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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 17:53:39 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 17:53:39 +0100
commit02f7ed2ef2f935872de5d36ae8bdfd23066e7f92 (patch)
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[LG] changement de notation Mf ⤳ ζ(f,s) pour transformée de Mellin
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex59
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index 6adc8ea..b33d019 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -480,7 +480,8 @@ Indépendance du choix de $F$ ⤳ « $μ(X)$ » [...] \XXX
% Weil [BNT] p. 36.
% Sur l'existence d'un domaine fondamental quarrable/mesurable,
% cf. exercice 12, INT chap. VII, §2, p. 114 :.
-%Voir aussi Platonov, Rapinchuk, chap. III.
+%Voir aussi Platonov, Rapinchuk, chap. III et Colmez,
+%« Éléments d'analyse … », B.1.6.
\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}
@@ -1260,7 +1261,7 @@ Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$
par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
\[
-M_{≤1}(f)(s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
+ζ_{≤1}(f,s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
\]
est holomorphe sur $\Re(s)>-A$.
Lorsque $f(t) ∼ ∑_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}$
@@ -1270,36 +1271,39 @@ $f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$
on peut pour chaque $n$ écrire
\[
-M_{≤ 1}f(s)=
+ζ_{≤ 1}(f,s)=
∫₀¹(f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
+ ∑_0^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
\]
où le premier terme est, d'après ce qui précède,
holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
-Il en résulte que $M_{≤ 1}f$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$
+Il en résulte que $ζ_{≤ 1}(f)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$
à pôles simples en chaque $-α_k$, de résidu $a_k$.
On peut bien entendu procéder en même en l'infini
et poser
\[
-M_{ ≥ 1}f(s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
+ζ_{ ≥ 1}(f,s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
\]
-Lorsque les deux fonctions $M_{≤ 1}f$ et $M_{ ≥ 1}f$
+Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \emph{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
\[
-Mf=M_{≤ 1}f + M_{ ≥ 1}f.
+ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s).
\]
+
\subsubsection{Exemple}
\label{exemple Mellin réel}
Si $λ$ est un réel strictement positif,
-on a $M(t↦ e^{-λt})(s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction méromorphe
+on a $ζ(t↦ e^{-λt},s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction méromorphe
sur $𝐂$, où
\[
Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
est la fonction Gamma usuelle.
Cette formule est également valable lorsque $λ=0$
-car on a alors $M_{≤ 1}(1)=\frac{1}{s}$
-et $M_{ ≥ 1}(1)=-\frac{1}{s}$ d'où $M(1)=0$.
+la fonction $e^{- λt}$ étant alors égale
+à la fonction constante $𝟭$.
+En effet, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
+et $ζ_{≥1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$ d'où $ζ(𝟭)=0$.
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
@@ -1309,7 +1313,7 @@ où la seconde égalité n'est autre que la définition
des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$
et celle de
\[
-θ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}
+ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
\subsubsection{}
@@ -1328,12 +1332,12 @@ D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
-$ψ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où
-$ψ(t)=1+2 θ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
+$θ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où
+$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
En appliquant la transformée de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
-on trouve immédiatement $M ψ(s)=M ψ(½-s)$ et de même pour $θ$
-car $M(1)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
+on trouve immédiatement $ζ(θ,s)=ζ(θ,½-s)$ et de même pour $ψ$
+car $ζ(𝟭)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
dont l'énoncé et la démonstration forment un prototype des
résultats que nous souhaitons démontrer dans ce chapitre.
@@ -1365,12 +1369,14 @@ Signalons un argument élémentaire conduisant
la fonction zêta.
Soit en effet,
\[
-ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s).
+ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s),
\]
+aussi notée parfois $η(s)$ (« fonction éta de Dirichlet »).
Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
\[
-ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s}.
+ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s} :
\]
+c'est la \emph{fonction zêta alternée}.
Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
@@ -1387,6 +1393,9 @@ et
\[
ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
\]
+Pour une présentation moderne de la « démonstration »
+d'Euler de l'équation fonctionnelle,
+cf. \cite[II.2.3]{Divergent@Hardy}.
\end{exercice2}
% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).
@@ -3073,14 +3082,16 @@ On a, par définition,
\]
et, comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
\[
-Mθ(s)=ζ(2s) Γ(s) π^{-s}
+ζ(ψ,s)=ζ(2s) Γ(s) π^{-s}
\]
-soit encore $\chap{ζ}_𝐐(s)=Mθ(\frac{s}{2})$,
-où $θ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$ et l'on suppose par exemple $s>1$.
+— le terme de gauche désignant la transformée de
+Mellin définie en \ref{transformée Mellin réelle} —,
+soit encore $\chap{ζ}_𝐐(s)=ζ(ψ,\frac{s}{2})$,
+où $ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$ et l'on suppose par exemple $s>1$.
Dans le paragraphe susmentionné, cette égalité est le point de départ
d'une démonstration classique de l'équation fonctionnelle
de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}),
-obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $θ$ (ou plutôt $ψ=1+2 θ$).
+obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $ψ$ (ou plutôt $θ=1+2 ψ$).
Nous verrons ci-après des généralisations (corps global quelconque)
de ce fait, démontrées par voie adélique.
@@ -3164,9 +3175,9 @@ $ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
\end{théorème2}
Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
-[BNT], pp. 120--130. Swinnerton-Dyer :
-A brief guide to algebraic number theory
-et peut-être Zagier, « Eisenstein series … ».
+[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
+algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
+et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.