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De +façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un +groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets +(généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme +considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe. +\end{definition2} + +\begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations} +Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit : +\begin{itemize} +\item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est + transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il + existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ; +\item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace + principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement + transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il + existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon + équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un + point est trivial) ; +\item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules + partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au + sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors + $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$ + et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ; +\item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action + sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de + $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$ + sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il + existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$. +\end{itemize} +Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$ +(dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus) +s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial +lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou +$\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif +est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs +non-trivial. +\end{definition2} + +Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations, +mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de +groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne +l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action +définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un +groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le +sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question +est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de +blocs non-trivial pour cette action. + +\begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} +\begin{itemize} +\item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif + pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie + « $1$-transitif »). +\item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de + $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la + décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est + trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale), + à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne + préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas + primitive par convention. +\item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un + système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment + eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour + $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme + l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$). Lorsque $G$ opère + transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les + blocs, qui sont donc tous de même cardinal. +\item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de + degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs + d'un système de blocs sont tous de même cardinal). C'est-à-dire + que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents. +\item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif, + alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont + conjugués dans $G$. Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$, + alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble + $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par + multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$ + dans $G$. Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$) + lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants + $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$. +\item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est + régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à + l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche. En + particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal + à l'ordre $\#G$ du groupe. +\end{itemize} +\end{remarques2} + +\begin{proposition2} +Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$ +non-trivial pour $G$. Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs +$B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même +cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in +B$. Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple +$(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce +qui n'est pas le cas de $x,x'$). +\end{proof} + +\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations} +\begin{itemize} +\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ + tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est + $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations + $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif. Il n'est + pas régulier (dès que $n \geq 3$). +\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un + groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif + si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$. Il n'est + pas régulier (dès que $n \geq 4$). +\item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un + groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc). Dès que $G$ + admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$ + n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs + $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations + n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre + premier, il est clair que l'action régulière est primitive). +\item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des + classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par + multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif + dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur + normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in + G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial + (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les + clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations + transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$). Autrement + dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à + celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de + conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe + distingué de $G$. +\item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur + $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car + trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être + envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$ + (qui est alors uniquement déterminé). Par ailleurs, pour tout $n + \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est + $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de + $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce + dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur + ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions. +\end{itemize} +\end{exemples2} + +\begin{definition2} +Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de +permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée +par $\sigma B = \sigma(B)$ +(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée +l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G} +\sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un +bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le +système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le +groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de +permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par +l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que +cette action est fidèle). +\end{definition2} + +\begin{proposition2} +Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur +d'un point. Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors +l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche +de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs +$\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de +permutations ainsi défini est une inflation de $G$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit +transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait +qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V +\sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$). +Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$ +s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel +cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV : +u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc +bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs, +et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre +tout ce qui était annoncé. +\end{proof} + +\begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal} +Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur +d'un point. Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un +sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de +sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion). +\end{proposition2} +\begin{proof} +Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à +l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$. Si $V$ n'est pas +maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$ +et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit +un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui +montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas +primitive. Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est +un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc +contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal +soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est +trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le +bloc contenant $V$ ne contient que $V$). +\end{proof} + +\begin{remarques2} +Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$ +(sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$ +(\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc +définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$. + +Dans cette situation, la +proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal} +montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des +racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$ +définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps +intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois +fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point +dans $\Gal(f)$). Dans le cas contraire, si $E$ est un corps +intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$ +est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in +\Gal(\dec(f)/E)\}$. +\end{remarques2} + +\begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite} +Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$ +l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère. Alors $G$ est +primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur +l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le +graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets +$x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$, +considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$. +Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$ +(c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation +d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\} +\in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par +$\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante +connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de +blocs pour $G$ (opérant sur $X$). Comme $R$ contient au moins une +paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si +$(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de +blocs non trivial, et n'est donc pas primitif. + +Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs +$\mathscr{B}$ non trivial pour $G$. Soient $x,y \in X$ appartenant à +un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\} +\in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$. Alors $R$ ne contient +aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire +que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont +jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est +pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial. +\end{proof} + +Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus +simple à appliquer que la définition ou la +proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}. + +\begin{exemple2} +Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$ +éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le +système de blocs non trivial formé de toutes les façons de +partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère +primitivement sur ces objets (blocs). + +En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets +d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est +pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la +partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence +qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments +qu'ils définissent sont les mêmes. (Cette action de $\mathfrak{S}_m$ +est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.) +\end{exemple2} +\begin{proof} +Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la +condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que +$\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) = +\#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car +lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des +éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de +$\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$). Ainsi, +les différents graphes considérés dans la +proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes +sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$ +éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties +lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du +graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses). On veut +donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en +déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce +graphe est connexe. + +Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in +x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus +\{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$ +éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec +$k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus +(x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1 +\geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est +d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre +que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré. Il est alors +évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités +par d'autres, on peut relier deux parties quelconques. + +Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes +dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner +$\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles +partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une +arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de +nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et +$k-1$ incluses). Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in +u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à +$\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' = +(\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en +choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les +complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat +u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car +$m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de +$\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien +qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$ +sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair +que le graphe est connexe. +\end{proof} + +\begin{remarques2} +Ceci signifie (compte tenu +de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) +que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de +$\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf +lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le +stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de +$k$ éléments. Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit +tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que +$\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux +de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur +d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ +naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments +(définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux +éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du +sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines +$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$) +de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action +de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$ +comme une droite affine sur $\FF_5$. +\end{remarques2} + +\subsection{Groupes de permutations primitifs} + +Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de +permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}), +et $U$ le stabilisateur d'un point +(d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}, +il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun +sous-groupe distingué de $G$). + +Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de +permutations : + +\begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif} +Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un +sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif +(comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le +stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in +U\}$). +\end{proposition2} +\begin{proof} +Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est +primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal. + +Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut +aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$. Remarquons que $NU = UN$ (en +effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi +s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et +ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$ +et $N$). Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU = +G$. Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se +produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il +s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle). Le second +cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et +$u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait. +\end{proof} + +\begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif} +Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un +sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur +$C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit +$C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de +permutations). + +En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels +$G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un +point). +\end{proposition2} +\begin{proof} +Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué. Supposons +$C_G(N) \neq \{1\}$. Alors la proposition précédente montre que $N$ +et $C_G(N)$ sont transitifs. L'ensemble des points fixes d'un élément +de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne +peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein. On a donc +prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe +non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier. +\end{proof} + +\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif} +Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd +G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que +tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit +$N_2 \leq C_G(N_1)$). Alors $N_2$ est exactement le centralisateur +$C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa). +\end{proposition2} +\begin{proof} +Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et +que $C_G(N_1)$ est régulier. Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul +d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe +tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$. +\end{proof} + +Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des +propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ : +autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui +ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout +entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes. Dans les quelques énoncés suivants, +$G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations. + +\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} +Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués +minimaux distincts de $G$. Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout +élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par +minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$. +Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$ +de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$, +donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver. +\end{proof} + +En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 = +N_1 \times N_2$. Plus généralement : + +\begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} +Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un +groupe fini $G$. Alors il existe +$i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$ +arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$) +tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$ +(c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct) +et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct. +\end{lemme2} +\begin{proof} +On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de +sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la +façon suivante. On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de +sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts. + +Supposant les $n_j$ pour $j<t$ déjà connus, s'il existe $i$ tel que +$N_i$ ne soit pas contenu dans $N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ (qui est +un produit direct), on définit $i_t$ comme ce $i$, sinon on arrête la +récurrence. Comme tout élément de $N_{i_t}$ commute à tous les +éléments de $N_{i_j}$ pour $j<i$ (d'après la proposition précédente), +il commute à tous les éléments du produit $N_{i_1} \cdots +N_{i_{t-1}}$ ; comme de plus $N_{i_t}$ n'est pas inclus dans +$N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ et qu'il est minimal, on a $N_{i_i} \cap +N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}} = \{1\}$ (car c'est un sous-groupe +distingué de $G$ strictement inclus dans $N_{i_t}$). Donc +$N_{i_1} \cdots N_{i_t}$ sont encore en produit direct, ce qui +justifie de continuer la récurrence. + +Une fois construits $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$, on voit que leur produit +(qui est direct par la récurrence faite) contient chacun des $N_i$, +sans quoi on aurait continué la récurrence. +\end{proof} + +On rappelle qu'un sous-groupe $K$ d'un groupe $G$ est +dit \emph{caractéristique} lorsque $K$ est laissé stable par tout +automorphisme de $G$ (en particulier, $K$ est laissé stable par les +automorphismes intérieurs, c'est-à-dire qu'il est distingué dans $G$). + +\begin{proposition2}\label{caracteristique-dans-normal-est-normal} +Si $K$ est un sous-groupe caractéristique de $N$ qui est lui-même un +sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $K$ est un sous-groupe +distingué de $G$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Pour tout $g \in G$, l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$ +défini par $g$ laisse $N$ stable, donc définit un automorphisme +de $N$, qui n'est plus nécessairement intérieur mais qui doit +néanmoins laisser $K$ stable, c'est-à-dire $gKg^{-1} = K$, ce qui +montre que $K \unlhd G$. +\end{proof} + +On dit qu'un groupe $G$ est \emph{caractéristiquement simple} lorsque +tout sous-groupe caractéristique de $G$ est égal à $\{1\}$ ou $G$. + +\begin{proposition2}\label{structure-groupes-caracteristiquement-simples} +Si $G$ est un groupe fini caractéristiquement simple, alors $G$ est +isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe simple $H$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Soit $H$ un sous-groupe distingué minimal de $G$. Pour tout +automorphisme $\varphi$ de $H$, le sous-groupe $\varphi(H)$ est lui +aussi distingué minimal. Appliquant le +lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} à +l'ensemble de tous les $\varphi(H)$ pour $\varphi$ un automorphisme +de $G$, on en déduit qu'il existe $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ de tels +automorphismes (et on peut prendre $\varphi_1 = \Id_G$, ce qu'on fera) +de sorte que $\varphi_1(H),\ldots,\varphi_r(H)$ soient en produit +direct et que ce produit direct contienne $\varphi(H)$ pour tout +automorphisme $\varphi$ de $G$. Par conséquent, ce produit est stable +par tout automorphisme de $G$, et comme $G$ a été supposé +caractéristiquement simple, on a $\varphi_1(H)\cdots\varphi_r(H) = G$, +c'est-à-dire $G \cong H^r$. + +Enfin, $H$ est simple : en effet, si $N$ en est un sous-groupe +distingué, $N$ est encore un sous-groupe distingué de $H^r \cong G$, +et par minimalité de $H$, on a $N=\{1\}$ ou $N=H$. +\end{proof} + +\begin{corollaire2}\label{structure-sous-groupes-distingues-minimaux} +Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal d'un groupe fini $G$, +alors $N$ est isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe +simple $H$. +\end{corollaire2} +\begin{proof} +La proposition \ref{caracteristique-dans-normal-est-normal} montre que +$N$ est caractéristiquement simple, et la +proposition \ref{structure-groupes-caracteristiquement-simples} +s'applique alors. +\end{proof} + +\begin{definition2} +Le \emph{socle} d'un groupe fini $G$ est le produit de ses +sous-groupes distingués minimaux (il est évidemment distingué +dans $G$ ; d'après le +lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct}, +il s'agit du produit direct de certains d'entre eux ; et d'après la +proposition \ref{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}, il +s'agit d'un produit direct de sous-groupes simples de $G$). +\end{definition2} + +En revenant au cas d'un groupe de permutations primitif, on peut +affirmer : +\begin{proposition2}\label{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif} +Soit $G \neq \{1\}$ un groupe de permutations primitif. Alors soit +$G$ a un unique sous-groupe distingué minimal (qui est alors le socle +de $G$), soit $G$ a exactement deux sous-groupes distingués minimaux, +chacun égal au centralisateur de l'autre, et ils sont isomorphes et +non-abéliens (et le socle de $G$ est alors leur produit