de $G$.
+En d'autres termes, $\Aut_{(G,K)\traitdunion\Alg}(K^G)$
+est (canoniquement) isomorphe au groupe $G$.
+
+\begin{définition2}
+On appelle $G$-torseur sur $k$ trivialisé par une extension galoisienne
+$K\bo k$ toute $k$-algèbre $A$ munie d'une action $k$-linéaire de $G$
+telle que $A_K$ soit isomorphe à $K^G$.
+\end{définition2}
+
+On note $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle
+$G$-torseur trivial (sous-entendu : sur $k$) le $G$-torseur $k^G$.
+
+\begin{exemple2}\label{extension galoisienne groupe G est un G-torseur}
+Toute extension $k′\bo k$ galoisienne de groupe $G$
+et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)$.
+Choisissons en effet un $k$-plongement $ι$ de $k′$ dans $K$,
+dont l'existence est conséquence du fait que $K\bo k$ diagonalise
+$k′\bo k$ (voir aussi \ref{description explicite Tors=H1}, (i)).
+Une généralisation immédiate de \refext{CG}{galois=autodiag} montre
+que le morphisme $k ′ ⊗_k K → K^G$, $x ⊗ y ↦\big(ι(g(x))y\big)_g$
+est un isomorphisme. Il est $G$-équivariant.
+\end{exemple2}
+
+\begin{remarque2}
+Dans l'exemple précédent, le groupe $G$ est le groupe $\Aut_k(k ′)$.
+Il faut cependant se garder de croire qu'en général le groupe
+se retrouve à partir de l'algèbre sous-jacente au torseur. Il fait
+partie de la donnée.
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}\label{H1G=TorsG}
+L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$
+est naturellement en bijection avec l'ensemble
+$H¹(Π,G)$, quotient de l'ensemble $\Hom(Π,G)$
+sous l'action de $G$ par conjugaison. Si $G$ est abélien, il est isomorphe à $\Hom(Π,G)$.
+\end{proposition2}
+
+On trouvera en \ref{description explicite Tors=H1} une démonstration
+plus directe de ce résultat ainsi qu'un complément.
+
+\begin{démo}
+Le premier énoncé est un cas particulier de la théorie des formes et
+de ce qui précède. La description de $H¹(Π,G)$ est tirée de \ref{H1=Hom}.
+\end{démo}
+
+Ces deux ensembles sont naturellement pointés, respectivement
+par la classe d'isomorphisme du torseur trivial et la classe
+du $1$-cocycle trivial ; la bijection respecte ces points.
+
+\begin{exercice2}\label{description explicite Tors=H1}
+% tiré de Serre et Bayer-F. (1994)
+Soit $A$ un $G$-torseur sur $k$ trivialisé par $K\bo k$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $♯G$ éléments,
+permutés transitivement par l'action naturelle de $G$.
+(Indication : $\Hom_k(A,K) ⥲ \Hom_K(A_K,K)$.)
+\item Soit $ι ∈ \Hom_k(A,K)$. Montrer que pour chaque
+$σ$ dans $Π$, il existe un unique $g_σ$ dans $G$ tel
+que $σ ∘ ι = ι ∘ g_σ$. Montrer que $φ_{A, ι}: Π → G$
+est un morphisme de groupes.
+
+\item Montrer que les $φ_{A,ι}$, pour $ι ∈ \Hom_k(A,K)$, sont
+conjugués par $G$.
+
+\item Montrer que la classe $φ_A$ des $φ_{A,ι}$ dans $H¹(Π,G)$
+coïncide avec la classe de $A$ par l'isomorphisme \ref{H1G=TorsG}.
+
+\item Montrer que l'image de $ι$ est un sous-corps de $K$, indépendant
+de $ι$. On le notera $i(A)$.
+
+\item Montrer que l'extension $i(A)\bo k$ est galoisienne de groupe
+$φ_A(Π)$.
+
+\item Montrer que $A$ est $k$-isomorphe à $(G: φ(Π))$ produits
+de $i(A)$.
