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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-31 18:14:30 +0200
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-31 18:14:30 +0200
commit01b341d735f57356cfa9043911e11b2ddbedca67 (patch)
treed026f97c907de135c1ee7c01a02828afea72024c /chapitres/locaux-globaux.tex
parent1d7dd69385b59fe7856913ba40c8154477abdfac (diff)
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[LG] rapides sorites sur produits de mesures
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex39
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 0d3a42e..e8c863e 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -169,7 +169,9 @@ général. (Si $X=𝐑$, son adhérence dans l'ensemble des
fonctions continues bornées est l'ensemble des fonctions
tendant vers zéro à l'infini.)
-\subsubsection{}On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
+\subsubsection{}
+\label{mesure de Radon}
+On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuité
de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
@@ -211,6 +213,41 @@ permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.
+\subsubsection{Mesure produit}
+\label{Radon produit}
+\paragraph{Produit fini}Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques localement compacts
+munis de mesures de Radon $μ_X$ et $μ_Y$.
+On vérifie sans difficulté (\BourbakiINT{III.§4.1}) que le sous-espace $𝒞_c(X,𝐂) ⊗ 𝒞_c(Y,𝐂)$ des fonctions
+de la forme $f ⊗ g:(x,y)↦ f(x)g(y)$ est dense
+dans $𝒞_c(X×Y,𝐂)$ et que la forme linéaire
+$f ⊗ g↦ μ_X(f)μ_Y(g)$ s'étend en une mesure de Radon,
+notée $μ_X ⊗ μ_Y$ sur $X×Y$. Plus généralement,
+on définit le produit d'un nombre fini de mesures de Radon.
+
+\paragraph{Produit infini de compacts}
+Soient $(X_s)_{s ∈ Σ}$ une collection d'espaces topologiques compacts
+munis de mesures de Radon positives $μ_s$. On suppose la famille
+de réels $μ_s(𝟭_{X_s})$ \emph{multipliable}, où $𝟭_{X_s}$ désigne
+la fonction caractéristique de $X_s$.
+Pour chaque sous-ensemble fini $S$ de $Σ$ et chaque fonction
+continue $f_S$ sur $∏_{s ∈ S} X_s$, notons $f_S ⊠ 𝟭$
+la fonction « ne dépendant que d'un nombre fini de variables »
+\[
+f_S ∘ \big(∏_{s ∈ Σ} X_s \dessusdessous{\pr_S}{↠} ∏_{s ∈ S} X_s\big),
+\]
+où $\pr_S$ désigne la projection évidente. Il résulte
+du théorème de Stone-Weierstraß que ces fonctions forment
+un sous-$𝐂$-espace vectoriel dense de $𝒞_c(∏_{s ∈ Σ} X_s,𝐂)$.
+On vérifie par réduction au cas où $μ_s(𝟭_{X_s})=1$
+(cf. \BourbakiINT{III.§4.6}) qu'il existe une unique mesure de
+Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
+\[
+μ(f_S ⊠ 𝟭)=(⨂_{s ∈ S} μ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} μ_s(𝟭_{X_s}).
+\]
+
+
+
+
\subsubsection{Mesure des ensembles}
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue