[LG] mini correctif (sur les pôles)

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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4754,19 +4754,22 @@ en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
 
 \subsection{Prolongement analytique et équation fonctionnelle des fonctions zêta
 de Dedekind}
-\label{équation fonctionnelle zêta}
 
 \begin{théorème2}
-Soit $K$ un corps global.
+\label{équation fonctionnelle zêta}
+Soit $K$ un corps global. On note $q$ le cardinal du corps des constantes
+si $K$ est un corps de fonctions et $1$ sinon.
 \begin{enumerate}
-\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ converge absolument pour
-pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles
-simples uniquement en $0$ et $1$.
+\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ (\ref{définition zêta Dedekind})
+converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles
+simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$
+modulo $2iπ/\log(q)$, en faisant la convention que $2iπ/\log(1)=0$.
 \item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$,
 égale à $|𝒟_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombre
 de discriminant $𝒟_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$
 et de corps des constantes de cardinal $q$.
 Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$
+(\ref{fonction zêta complétée})
 satisfait l'équation fonctionnelle
 \[
 \sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$
@@ -4774,12 +4777,17 @@ satisfait l'équation fonctionnelle
 et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est
 la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et
 $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
-\item Si $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes
-de cardinal $q$, on a de plus $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$ où
+\item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus
 \[
-Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}
+ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}
 \]
 et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$.
+La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ;
+\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
+\item $Z_K(0)=1$.
+\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{théorème2}