+
+\item En déduire que $φ_A$ est \emph{surjectif} si et seulement si
+le torseur $A$ est un \emph{corps}.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+\begin{remarque2}\label{H1(k,Sn)=H1(k,Sn)}
+Nous avons vu en \ref{formes algebres commutatives} une
+description de l'ensemble $H¹(K\bo k,𝔖_n)$ comme ensemble
+des classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales de rang $n$
+trivialisées par $K\bo k$. D'après le corollaire précédent,
+c'est aussi l'ensemble des classes d'isomorphismes de $(𝔖_n,k)$-torseurs
+trivialisés par $K\bo k$. Ces torseurs sont de rang $n!$.
+Cependant, à tout tel torseur $B$, on peut associer l'algèbre
+des points fixes $A=\Fix_{𝔖_{n-1}}(B)$ où $𝔖_{n-1}$ agit par l'injection
+canonique $𝔖_{n-1} ↪ 𝔖_n$. L'algèbre $A$ étale de rang $n$ sur $k$ et
+trivialisée par $K\bo k$. Réciproquement, si $A$ est une algèbre étale de rang
+$n$ trivialisée par $K\bo k$, posons $X=A^{\japmath{田}}(K)$ (cf. p. ex.
+\ref{notations Galois-Grothendieck}) et $Y⊆X^n$ le sous-ensemble de $n$-uplets
+à coordonnées toutes distinctes. Il est naturellement muni d'une action du
+groupe de permutation $𝔖_n$ ; il en est donc de même de l'algèbre $k_Y$.
+On vérifie aisément que $k_Y$ est $𝔖_n$-torseur (trivialisé par $K\bo k$).
+À titre d'exercice, le lecteur pourra vérifier que ces deux constructions
+sont réciproques l'une de l'autre. % pas fait mais ça a l'air facile
+\end{remarque2}
+
+\begin{exercice2}\label{classification ensembliste des torseurs}
+Définir $G$-torseurs pour $Π$-ensembles. Montrer que $H¹(Π,G)$
+est en bijection avec classes d'isom de torseurs. En déduire
+une seconde démonstration de \ref{H1G=TorsG}. \XXX % cf. KMRT, § 28.15.
+\end{exercice2}
+
+\section{Descente galoisienne : théorème $90$ de Hilbert,
+tenseurs}\label{descente galoisienne}
+
+\subsection{Théorème $90$ de Hilbert}
+
+\subsubsection{}Considérons maintenant les catégories des $k$-espaces
+vectoriels, des $K$-espaces vectoriels et le foncteur évident
+d'extension des scalaires (produit tensoriel). Fixons un entier $n≥1$.
+Les $K\bo k$-formes du $k$-espace vectoriel $k^n$ ne sont
+autre que les $k$-espaces vectoriels de rang $n$ ; ils sont tous
+isomorphes. D'autre part, le groupe des
+$K$-automorphismes du $K$-espace vectoriel $K^n$ est
+$\GL_n(K)$.
+L'action induite de $Π$ sur $\GL_n(K)$ se fait composante
+par
+composante ; cela résulte immédiatement du fait qu'il en est
+ainsi de l'action naturelle de $Π$ sur $K^n$ et de la
+formule ${^σ f}=σfσ^{-1}$, où $f∈\GL_n(K)$ (cf. \ref{action G sur Aut}).
+
+La construction générale du §\ref{formes} fournit une
+application de l'ensemble à un élément
+des $K\bo k$-formes de $k^n$ vers l'ensemble
+$H¹(Π,\GL_n(K))$ ; elle n'est guère
+intéressante et envoie la classe d'isomorphisme de
+$k^n$ sur la classe du $1$-cocycle trivial. Cependant, il est
+remarquable que cette application
+soit, ici encore, une bijection :
+
+\begin{théorème2}[D. Hilbert, A. Speiser
+\cite{ZSG@Speiser}]\label{Hilbert 90}
+Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe
+$Π$
+et $n≥1$ un entier.