direct). +\end{proposition2} +\begin{proof} +D'après la +proposition \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} et la +proposition \ref{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif}, +si $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts $N_1,N_2$, +chacun est le centralisateur de l'autre, et il y en a donc exactement +deux. Comme ces sous-groupes ne contiennent pas leur centralisateur, +ils ne sont pas abéliens. + +Reste à montrer que $N_1 \cong N_2$. On sait +d'après \ref{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif} +que $N_1,N_2$ sont tous deux réguliers. On définit alors un morphisme +$\varphi\colon N_1 \to N_2$ de la façon suivante : une fois fixé +arbitrairement un point $x_0$ (de l'ensemble sur lequel $G$ opère +naturellement), si $n_1 \in N_1$, comme $N_2$ est régulier, il existe +un unique $n_2 \in N_2$ tel que $n_2 x_0 = n_1 x_0$, et on pose +$\varphi(n_1) = n_2$. Il est facile de vérifier que $\varphi$ est +bien un morphisme, et même un isomorphisme. +\end{proof} + +\subsection{Construction de quelques actions primitives} + +Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes +qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les +classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott. + +\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V += \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un +corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$ +le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct +$V \rtimes \GL(V)$ du groupe linéaire $\GL(V) = \GL_d(\FF_p)$ de cet +espace vectoriel par $V$ lui-même vu comme groupe des translations (et +sur lequel $\GL(V)$ opère naturellement). Plus généralement, si +$G_0 \leq \GL(V)$ est un sous-groupe quelconque de $\GL(V)$ +(c'est-à-dire un groupe opérant linéairement sur $V$), on peut +construire le produit semi-direct $G = V \rtimes G_0$, et tout +sous-groupe $G$ tel que $V \leq G \leq \AGL(V)$ peut s'écrire sous +cette forme avec $G_0$ le stabilisateur de $0 \in V$. Un groupe de +permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à +un tel $G$ opérant sur $V$ s'appelle \emph{groupe de permutations de +type affine}. Le groupe $G$ (opérant sur $V$) est toujours transitif, +et il est primitif précisément lorsque $V$ est irréductible sous +l'action de $G_0$, c'est-à-dire lorsque $V$ ne possède pas de +sous-espace stable par $G_0$ autre que $\{0\}$ et $V$ (en effet, si +$G$ admet un système de blocs, le bloc contenant $0$ est un +sous-espace vectoriel de $V$ puisque toute translation doit l'envoyer +sur un autre bloc, et il est alors stable par $G_0$ ; et +réciproquement, si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ stable +par $G_0$, l'ensemble des translatés de $W$ constitue un sytème de +blocs) ; ceci équivaut encore au fait que le sous-groupe distingué $V$ +de $G$ soit un sous-groupe distingué minimal (puisqu'un sous-groupe de +$V$ est distingué dans $G$ précisément à condition qu'il soit stable +par $G_0$). + +Dans cette situation (où $V$ est suppposé irréductible sous $G_0$, +c'est-à-dire $G$ primitif), d'après la +proposition \ref{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}, on peut alors +affirmer que $V$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$, et +il est donc son socle. On verra dans le cadre du théorème de +O'Nan-Scott que cette situation est la seule pour laquelle un groupe +de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est +automatiquement de type affine). Par ailleurs, dans cette situation, +le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation). + +\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La +construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède +néanmoins quelques similarités. On peut l'imaginer intuitivement en +pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de +l'espace projectif de dimension $r-1$ sur un groupe $T$ non-abélien : +il s'agit de $T^r$ quotienté par l'action à droite de $T$ (sur toutes +les composantes), qu'on va munir d'une action à gauche de $T^r \cdot +(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$. + +Soit $T$ un groupe simple non-abélien, et $r\geq 2$. On considère +l'action sur $\Xi := T^r$ des trois groupes suivants : (a) $T^r$ +lui-même, par multiplication à gauche (donc régulièrement), (b) le +groupe symétrique $\mathfrak{S}_r$, opérant par permutation sur les +coordonnées, et (c) le groupe $\Aut(T)$ des automorphismes de $T$, +opérant de la même façon sur toutes les coordonnées. Notons que les +actions de $\mathfrak{S}_r$ et $\Aut(T)$ sur $T^r$ commutent. Les +trois actions en question engendrent (en tant que sous-groupes de +$\mathfrak{S}(\Xi)$) une action sur $\Xi$ de $T^r \rtimes +(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$. + +Cette action n'est pas primitive : elle possède au moins le système de +blocs $\Omega$ constitué des ensembles $\{(v_1 t, \ldots, v_r t) : t +\in T\}$ (pour $v_1,\ldots,v_r \in T$), c'est-à-dire que $\Omega$ est +l'ensemble des classes à gauche $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la +diagonale $\Delta := \{(t, \ldots, t) : t \in T\}$ dans $T^r$. +L'action de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ sur les +blocs n'est plus fidèle : si $\upsilon \in \Aut(T)$ est +l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$, alors $\upsilon$ +agit sur le bloc $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la même manière que +$(u,\ldots,u)$. Autrement dit, le sous-groupe de $T^r \rtimes +(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ formé des $(u^{-1},\ldots,u^{-1}) +\upsilon$ pour $\upsilon\colon x\mapsto uxu^{-1} \in \Int(T)$, opère +trivialement sur $\Omega$. Notons $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times +\Out(T))$ le quotient de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ +par ce sous-groupe (la notation rappelle que ce groupe a un +sous-groupe distingué qu'on identifiera à $T^r$, le quotient par lequel est +$\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$, où $\Out(T) = \Aut(T) / \Int(T)$ est +le groupe des automorphismes modulo les automorphismes intérieurs). +L'action de $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ sur $\Omega$ +est maintenant fidèle (on voit facilement qu'un élément qui opèrerait +trivialement devrait avoir une composante triviale dans +$\mathfrak{S}_r$ en la faisant agir sur $(1,\ldots,1,v,1,\ldots,1)$, +puis dans $\Out(T)$, et enfin devrait être l'élément neutre) : ceci +permet de considérer $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ comme +le groupe des permutations de $\Omega$ engendré par (a) l'action de +$T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $\mathfrak{S}_r$ par +permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ (sachant que +celle de $\Int(T)$ est déjà incluse grâce à (a)) opérant de la même +façon sur toutes les coordonnées. + +Si $G$ est n'importe quel sous-groupe tel que $T^r \leq G \leq T^r +\cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$, alors l'action de $G$ est +transitive (puisque déjà celle de $T^r$ l'est, par définition même +de $\Omega$). Remarquons que la donnée de $G$ est équivalente à celle +de son image $G_0$ dans $\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$. Un groupe de +permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à +un tel $G$ opérant sur $\Omega$ s'appelle \emph{groupe de permutations + de type diagonal}. + +Le stabilisateur dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de +$\Delta$ en tant que point de $\Omega$ est l'image dans $T^r \cdot +(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de son stabilisateur en tant que +partie de $\Xi$, qui vaut $T \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ +avec l'action triviale de $\mathfrak{S}_r$ sur $T$, c'est-à-dire +$\mathfrak{S}_r \times (T\rtimes\Aut(T))$ ; l'image de ce sous-groupe +dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ est donc +$\mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$. Par conséquent, le stabilisateur de +$\Delta \in \Omega$ sous l'action de $G$ est l'image réciproque +$\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq +\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$. + +\begin{proposition2} +Avec les notations qui précèdent (i.e., $T$ est un groupe simple +non-abélien, $T^r \leq G \leq T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times +\Out(T))$ opérant sur l'ensemble $\Omega$ des classes à gauche de la +diagonale dans $T^r$), le groupe de permutations $G$ est primitif si +et seulement si $r=2$ \emph{ou} l'image de $G$ (c'est-à-dire, de +$G_0$) dans $\mathfrak{S}_r$ est primitive. + +Dans les deux cas (où $G$ est primitif), le socle de $G$ est $T^r$ (et +en particulier, il n'est pas régulier). Plus précisément si l'image +de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$ n'est pas primitive, $T^r$ est l'unique +sous-groupe distingué minimal de $G$ (c'est donc le socle de $G$) ; +dans le cas contraire ($r=2$ et l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ +est