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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-12 13:30:18 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-12 13:30:18 (GMT)
commit0c174b07b63a77c3b56cf11dba08047bb1d3ec82 (patch)
treeeceab40f9bf5a5005f4fb607892d750dd956e50f /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] clarification sur les signes (Poisson adélique)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex32
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index 1b4e8c3..0aabe52 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1110,14 +1110,14 @@ prêter à confusion. Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $
\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}
\[
-∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
+∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}\big( (f ψ_x)^{-1}(λ)\big),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
\[
-f↦ (x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
+f↦ \big(x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
\]
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
@@ -1150,8 +1150,8 @@ où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \textbf{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{-n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
-(resp. $√{|a|} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$.
@@ -3893,18 +3893,22 @@ un élément $o$ de $𝐤$. Comme ci-dessus, on établit sans peine l'égalit
où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{caractères additifs kA}),
et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲ ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
-Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
+Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ;
-par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p [× t^{-2}]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
+par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p [× t²]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$,
qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$,
est égale à $p$.
\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
-Dans ce cas, la formule de Poisson adélique est moins immédiate.
-La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des
-rationnels nous ramène en effet au théorème
+D'autre part, on vérifie immédiatement la formule
+$∑_{λ ∈ 𝐤} 𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ 𝐤} ℱ_{ψ_𝐤}\big(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}\big)(λ)$.
+Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ ;
+le terme de droite est $p$ fois le nombre, égal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ 𝐤$
+sans pôle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini.
+Dans le cas d'une fonction $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule
+de Poisson adélique est moins immédiate.
+La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des rationnels nous ramène en effet au théorème
de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX
-\end{exemple2}
\subsection{Formules d'inversion et de Poisson}
@@ -4117,7 +4121,7 @@ Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(\mathbf{1})
-= ⊠′_x \big( q_x^{½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
+= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
@@ -4127,8 +4131,8 @@ Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}.
Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ n'est autre que l'ensemble
des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
-$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
-(Noter le signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
+$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
+(Prendre garde au signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
De même,
@@ -4182,7 +4186,7 @@ semblable à celle suivie ici.
\begin{exemple2}
\label{genre droite affine}
-$g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
+$g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX
% cf. p. ex Rosen, p. 49
% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;)
\end{exemple2}