+Tout $1$-cocycle de $Π$ à valeurs dans $\GL_n(K)$, où
+l'action de $Π$ sur
+$\GL_n(K)$ se fait composante par composante, est
+cohomologue au cocycle
+trivial : \[H¹(\Gal(K\bo k),\GL_n(K))=\{\star\}.\]
+\end{théorème2}
+
+Dans la littérature, le cas particulier où $n=1$ de ce
+théorème
+est souvent appelé « théorème $90$ de Hilbert », où le
+nombre $90$
+fait référence à la numérotation consécutive employée dans
+son fameux « Zahlbericht » \cite{Zahlbericht@Hilbert}.
+
+\subsubsection{Première démonstration}\label{H90 via Poincaré}
+Soit $c:Π→\GL_n(K)$ un $1$-cocycle et montrons qu'il est
+cohomologue
+au cocycle trivial $σ∈Π↦1∈\GL_n(K)$. (On dit
+alors que $c$ est un \emph{cobord}.)
+Cela revient à montrer qu'il existe un élément $a∈\GL_n(K)$
+tel que $c(σ)=a^{-1}⋅{^σ a}$ pour tout $σ∈Π$.
+Soit $m∈\mathrm{M}_n(K)$ une matrice carrée et posons
+\[
+m_c:=∑_{σ∈Π} c(σ)⋅{^σ m},
+\]
+où l'action de $σ$ sur $m$ se fait composante par
+composante.
+On vérifie immédiatement que ${^σ m_c}=c(σ)^{-1}⋅m_c$.
+Cette formule montre que $c$ est un cobord, pourvu que l'on
+sache
+trouver une matrice $m$ telle que $m_c$ soit inversible.
+À cette fin, considérons pour chaque $x∈K^n$, le vecteur
+\[
+x_c:=∑_{σ∈Π} c(σ)\big(σ(x)\big).
+\]
+Les $x_c$, $x∈K^n$, engendrent $K^n$ comme $K$-espace
+vectoriel
+car toute $K$-forme linéaire $ℓ$ nulle sur les $x_c$
+est nulle. En effet, il résulte du théorème
+\refext{CG}{indépendance linéaire des automorphismes}
+(indépendance linéaire des $σ(\tiret)$) et des égalités
+\[
+0=ℓ\big((λx)_c\big)=∑_{σ∈Π} σ(λ)⋅ℓ\big(c(σ)(σ(x))\big)
+\]
+pour tout $λ∈K$ et tout $x∈K^n$ que
+l'on a $ℓ\big(c(σ)(σ(x))\big)=0$ pour tout $x$ et tout $σ$,
+et finalement $ℓ=0$ car les $c(σ)$
+sont inversibles.
+Soient $x₁,\dots,x_n$ des vecteurs de $K^n$ tels que les
+${x_i}_c$ soient
+linéairement indépendants sur $K$ et $m$ la matrice de
+vecteurs-colonnes
+les $x_i$. Il est immédiat que $m_c$ est la matrice
+\emph{inversible}
+de vecteurs-colonnes les ${x_i}_c$ ; CQFD.
+
+\subsubsection{Seconde démonstration (esquisse)}\label{action
+semi lineaire}
+Disons qu'une action \emph{semi-linéaire} de $Π=\Gal(K\bo
+k)$
+sur un $K$-espace vectoriel $W$ est la donnée, pour tout
+$σ∈Π$,
+un endomorphisme de groupe additif $φ_σ:W→W$ tel que
+\begin{equation}
+φ_σ(λw)=σ(λ)φ_σ(w) \tag{semi-linéarité}
+\end{equation}
+pour tout $λ∈K$ et tout $w∈W$, de sorte que les
+relations
+\begin{equation}
+φ_{στ}=φ_σ φ_τ \tag{$Π$-action}
+\end{equation} soient satisfaites pour tous $σ,τ∈Π$.
+Nous noterons $(W,φ)$ une telle donnée.
+
+Il est immédiat de vérifier que la donnée d'un $1$-cocycle
+de $Π$ à valeurs
+dans $\GL_n(K)$ est équivalente à la donnée
+d'une action \emph{semi-linéaire} de $Π$ sur le $K$-espace
+vectoriel
+$K^n$ : à un cocycle $c$ on associe $(K^n,φ^c)$, $φ^c_σ$
+étant l'unique endomorphisme semi-linéaire tel que
+$φ^c_σ(e_i)=c_σ(e_i)$
+pour tout indice $i$, où $(e_i)_{1≤i≤n}$ est la base
+canonique de $K^n$.