triviale), $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts, +à savoir $T \times 1$ et $1 \times T$ (et le socle de $G$ vaut donc de +nouveau $T^r$). +\end{proposition2} +\begin{proof} +Soit $S$ l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$. Montrons dans un +premier temps que $r > 2$ et que $S$ n'est pas primitif +sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$. Soit +$\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on +considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ +sur $\{1,\ldots,r\}$. Considérons la relation d'équivalence +$\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par +$(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}} +(v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i +{v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} +j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que +$v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$). Cette +relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par +translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des +coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur +toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$. Il est +clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car +$\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est. L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes +d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$), +ce qui montre que $G$ n'est pas primitif. + +Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit +$\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant +sur $\Omega$. Considérons l'ensemble des $r$-uplets +$(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au +même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le +stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit +d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale. Pour chaque +$i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments +$(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$. On définit une relation +d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par +$i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que +sous-groupes de $M$). + +Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Si $\sigma +\in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$ +appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r +\times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ +de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta +\mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, +\lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$. +Supposons $M_i = M_j$. Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à +$M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors +$(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$ +appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} = +1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$. On a +donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre +bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. + +Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale. Si +tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r) +\in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour +tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal +$(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on +voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs +de $\mathscr{B}$ sont des singletons. À l'inverse, si tous les $M_i$ +sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits} +permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est +$\Omega$ tout entier. + +Reste la dernière affirmation. Si $N$ est un sous-groupe distingué +minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et +le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits} +montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque +$N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$ +est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$ +est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est +trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et +$1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$. +\end{proof} + +\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits} +Soit $T$ un groupe simple fini non abélien. Alors tout sous-groupe +distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$, +où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$. En particulier, les +sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i := +1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et +les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les +$T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$. +\end{lemme2} +\begin{proof} +On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $\pi_r(N)$ de +$N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si +$\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par +la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse +récurrence permet immédiatement de conclure. Dans le second cas, il +existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$. On a alors +aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$ +est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$. Comme +$T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent +de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$. L'ensemble des $z \in T$ tels +que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement +distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est +donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in +N$ pour tout $z \in T$. Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N +\to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N : +t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué +dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de +$T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la +forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$ +ou $T$. Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N +\buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on +a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut. +\end{proof} + +\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits} +Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de +$T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$. +Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$ +de $M$ tels que $t_i = 1$. Si les $M_i$ sont deux à deux distincts, +alors $M = T^r$. +\end{lemme2} +\begin{proof} +On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $M^*$ de $M$ +par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un +sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le +sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq +r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments +$(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de +l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées. De +plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car +tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait +$(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$). L'hypothèse +de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$. Par +ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières +coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le +lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits} +ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$) +par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction. Il existe donc +un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$, +c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$. Puisque $M$ +contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in +T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les +$xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$. Ainsi, en fait, +$(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que +l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées +vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$. +\end{proof} + +\begin{remarque2}\label{holomorphe-d-un-groupe-simple} +Le cas particulier des groupes de permutation de type diagonal où +$r=2$ et où il n'y a pas de permutation des composantes (avec les +notations précédentes, l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ est +triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type +où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons +comment on peut le présenter différemment. + +Si $T$ est un groupe fini, on appelle parfois \emph{holomorphe} de $T$ +le produit semi-direct $H$ de $T$ par $\Aut(T)$ opérant naturellement +sur $T$, et on voit ce produit semidirect comme opérant lui-même sur +$\Omega := T$ (où $\Aut(T)$ opère naturellement et $T$ opère par +translation à gauche) : cette action est fidèle, et on peut encore +définir l'holomorphe comme le sous-groupe du groupe $\mathscr{S}(T)$ +des permutations qui est engendré par les translations à gauche et les +automorphismes de $T$. + +Lorsque $T$ est un groupe simple fini, en identifiant $\Omega=T$ à +l'ensemble des classes à gauche de la diagonale dans $T^2$, par +$(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit