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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-09 09:57:14 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-09 09:57:14 +0100 |
commit | f3869fa890bd1214f46ff30ffc0725c576beb773 (patch) | |
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[formes] action à gauche sur π₀.
Je vais changer pour l'action à droite ; cela me semble
plus joli (discutable).
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-rw-r--r-- | chapitres/formes-tordues.tex | 24 |
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diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index 6b86fc9..f44ead6 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -53,7 +53,29 @@ sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres} trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres, il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe. -\subsubsection{}\label{notations Galois-Grothendieck}Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre +\subsubsection{} +\label{notations Galois-Grothendieck} +Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre, on note $π₀(A_K)$ +l'ensemble des composantes connexes de la $K$-algèbre +$A_K=A ⊗_k K$. Tout automorphisme $σ ∈ Π$ induit +un $k$-automorphisme $A_σ:A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, qui induit +à son tour une bijection $π₀(A_σ): π₀(A_K) → π₀(A_K)$ +(\refext{Spec}{fonctorialité pi0}) que nous noterons également $π₀(σ)$. +Par contravariante du foncteur $π₀$, on a la formule : $π₀(σ τ)=π₀(τ) π₀(σ)$. +Ainsi, le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit-il naturellement à +droite sur l'ensemble $π₀(A_K)$ ; il agit à gauche +par $σ ↦ π₀(σ^{-1}) ∈ 𝔖(π₀(A_K))$. Si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, +l'ensemble $π₀(A_K)$ est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). + +\subsubsection{} +Considérons maintenant un $Π$-ensemble à gauche $X$, fini. +La $k$-algèbre $K^X$ est étale, trivialisée par $K \bo k$. +Il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X:=\Fix_{Π}(K^X)$, +où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ par $σ ⋅ f:(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)$. + + + \[⁂\] +Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre finie, on note $A^{\japmath{田}}(K)$ l'ensemble fini $\Hom_k(A,K)$ et que ce dernier est en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A_K,K)$ (\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable} (i)). |