+(En d'autres termes : $φ^c_σ(∑_i λ_i e_i)=∑_i
+σ(λ_i)⋅c(σ)(e_i)$.)
+
+À $(W,φ)$ comme ci-dessus, associons le sous-groupe
+\[W^{φ=\Id}:=\{w∈W:∀σ∈Π,φ_σ(w)=w\}.\] Il est stable par
+multiplication par les scalaires dans $k$ : c'est un
+sous-$k$-espace vectoriel de $W$.
+
+\begin{théorème2}[lemme de Speiser ; « descente galoisienne »]\label{lemme de Speiser}
+L'inclusion de $W^{φ=\Id}$ dans $W$ induit un isomorphisme
+\[
+W^{φ=\Id}⊗_k K ⥲ W.
+\]
+\end{théorème2}
+
+Achevons la seconde démonstration du théorème de
+Hilbert-Speiser
+en admettant momentanément ce théorème. D'après ce dernier,
+il existe une $K$-base de $W$ constituée d'éléments
+fixes sous l'action de $Π$ (considérer l'image dans $W$
+d'une $k$-base de $W^{φ=\Id}$).
+Si $c$ est un $1$-cocycle à valeurs dans $\GL_n(K)$, il
+existe donc
+une $K$-base $(f_i)_{1≤i≤n}$ de $K^n$ telle que
+$φ^c(σ)(f_i)=f_i$ pour tout
+$σ∈Π$ et tout $i∈[1,n]$. Soit $P$ la matrice de
+vecteurs-colonnes
+les $f_i$. On vérifie immédiatement que l'on a
+$c(σ)=P⋅{^σ P^{-1}}$. CQFD.
+
+Revenons à la démonstration du théorème \ref{lemme de
+Speiser}.
+Deux méthodes s'offrent à nous : imiter la démonstration
+précédente
+du théorème \ref{Hilbert 90} en vérifiant que toute
+$K$-forme
+linéaire nulle sur $W^{φ=\Id}$ est nulle — la démonstration
+est identique
+à celle de \emph{loc. cit.} — ou bien utiliser un résultat
+général
+de descente. Pour cette dernière méthode, nous renvoyons
+le lecteur à \refext{descente}{}.
+% Voir aussi Gille-Szamuely, p. 28.
+
+\begin{corollaire2}\label{H1Ga=0}
+Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe
+$Π$.
+Tout $1$-cocycle de $Π$ à valeurs dans $K$, où $Π$ agit
+naturellement
+sur $K$, est trivial :
+\[H¹(\Gal(K\bo k),K)=\{\star\}.\]
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soit $c:Π→K$ un $1$-cocycle. Considérons l'application
+$c₂:Π→\GL₂(K)$,
+$σ↦\left(\begin{matrix}1 & c(σ)\\ 0 & 1\end{matrix}\right)$.
+On a $c₂(στ)=\left(\begin{matrix}1 & c(σ)+σ⋅c(τ)\\ 0 &
+1\end{matrix}\right)=c₂(σ)⋅{^σ c₂(τ)}$ de sorte que $c₂$ est
+un $1$-cocycle
+à valeur dans $\GL₂(K)$. D'après le théorème 90 de Hilbert,
+il est trivial :
+il existe une matrice inversible $a∈\GL₂(K)$ telle que
+$a⋅c₂(σ)={^σ a}$
+pour tout $σ∈Π$. Si $a=\left(\begin{matrix}α & β\\ γ &
+δ\end{matrix}\right)$
+on a donc
+\[\left(\begin{matrix}α & c(σ)α+β \\ γ &
+c(σ)γ+δ\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}σ(α) & σ(β)\\
+σ(γ) & σ(δ)\end{matrix}\right)\]
+pour tout $σ∈Π$. Il en résulte que $α$ et $δ$ appartiennent
+à $k$
+et si $α≠0$ (resp. $γ≠0$) $c(σ)=σ(β/α)-(β/α)$ (resp.
+$c(σ)=σ(δ/γ)-(δ/γ)$).
+Puisque $a$ est inversible, $α$ ou $γ$ est non nul de sorte
+que $c$ est un $1$-cobord.
+\end{démo}
+
+\subsection{Descente galoisienne de tenseurs}
+
+Le but de ce paragraphe est d'énoncer un théorème général
+qui nous permettra ci-après d'obtenir un analogue non
+commutatif de la proposition \ref{formes algebres commutatives} où l'on
+remplace la $K$-algèbre diagonale $K^n$ par la $K$-algèbre non
+nécessairement commutative $M_n(K)$. Le rôle de $𝔖_n$ sera joué par $\PGL_n(K)$. Pour cela nous
+commençons par quelques sorites sur les « tenseurs » et une application du
+théorème 90 de Hilbert.
+
+\begin{définition2}\label{définition tenseurs}
+Soient $k$ un corps et $V$ un $k$-espace vectoriel. On
+appelle \emph{tenseur}\index{tenseur}
+sur $V$ de type $(p,q)$ un élément de
+$T^p_q(V)=T^p(V)⊗T^q(V^∨)$, où
+$p$ et $q$ sont des entiers positifs ou nuls et $T^p(V)$
+désigne
+$V⊗_k \cdots ⊗_k V$ ($p$ fois).
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}Pour $p$ et $q$ fixés, on peut définir la catégorie des
+$k$-tenseurs
+de type $(p,q)$ dont les objets (« $k$-objets ») sont
+les paires $(V,x)$ où $V$ est un $k$-espace vectoriel
+et $x$ est un tenseur de type $(p,q)$ sur $V$ et les
+morphismes
+entre $(V,x)$ et $(V',x')$ sont les applications
+$k$-linéaires
+$f:V→V'$ telles que $f(x)=x'$. On définit de même la
+catégorie des $K$-tenseurs de type $(p,q)$, où $K\bo k$ est une
+extension finie galoisienne de groupe $Π$,
+et l'« extension des scalaires » de $k$ à $K$ n'est autre
+que le foncteur
+$(V,x)↦(V_K,x_K)$ où $x_K∈T^p_q(V_K)$ est l'image de $x$
+par l'isomorphisme canonique $T^p_q(V)⊗_k K⥲T^p_q(V_K)$
+(cf. \refext{Tens}{}).
+
+\begin{théorème2}\label{formes des tenseurs=CG}
+Soient $(p,q)$ une paire d'entiers, et $K\bo k$ une
+extension finie galoisienne.
+Pour tout $k$-tenseur $(V,x)$ de type $(p,q)$,
+l'application
+\[
+\mathrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo
+k),\Aut((V,x)_{\bo K})\big)
+\]
+est une bijection.
+\end{théorème2}
+
+\begin{convention2}
+Conformément à l'usage, nous écrirons dorénavant
+$H¹(K\bo k,\tiret)$ les ensembles de cohomologie
+$H¹(\Gal(K\bo k),\tiret)$,
+que nous appellerons ensembles de \emph{cohomologie
+galoisienne}\index{ensemble de cohomologie galoisienne}.
+\end{convention2}
+
+Remarquons que si $x=0$, le théorème est équivalent au
+théorème 90.
+
+
+\begin{démo} Comme précédemment, notons $Π$ le groupe de
+Galois
+de l'extension $K\bo k$.
+
+Injectivité. Il suffit de vérifier la propriété (F) de
+\ref{hypothèse
+faisceau}, c'est-à-dire :
+$\Hom((V,x),(V',x'))=\Fix_Π(\Hom((V,x)_{\bo
+K},(V',x')_{\bo K}))$. Soit $σ:(V,x)_{\bo K}→(V',x')_{\bo
+K}$ un $K$-morphisme
+$Π$-invariant. D'après le corollaire \ref{VKsurG=V},
+l'application linéaire
+$V_{\bo K}→V'_{\bo K}$ est $k$-rationnelle : elle provient
+par extension
+des scalaires d'une application $k$-linéaire $f:V→V'$.
+Vérifions
+que $f(x)=x'$. On a $f(x)_{\bo K}=f_{\bo K}(x_{\bo
+K})=σ(x_{\bo K})=x'_{\bo K}$.