que l'holomorphe $H$ de $T$ +est un cas particulier (en tant que groupe de permutation) de la +construction des actions diagonales où $r=2$, où il n'y a pas de +permutation des coordonnées et où on a inclus tous les automorphismes +de $T$. Les deux sous-groupes distingués minimaux de $H$ sont +l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu naturellement comme +$T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des translations à droite +sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto t^{-1}xt))$ pour $t\in +T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$). Comme on l'a expliqué, le socle de $H$ +est le produit $T^2$ de ces deux sous-groupes (et $H = T^2 \cdot +\Out(T)$). + +Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec +$r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un +sous-groupe $G$ de l'holomorphe $H$ de $T$ contenant $T^2$ +(c'est-à-dire, contenant les translations à gauche et les translations +à droite). +\end{remarque2} + +\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$ +un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq +\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe +maximal $U$ de $G$ permet +(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et +\ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de +considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant +sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est +dit \emph{presque simple}. Son socle est alors $T$, et il n'est pas +régulier. + +\subsubsection{Produits en couronne}\label{produit-couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un +groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel +il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$ +(ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon +suivante : il s'agit du produit semi-direct $K^\Gamma \rtimes S$, où +$K^\Gamma$ désigne le groupe des fonctions $\Gamma \to K$ (muni de la +multiplication point par point) et $S$ opère sur $K^\Gamma$ par +$(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$ pour $\sigma \in S$, $f\in +K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$. + +La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe +abstrait. Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un +ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur +$\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x), +\sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action +possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in +\Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K +\wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de +l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard}) +du produit en couronne. + +On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera +souvent primitive. Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$ +l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$. On construit une action +de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$ +comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$. +Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en +couronne. + +\begin{proposition2} +Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un +groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$. Alors le produit en +couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega = +\Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si : +\begin{itemize} +\item $S$ est transitif (sur $\Gamma$), +\item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et +\item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$). +\end{itemize} +\end{proposition2} +\begin{proof} +Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que +l'action produit du produit en couronne soit primitive. Si $S$ n'est +pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une +orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur +$\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) = +w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a +manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout +$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble +$\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un +système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car +$\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$. Si $K$ n'est pas +primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs +non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est +même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$ +sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i) +\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x +\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$ +appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a +$(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma) +\in K \wr_\Gamma S$. Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de +sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut +s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une +relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant +$w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in +K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$ +pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une +« translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal + homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant + $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0 + \mapsto k\cdot x_1$. Le groupe des translations à droite de + $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix + d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation + envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1} + x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette + identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de +nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout +$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$. + +Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons +que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est +primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà +$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le +stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de +$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons +l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le +stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma +S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe +maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un +sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut +montrer que $H = K \wr_\Gamma S$. + +Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans +$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$, +l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$) +appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que +$f(i_0) \not\in V$. + +Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en +effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit +avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité +impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on +sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas +contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait +$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu. +Reste donc $N_K(V) = V$. + +On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$ +tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon +\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ : +ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1} +g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en +$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$ +engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to +K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est +contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout +$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction +$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces +fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient +aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$. +\end{proof} + +\subsubsection{Produits en couronne tordus}\label{produit-couronne-tordu} Considérons +maintenant la situation suivante : soit $U$ un sous-groupe d'un groupe +fini $S$, et soit $K$ un groupe fini ; on suppose de plus donné un +morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ du groupe $U$ vers les +automorphismes du groupe $K$, permettant de considérer que $U$ opère +sur $K$ : on notera $u \mathbin{\bullet_{\varphi}} k := \varphi(u)(k)$ +l'action en question. On considère l'ensemble $\mathscr{F}$ des +applications $f\colon S \to K$ vérifiant la condition suivante : pour +tout $s\in S$ et tout $u\in U$ on a $f(su) = u^{-1} +\mathbin{\bullet_{\varphi}} f(s)$ ; il s'agit d'un sous-groupe de +$K^S$ pour la multiplication point par point. Remarquons que si +$\Gamma$ est une section ensembliste de l'ensemble des classes à +gauche de $U$ dans $S$, c'est-à-dire un choix d'un élément de chaque +$sU \in K/U$, alors on peut considérer $\mathscr{F}$ comme le groupe +$K^\Gamma$, puisque la valeur de $f\in \mathscr{F}$ sur toute