diff options
author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-11-22 10:49:47 +0100 |
---|---|---|
committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-11-22 10:49:47 +0100 |
commit | 057278734d69e6cff7103227aa50d184df854d24 (patch) | |
tree | b3a54d056b5ce016057420db3841886c4ab511c3 /chapitres/locaux-globaux.tex | |
parent | 321bb398ee7f8c42f96701cdd5881426aec5e2e4 (diff) | |
download | galois-057278734d69e6cff7103227aa50d184df854d24.tar.gz galois-057278734d69e6cff7103227aa50d184df854d24.tar.bz2 galois-057278734d69e6cff7103227aa50d184df854d24.zip |
[LG] mini correctif (sur les pôles)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 24 |
1 files changed, 16 insertions, 8 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 12c6617..c354b5b 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4754,19 +4754,22 @@ en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}. \subsection{Prolongement analytique et équation fonctionnelle des fonctions zêta de Dedekind} -\label{équation fonctionnelle zêta} \begin{théorème2} -Soit $K$ un corps global. +\label{équation fonctionnelle zêta} +Soit $K$ un corps global. On note $q$ le cardinal du corps des constantes +si $K$ est un corps de fonctions et $1$ sinon. \begin{enumerate} -\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ converge absolument pour -pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles -simples uniquement en $0$ et $1$. +\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ (\ref{définition zêta Dedekind}) +converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles +simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$ +modulo $2iπ/\log(q)$, en faisant la convention que $2iπ/\log(1)=0$. \item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$, égale à $|𝒟_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombre de discriminant $𝒟_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$ et de corps des constantes de cardinal $q$. Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$ +(\ref{fonction zêta complétée}) satisfait l'équation fonctionnelle \[ \sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$ @@ -4774,12 +4777,17 @@ satisfait l'équation fonctionnelle et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$. -\item Si $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes -de cardinal $q$, on a de plus $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$ où +\item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus \[ -Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)} +ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)} \] et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$. +La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes : +\begin{enumerate} +\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ; +\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. +\item $Z_K(0)=1$. +\end{enumerate} \end{enumerate} \end{théorème2} |