+La conclusion résulte de l'injectivité de l'application
+$T^p_q(V)→T^p_q(V_K)$, $y↦y_{\bo K}$.
+
+Surjectivité. Pour simplifier, notons $X=(V,x)$ et
+$G=\Aut(X_{\bo K})$.
+Le groupe $G$ est naturellement un sous-groupe de $\GL(V)$.
+Soit $c$ un
+$1$-cocycle de $Π$ à valeurs dans $G$. D'après \ref{Hilbert
+90},
+il existe un $K$-automorphisme $φ$ de $V_K$ tel que
+$c(σ)=φ^{-1}⋅{^σ φ}$
+pour tout $σ∈Π$. Posons $\tilde{x}=φ(x)∈T^p_q(V_K)$. Il
+appartient
+à $\Fix_Π(T^p_q(V_K))=T^p_q(V)$ — où l'égalité résulte de
+\ref{VKsurG=V} —
+car
+\[σ(\tilde{x})=σ(φ)(σ(x))=σ(φ)(x)=φ∘c(σ)(x)=φ(x)=\tilde{x}.\]
+Par construction, $\tilde{X}=(V,\tilde{x})$ est une $K\bo
+k$-forme
+de $X$. Il résulte immédiatement de l'égalité
+$c(σ)=φ^{-1}⋅{^σ φ}$
+et de la définition \ref{definition cocycle forme}
+que le $1$-cocycle $c_φ$, dont la classe de cohomologie est
+$[\tilde{X}]∈H¹(Π,G)$, n'est autre que $c$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soient $A$ et $B$ deux $k$-algèbres, $K\bo k$
+une extension finie galoisienne de groupe $Π$ et $φ$ un $K$-isomorphisme
+$A_K ⥲ B_K$, de sorte que $B$ est une $K\bo k$-forme de $A$ (et réciproquement).
+L'image de $B$ dans $B_K$ par le plongement canonique $b ↦ b ⊗ 1$
+est le sous-$k$-espace vectoriel
+\[
+\{ β ∈ B_K, (\Id_B ⊗ σ)(β)=β \text{ pour tout } σ ∈ Π\}
+\]
+de $B_K$ de sorte que $B$ est $k$-isomorphe à sous-$k$-algèbre
+$\{α ∈ A_K, (\Id_B ⊗ σ)φ(α)=φ(α) \text{ pour tout } σ ∈ Π\}$
+de $A_K$. L'égalité $(\Id_B ⊗ σ)φ(α)=φ(α)$ se réécrit
+$φ^{-1}(\Id_B ⊗ σ)φ(α)=α$ ou encore $c_φ(σ)(\Id_A ⊗ σ)(α)=α$
+par définition même de $c_φ$ (cf. \ref{definition cocycle forme}).
+Cette observation conduit à la description explicite suivante
+des formes tordues d'une algèbre donnée.
+
+\begin{corollaire2}\label{formes algèbres et cocycles}
+Si $A$ est une $k$-algèbre et $c: Π → \Aut(A_K)$ un $1$-cocycle,
+la $k$-forme de $A_K$ correspondant à la classe de $c$
+est la classe d'isomorphisme de la $k$-algèbre
+\[
+\{x ∈ A_K : c(σ)(\Id ⊗ σ)(x)=x \text{ pour tout } σ ∈ Π \}.
+\]
+Réciproquement, toute $K\bo k$-forme de $A$ est, à $k$-isomorphisme près,
+obtenue par ce procédé.
+\end{corollaire2}
+
+À titre d'illustration du théorème \ref{formes des tenseurs=CG} dans un autre contexte,
+considérons un corps $k$ de caractéristique différente de $2$ et
+une forme bilinéaire symétrique non dégénérée
+sur un $k$-espace vectoriel de dimension finie. Une telle
+forme correspond à un tenseur de type $(0,2)$. Notons $q$ la forme
+quadratique associée et $\Orth_q$ le groupe orthogonal
+correspondant.
+
+\begin{corollaire2}
+L'ensemble des classes d'isomorphisme de $k$-formes
+quadratiques
+$K$-isomorphes à $q$ sont en bijection avec l'ensemble
+de cohomologie galoisienne $H¹(K\bo k,\Orth_q(K))$.