la +classe $sU$ est déterminée par sa valeur sur l'unique élément $s$. +Néanmoins, la description de $\mathscr{F}$ comme sous-ensemble de +$K^S$ permet de rendre plus claire l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$ +définie comme suit : si $f\in \mathscr{F}$ et $\sigma\in S$, on +définit $\sigma\cdot f$ par $(\sigma\cdot f)(s) = f(\sigma^{-1}s)$ +(pour tout $s\in S$). Le produit semi-direct $\mathscr{F} \rtimes S$ +défini par cette action s'appelle \emph{produit en couronne tordu} +défini par les données de $K$ de $U \leq S$, et du morphisme +$\varphi\colon U \to \Aut(K)$ ; on le notera $G$ dans la fin de cette +section. + +La terminologie de produit en couronne tordu se justifie par le fait +que le produit en couronne usuel (défini en \ref{produit-couronne}) +s'obtient comme le cas particulier où $\varphi$ est le morphisme +trivial (tout élément de $U$ s'envoyant sur l'identité de $K$) et $U$ +est le stabilisateur d'un point dans le $S$-ensemble $\Gamma$, lequel +peut alors être identifié à l'ensemble des classes à gauche de $U$ +dans $S$, où à un choix arbitraire d'une section pour cet ensemble. +Notons par ailleurs que si $U=S$, alors le produit en couronne tordu +que nous avons défini n'est autre que le produit semi-direct $K \rtimes +S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie +$f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) = +f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$). + +Revenant à la situation plus générale, on fera agir $G$ sur +$\mathscr{F}$ en décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on +l'a déjà dit et que $\mathscr{F}$ opère sur lui-même par translation à +gauche. (Dans le cas d'un produit en couronne non-tordu, ceci +correspond à l'action produit où $K$ est vu comme opérant sur lui-même +par translation à gauche ; il y aurait sans doute moyen de définir une +action généralisant l'action produit dans tous les cas, mais ceci ne +nous intéressera pas.) Le stabilisateur pour cette action de la +fonction constante $1 \in \mathscr{F}$ est le sous-groupe $S$ de $G$, +ce qui permet de considérer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les +classes à gauche de $S$ dans $G$. Cette action peut très bien ne pas +être fidèle : penser au cas où $U=S$ et $\varphi$ est trivial, par +exemple (auquel cas $G$ est le produit direct $K \times S$) ; il ne +semble pas facile de trouver des conditions nécessaires et suffisantes +sur les données pour que l'action qu'on vient de décrire soit fidèle +et primitive : on peut néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est +simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les +automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un +morphisme. + +\begin{remarque2}\label{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe} +Si on a choisi une section ensembliste $\Gamma$ des classes à gauche +de $U$ dans $S$, et si on note $\varpi\colon S\to\Gamma$ la fonction +associant à $s\in S$ le représentant $\varpi(s)$ de la classe $sU$, +alors en identifiant $\mathscr{F}$ à $K^\Gamma$, l'action de $S$ sur +$\mathscr{F}$ est donnée par : $(\sigma\cdot f)(x) = (x^{-1}\sigma +\varpi(\sigma^{-1}x)) \mathbin{\bullet_\varphi} +f(\varpi(\sigma^{-1}x))$ (pour $\sigma\in S$ et $x\in \Gamma$). + +Si $H = K \rtimes\Aut(K)$ désigne l'holomorphe du groupe $K$ +(cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), cette formule conduit à +définir un morphisme $S \to H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma)$ qui +à $\sigma \in S$ asssocie $((\dot\varphi(x^{-1}\sigma +\varpi(\sigma^{-1}x)))_{x\in\Gamma}, \penalty-100 (x \mapsto +\varpi(\sigma^{-1}x)))$ (où $\dot\varphi$ est la composée de $S +\to\Aut(K)$ avec le morphisme évident $\Aut(K) \to H$). En combinant +ce morphisme avec le morphisme $\mathscr{F} \to H^\Gamma$ obtenu à +partir de l'application de $K \to H$ (correspondant à la translation à +gauche, i.e., la première composante de $H = K \rtimes\Aut(K)$) sur +chaque composante de $\mathscr{F} = K^\Gamma$, on obtient un morphisme +de $G = \mathscr{F} \rtimes S$ vers $H^\Gamma \rtimes +\mathfrak{S}(\Gamma) = H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ compatible +avec l'action de ces deux groupes sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$ (dans +le cas de $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, il s'agit de l'action +produit du produit en couronne). Notamment, si $G$ opère fidèlement +sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$, le morphisme $G \to H \wr_\Gamma +\mathfrak{S}(\Gamma)$ que nous venons de définir est injectif. +\end{remarque2} + +\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott} + +Cette section fait suite à la précédente. + +Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des +groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet +ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration +duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}. + +\begin{theoreme2}\label{o-nan-scott} +Soit $G$ un groupe de permutations primitif dont on note $\Omega$ +l'ensemble sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations +suivantes est vraie : +\begin{itemize} +\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit + à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se + produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce + cas le socle est régulier. +\item $G$ est presque simple + (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire + qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini + non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$ + opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas + régulier. +\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que + décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec + $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le + socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est + un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré + $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un + unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle. +\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma + \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit (\ref{produit-couronne}) sur + $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif + sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est + $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en + question n'est pas régulier. +\item $G$ est un produit en couronne tordu + (\ref{produit-couronne-tordu}) défini par la donnée d'un groupe fini + $S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple} + non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$ + dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes + intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors isomorphe, comme groupe + de permutations + (cf. \ref{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe}) + à un sous-groupe du produit en couronne $H \wr_\Gamma + \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est l'holomorphe de $K$ + (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où $\Gamma$ est + l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$. Dans ce cas, le + socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à $\mathscr{F}$ + avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et il est + régulier. Ce cas se produit si et seulement si le socle de $G$ est + régulier mais non abélien. +\end{itemize} +\end{theoreme2} + +\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux... + +\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n} +Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types +suivants : +\begin{itemize} +\item un sous-groupe intransitif de la forme $\mathfrak{S}_{n_1} + \times \mathfrak{S}_{n_2}$ avec $n_1 + n_2 = n$ (et $n_1,n_2 > 1$), + muni de l'action donnée par l'union disjointe, +\item un sous-groupe transitif mais non primitif $\mathfrak{S}_k + \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $kr = n$ (et $k,r > 1$), + muni de l'action imprimitive du produit en couronne, +\item un groupe primitif, qui est alors d'un des types suivants : +\begin{itemize} +\item un produit en couronne $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}} + \mathfrak{S}_r$ avec $k^r = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action + produit du produit en couronne, +\item un groupe affine $\AGL(\FF_p^r)$ avec $p^r = n$, +\item un groupe de type diagonal $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times + \Out(T))$ où $T$ est simple fini non-abélien et son ordre vérifie + $(\#T)^{r-1} = n$, +\item un groupe presque simple. +\end{itemize} +\end{itemize} +\end{corollaire2} + +Ceci découle immédiatement du théorème précédent. Soulignons qu'il +n'est pas affirmé que chacun des types décrits ci-dessus construit +effectivement un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$. + +\subsection{Un théorème de Jordan} + +On veut démontrer : + +\begin{theoreme2}\label{Jordan} +Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle +pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$. +Alors $G$ contient $𝔄_n$. +\end{theoreme2} + +Nous ferons usage de la terminologie suivante : + +\begin{dfn2} +Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant +transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles +$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$ +sont $\vide,X$, et les singletons. +\end{dfn2} +De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de +partition\footnote{En particulier, par définition, +chaque constituant est non vide.