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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-13 19:44:41 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-13 19:44:41 (GMT)
commit04e7e44c6740277cffc5fc82ae53385df3f3dbc2 (patch)
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[LG] début idèles
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex127
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index a8bfeb9..a55bac6 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2608,6 +2608,7 @@ $⋂_F F ≠ ∅$.
\subsection{Produits restreints}
+\label{généralités produits restreints}
\subsubsection{Définition}Soient $Σ$ un ensemble d'indices, $(𝒳_s)_{s ∈ Σ}$
une collection d'espaces topologiques et, pour chaque $s ∈ Σ$,
@@ -2620,7 +2621,7 @@ craindre, le produit
d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une injection continue
$(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s;𝒱_s)$, ou simplement
+$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$. Ensemblistement,
@@ -2711,7 +2712,7 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\subsubsection{}
\label{définition adèles}
-Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ$
+Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
@@ -2721,13 +2722,16 @@ C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\emph{anneau des adèles sur $K$}.
-\subsubsection{}Pour chaque $x ∈ Σ$, le corps $K$ se plonge
+\subsubsection{}
+\label{adèles principaux}
+Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
-se factorise à l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
+se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
-avec son image dans les adèles sur $K$. (Voir \ref{cocompacité}
+avec son image dans les adèles sur $K$, constituée des
+\emph{adèles principaux}. (Voir \ref{cocompacité}
pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
\subsubsection{}
@@ -2927,7 +2931,7 @@ D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
\begin{théorème2}[Formule du produit]
\label{formule du produit}
Soit $K$ un corps global.
-Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
+Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $|a|:=∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
absolues normalisées est égal à $1$.
\end{théorème2}
@@ -2952,41 +2956,85 @@ de sorte que le résultat est évident.
Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, où les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irréductibles
unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$,
de sorte que le résultat vient de l'égalité tautologique $\deg(f)=∑_P n_P
-\deg(P)$.
-
-Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$. \XXX
+\deg(P)$. (Rappelons que $\deg(f)$ est l'ordre du pôle en $∞$.)
+Le cas général se ramène aux cas particulier précédents
+car il résulte de la proposition \refext{AVD-D}{extensions valuations et norme}
+que si $L\bo K$ est une extension de corps globaux
+et $x$ une place de $K$, on a pour chaque $λ ∈ L$
+la formule $|\N_{L\bo K}(λ)|_x = ∏_{y↦ x} |λ|_y$
+et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\end{démo}
+\subsection{Idèles}
+
+\subsubsection{}
+\label{définition idèles}
+Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
+l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+cofini des places ultramétriques. La construction
+générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
+le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
+locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
+C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
+pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+\emph{groupe des idèles sur $K$}.
+
+\begin{remarques2}
+\label{discontinuité adélique}
+L'\emph{ensemble} sous-jacent au groupe des idèles est bien le groupe
+des éléments inversibles de l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
+Cependant, la topologie de $K^×_𝐀$ est n'est \emph{pas} la topologie
+induite par l'inclusion ensembliste \mbox{$K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$}.
+Considérons par exemple pour chaque nombre premier $p$
+l'idèle $x_p ∈ 𝐐^×_𝐀$ dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$.
+La suite $x_p$ converge vers $1$ dans $𝐐_𝐀$
+mais pas dans $𝐐^×_𝐀$.
+Notons également que la norme $K^×_𝐀 → 𝐑^×$,
+$a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$, n'est pas continue
+pour la topologie induite par les adèles,
+alors qu'elle l'est — essentiellement par définition —
+pour la topologie des idèles.
+Par exemple, si $x_n$ est l'adèle de $𝐐$
+tel que $x_{n,∞}=1$ et $x_{n,p}=n!+1$ pour tout $p$,
+on a $|x_n|=(n!+1)^{-1}$, qui tend vers $0$ avec $n$,
+tandis que $x_n → 1$ dans $𝐐_𝐀$.
+On a cependant le résultat positif suivant,
+dont nous ferons usage ci-après.
+\end{remarques2}
\begin{proposition2}
-\label{densité K dans AKS}
-$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
+\label{topologies induites coïncident}
+Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
+par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
\end{proposition2}
-\subsection{Idèles}
+\begin{démo}
+Commençons par montrer que pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$,
+le sous-ensemble $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| ≥ c\}$ est fermé
+dans $K_𝐀$ ou, de façon équivalente, que son complémentaire
+$\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Soit $f$ un élément de ce
+complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
+tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut
+supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{x ∉ U} |f_x|_x <c$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}
+\label{idèles principaux}
+Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
+naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$
+est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
+se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
+\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
+avec son image dans les idèles sur $K$, constituée des
+\emph{idèles principaux}.
\subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
$K^{×,∞}_𝐀=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
☡ $C_K$ n'est *pas* compact. \XXX Utiliser d'autres notations :
$K^×_𝐀$ etc.
-☡ La topologie de $K^×_𝐀$ est n'est pas topologie induite par
-l'inclusion $K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$. Par exemple ([Saitô]p241),
-la suite d'éléments $x_n$ de $𝐐^×_𝐀$ dont les coordonnées
-sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
-vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
-Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.
-
-\begin{proposition2}
-\label{topologies induites coincident}
-Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀$ par les inclusions
-$K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident. Plus précisément, …
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
-\end{démo}
\subsubsection{}Mesure.
@@ -3060,6 +3108,8 @@ Le fait que l'on tombe sur $q^𝐙$ et pas $q^{n 𝐙}$,
c'est-à-dire qu'il existe un diviseur de degré $1$, est non
trivial. (Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
+
+
\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}
D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
@@ -3326,14 +3376,14 @@ et $a ∈ 𝐤$.
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}
-\begin{proposition2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
+\begin{théorème2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$.
Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
si $x ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ x)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $x ∈ K$.
-\end{proposition2}
+\end{théorème2}
Un mot sur la terminologie : le caractère $ψ$
induit une application linéaire de $𝐙$-modules
@@ -3372,6 +3422,23 @@ d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
Corollaire (?) : \XXX
+
+\begin{théorème2}[Théorème d'approximation forte]
+\label{densité K dans AKS}
+Soit $K$ un corps global.
+\begin{enumerate}
+\item Pour tout sous-ensemble non vide $E$ de places de $K$,
+le morphisme $K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{x ∉ E} (K_x ;𝒪_{K,x})$
+est d'image \emph{dense}.
+\item Pour tout ouvert dense $U$ de $K$ et tout $U ⊊U′ ⊆ Σ(K)$,
+le morphisme $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U′} K_x$ est d'image
+\emph{dense}.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+
+
+
\begin{proposition2}
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$