+\end{corollaire2}
+
+\subsection{Un critère pour que les formes tordues soient galoisiennes}
+\subsubsection{}\label{foncteur des automorphismes tenseur}Soient $X=(V,x)$ comme ci-dessus, $d$ la dimension de
+$V$ et $e=(e₁,…,e_d)$ une base. Considérons pour toute $k$-algèbre $T$
+le sous-groupe $G_{X}(T)=\Aut_{T}(X_{\bo T})$ de $\GL(V_T)$
+constitué des applications $T$-linéaires $f:V_T → V_T$
+telles que $f(x_T)=x_T$. Soit $(f_{i,j}) ∈ \GL_d(T)$
+la matrice de $f$ dans la base $e₁ ⊗ T,…,e_d ⊗ T$.
+La condition $f(x_T)=x_T$ est équivalente
+à un système d'équations polynomiales à coefficients dans $k$
+en les variables $f_{i,j}$ ($1≤i,j≤d$)
+\[g₁\big((f_{i,j})\big)=…=g_N\big((f_{i,j})\big)=0\]
+où les $g_α∈k[(T_{i,j})]$ ne dépendent que de $x$ et du choix de la base.
+D'autre part, $f$ est un automorphisme : il existe $t ∈ T$ tel que
+$\det\big((f_{i,j})\big)t=1$.
+En d'autres termes, la $k$-algèbre
+\[A_{X,e}=k[T_{i,j},U]/\big((g_α(T_{i,j}))_{1≤ α ≤N},\det(T_{i,j})U-1\big)\]
+\emph{représente} le foncteur $G_{X}$ :
+les applications $(f_{i,j}) ↦ f$ induisent un isomorphisme
+de foncteur $A_{X,e}^\japmath{田} ⥲ G_{X}$. En particulier,
+il résulte du lemme de Yoneda (\refext{Cat}{lemme-de-yoneda})
+que la $k$-algèbre $A_{X,e}$ est bien définie à $k$-isomorphisme près ;
+nous la noterons $A_{X}$ voire $A$ pour alléger les notations.
+Elle possède un nombre fini de générateurs (comme $k$-algèbre).
+
+\begin{théorème2}\label{critère forme étale}
+Soient $K\bo k$ une extension finie et $Y=(W,y)$ une $K\bo k$-forme de $X=(V,x)$.
+Si la $k$-algèbre $A_{X}$ est \emph{géométriquement réduite}
+(\refext{Alg}{geometriquement-reduit}), il existe une extension
+\emph{étale} $k'\bo k$ telle que $Y$ soit une $k'\bo k$-forme de
+$X$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soit $I_{X,Y}$ le foncteur des isomorphismes de $X$ vers $Y$ :
+$I_{X,Y}(T)=\Isom_T(X_{\bo T},Y_{\bo T})$. En considérant des bases de $V$ et $W$ on constate comme ci-dessus
+que le foncteur $I_{X,Y}$ est représentable par une $k$-algèbre
+de type fini, que nous noterons $B_{X,Y}$ ou $B$ pour alléger les notations.
+Par hypothèse, $I_{X,Y}(K)≠ ∅$ : il existe un isomorphisme
+$φ:X_{\bo K} ⥲ Y_{\bo K}$. Pour toute $K$-algèbre
+$U$, cet isomorphisme induit une bijection fonctorielle
+$I_{X,Y}(U) ⥲ G_X(U)$, envoyant $ι:X_U ⥲ Y_U$ sur $ι ∘ (φ_U)^{-1}:X_U ⥲ X_U$.
+Cet isomorphisme de foncteurs correspond, par le lemme de Yoneda, à un isomorphisme
+$A_K⥲B_K$ entre les algèbres $A_X$ et $B_{X,Y}$ \emph{étendues à $K$}.
+Il en résulte que $B$ est une $k$-algèbre géométriquement réduite.
+En effet, si $L\bo k$ est une extension finie et $L'$ une extension
+composée de $L$ et $K$, $B_L$ s'injecte dans l'anneau $B_{L'}$,
+isomorphe à $A_{L'}$ — car $K$ est contenu dans $L'$ —,
+donc réduit par hypothèse sur $A_X$. On utilise alors le théorème \refext{AC}{}
+d'après lequel une $k$-algèbre de type fini non nulle et géométriquement
+réduite a un point dans une extension étale. Si $k'\bo k$
+est une telle extension, l'inégalité $B^\japmath{田}(k')≠ ∅$
+signifie que $I_{X,Y}(k')$ est non vide : $X$ et $Y$ sont isomorphes
+sur $k'$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Pour référence ultérieure, extrayons la proposition élémentaire suivante
+du début de la démonstration ci-dessus.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $(p,q)$ une paire d'entiers, $k$ un corps,
+et $X=(V,x)$, $Y=(W,y)$ deux $k$-tenseurs de type $(p,q)$,
+Le foncteur allant des $k$-algèbres vers les ensembles,
+associant à $T$ l'ensemble $\Isom_T(X_{\bo T}, Y_{\bo T})$
+est \emph{représentable} par une $k$-algèbre de type fini $B_{X,Y}$.
+\end{proposition2}
+
+Moins formellement :
+
+\begin{corollaire2}
+Il existe une $k$-algèbre de type fini $B$ telle
+que pour toute extension $K\bo k$, l'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)=\Hom_K(X_{\bo K}, Y_{\bo
+K})$ soit non vide si et seulement si il existe un $K$-isomorphisme
+entre $X_{\bo K}$ et $Y_{\bo K}$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{corollaire2}\label{formes définies sur kalg}
+S'il existe une extension $K\bo k$ telle que $X_{\bo K}$ et $Y_{\bo K}$ soient
+$K$-isomorphes, il existe une telle extension \emph{finie sur $k$}.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{remarque2}
+On peut paragraphser le corollaire précédent en disant que
+toute $K\bo k$-forme est une $k\alg\bo k$-forme. Le théorème \ref{critère forme
+étale} donne un critère pour que toute $k\alg\bo k$-forme soit un
+$k\sep\bo k$-forme.
+\end{remarque2}
+
+D'après ce qui précède, il suffit de démontrer le lemme suivant.
+
+\begin{lemme2}
+Soit $B$ une $k$-algèbre de type finie et soit $K\bo k$ une extension
+telle que l'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)$ soit non vide. Alors, il existe
+une extension \emph{finie} $k ′ \bo k$ telle que $B(k ′)≠ ∅$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}[Démonstration dans le cas particulier où $K\bo k$ est algébrique]
+Comme expliqué par exemple en \refext{Spec}{points-quotient}, un élément
+de $B^{\japmath{田}}(K)$ correspond — via le choix d'une « présentation » de $B$ — à
+un point $x=(x₁, …, x_n)$ d'un espace affine $K^n$ satisfaisant un nombre fini d'équations
+polynomiales. Le sous-corps $k ′=k(x₁, … ,x_n)$ de $K$, algébrique sur $k$,
+convient.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Cas général]
+L'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)$ étant non vide, l'anneau $B$ est non nul.
+Soit donc $𝔪$ un idéal \emph{maximal} de $B$ (\refext{Spec}{Krull}).
+Le quotient $B/𝔪$ est une $k$-algèbre de type fini qui est un corps. D'après
+\refext{}{} \XXX, l'extension $B/ 𝔪 \bo k$ est \emph{finie}.
+\end{démo}
+
+
+%\section{Torseurs sous un groupe}
+%\subsection{}
+%\begin{définition2}
+%Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $π$
+%et $G$ un groupe. On appelle \emph{$G$-torseur} sur $k$ trivialisé par $K\bo k$
+%toute $k$-algèbre $A$ munie d'une action de $G$ (respectant la structure de $k$-algèbre)
+%telle que la $K$-algèbre $A⊗_k K$ soient isomorphe à l'algèbre $\Hom_{\Ens}(G,K)$
+%et que l'action induite par cet isomorphisme soit l'action évidente de $G$ sur
+%$\Hom_{\Ens}(G,K)$.
+%\end{définition2}
+%\XXX
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi