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path: root/chapitres/formes-tordues.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-09 09:57:14 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-09 09:57:14 +0100
commitf3869fa890bd1214f46ff30ffc0725c576beb773 (patch)
treefba6c64eb6ab6501805b30e6e7d61eba19c50a79 /chapitres/formes-tordues.tex
parent850358f0f7143f7556b4105394f0e4471424e700 (diff)
downloadgalois-f3869fa890bd1214f46ff30ffc0725c576beb773.zip
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[formes] action à gauche sur π₀.
Je vais changer pour l'action à droite ; cela me semble plus joli (discutable).
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-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex24
1 files changed, 23 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index 6b86fc9..f44ead6 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -53,7 +53,29 @@ sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres}
trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe.
-\subsubsection{}\label{notations Galois-Grothendieck}Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre
+\subsubsection{}
+\label{notations Galois-Grothendieck}
+Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre, on note $π₀(A_K)$
+l'ensemble des composantes connexes de la $K$-algèbre
+$A_K=A ⊗_k K$. Tout automorphisme $σ ∈ Π$ induit
+un $k$-automorphisme $A_σ:A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, qui induit
+à son tour une bijection $π₀(A_σ): π₀(A_K) → π₀(A_K)$
+(\refext{Spec}{fonctorialité pi0}) que nous noterons également $π₀(σ)$.
+Par contravariante du foncteur $π₀$, on a la formule : $π₀(σ τ)=π₀(τ) π₀(σ)$.
+Ainsi, le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit-il naturellement à
+droite sur l'ensemble $π₀(A_K)$ ; il agit à gauche
+par $σ ↦ π₀(σ^{-1}) ∈ 𝔖(π₀(A_K))$. Si l'algèbre $A$ est finie sur $k$,
+l'ensemble $π₀(A_K)$ est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)).
+
+\subsubsection{}
+Considérons maintenant un $Π$-ensemble à gauche $X$, fini.
+La $k$-algèbre $K^X$ est étale, trivialisée par $K \bo k$.
+Il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X:=\Fix_{Π}(K^X)$,
+où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ par $σ ⋅ f:(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)$.
+
+
+ \[⁂\]
+Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre
finie, on note $A^{\japmath{田}}(K)$ l'ensemble fini $\Hom_k(A,K)$ et que ce dernier
est en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A_K,K)$
(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable} (i)).