} +$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable +sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe +un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$). + +Établissons quelques lemmes généraux. + +\begin{lemme2} +Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif. +\end{lemme2} + +\begin{lemme2} +Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$, +$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$ +agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors, +$G$ agit également transitivement sur $X$. +\end{lemme2} + +Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe +primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle. + +\begin{lemme2} +Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe +de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$. +Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué +\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement +sur $F$. +\end{lemme2} + +\begin{lemme2} +Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$. +Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse +transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive. +(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit +transitivement sur $X-x$.) +\end{lemme2} +\begin{proof} +Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique. +\begin{itemize} +\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$, +il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$. +En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et +remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$. +(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.) + +\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement +sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.) + +\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui +sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence. +\end{itemize} +\end{proof} + +\begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870] +Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier +et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$ +contient $𝔄_n$. +\end{theoreme2} + +\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.] +La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes : +$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$. +Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que +nous supposons satisfaite. +En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$ +dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ; +on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$). +Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement +sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\ +Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\ +Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son +normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants : +\begin{itemize} +\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons +que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme +de restriction, bien défini ici. +\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait +$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit +transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$. +\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$ +est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne. +\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image +de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$. +\end{itemize} +\end{proof} + +\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre} + +Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme +irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et +$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois +$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de +$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part, +il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est +contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$. + +\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4} +\begin{enumerate} +\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs +des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$ +(isomorphes au groupe diédral $D₄$). +\item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$, +les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes +à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$. +\end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{démo} +\begin{enumerate} +\item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble +$\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités. +\begin{itemize} +\item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué +dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$. +\item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un +carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe +d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$. +Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes. +\item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement. +Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait +contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$). +Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un +point. +\item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans +un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est +engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également. +\end{itemize} +\item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par +$4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes +possibilités sont celles de l'énoncé. +\end{enumerate} +\end{démo} + +Le théorème suivant est une généralisation de la proposition +\ref{Gal(deg 3)=cyclique}. + +\begin{théorème} +Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ +un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et +$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant. +\begin{enumerate} +\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et +$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ; +\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi +$f$ a une racine dans $k$ ; +\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante +cubique} +\[ +g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)= +Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄) +\] +a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal +au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les +pseudo-discriminants coïncident également. +\end{enumerate} +\end{théorème} + + +\begin{démo} +(i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}). +(ii) Évident. +(iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule +\[ +(x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k). +\] +L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux +résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien +d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant. + +Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$ +forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les +stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$. +Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$, +correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré. +Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient +donc à $k$ et est une racine de $g$. +Réciproquement, si $G$ n'est contenu +dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le +sous-ensemble à trois éléments +$\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de +$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori}, +sur le sous-ensemble (à trois éléments +par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$ +de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$. +\end{démo} + +Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3. + +\subsection{Exercices} +\begin{exercice2} +Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et +$K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$. +Montrer que +\[ +G≃\left\{ +\begin{array}{ll} +𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\ +𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\ +D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4 & \textrm{si } [K:k]=2\\ +V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\ +\end{array} +\right. +\] +\end{exercice2} + + +\begin{exercice2} +Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que +le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que +le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension +non-triviale. +(Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.) +\end{exercice2} + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi |