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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-06 19:40:05 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-06 19:40:05 (GMT)
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Introduction de macros \mathtextrm, \mathtextsf et \mathtexttt
Le but est de résoudre le problème des accents qui n'apparaissaient pas, par exemple, dans \mathrm{Dér} (parce qu'Unicode ne définit pas les caractères accentués dans les alphabets mathématiques et, concrètement, parce que le package unicode-math ne leur donne pas des \mathcode appropriés, et ne fournit d'ailleurs pas de 'é' sans-sérif ou autre truc du genre). Ces macros servent donc à écrire du texte dans des formules mathématiques, de façon un peu « intermédiaire » entre \mathrm et \textrm : elles créent du vrai mode maths (donc qui change de taille en exposant et indice, contrairement à \textrm) mais en allant chercher dans une police orientée texte et _sans_ aller prendre dans les alphabets « mathématiques » d'Unicode. Attention : à cause de l'usage de \emitmathchars, le paramètre passé à ces macros ne doit pas contenir de commande quelle qu'elle soit, uniquement des caractères.
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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -22,7 +22,7 @@
\chapter{Corps locaux, corps globaux}
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathtextrm}{mod}
\section{Corps locaux}
@@ -416,7 +416,7 @@ tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$
et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
-Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
+Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathtextrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit
@@ -843,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
-d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+d'après laquelle $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
@@ -1295,7 +1295,7 @@ un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal co
Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
-que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
+que $\mathtextrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathtextrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
@@ -2095,7 +2095,7 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
+respectifs sont notés $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini »
@@ -2134,21 +2134,21 @@ $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — ap
Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
-lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
+lorsque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
-% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
+% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
\label{U-entiers}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
-l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
+l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
\subsubsection{}
\label{notation OLU}
@@ -2181,7 +2181,7 @@ nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$
où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.
-Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
+Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
@@ -2199,9 +2199,9 @@ $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
-Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
+Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
-$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
+$\{∞\} → Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
@@ -2306,10 +2306,10 @@ et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\label{finitude-infinitude-places}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
-\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
-\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
+\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
+\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
-$\{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
+$\{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2318,8 +2318,8 @@ Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier.
-Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$
-est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
+Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$
+est un singleton et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
@@ -2414,10 +2414,10 @@ déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A
(On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.)
Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
-$Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
+$Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
-telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$
-est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$
+est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal
premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion
du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
@@ -2581,8 +2581,8 @@ associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\begin{itemize}
\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
-n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
-où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
+n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathtextrm{disc}} → G$,
+où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathtextrm{disc}}$ le
même groupe, muni de la topologie discrète.
\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
@@ -2811,30 +2811,30 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\subsubsection{}
\label{définition adèles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
-aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
-pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{anneau des adèles sur $K$}.
Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.
\subsubsection{}
\label{définition adèles ultramétriques}
-On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
-corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
+On note aussi $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$) le produit restreint des
+corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
-∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
+∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).
\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
-est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
@@ -2846,10 +2846,10 @@ pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
\label{notation KAU}
On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
-pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
+pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
-le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
@@ -2975,7 +2975,7 @@ Pour montrer la compacité du quotient,
il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
Par translation par un entier, il suffit
de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
-ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$
+ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr.}}(𝐐))$
est engendré par (l'image de) $𝐐$.
Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme}
directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
@@ -3039,7 +3039,7 @@ Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ es
\end{corollaire2}
Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
-le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
de fonctions.
@@ -3090,13 +3090,13 @@ et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\subsubsection{}
\label{définition idèles}
Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
-locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
+locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
-pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
@@ -3186,7 +3186,7 @@ Les résultats établis permettent de conclure.
\label{idèles principaux}
Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$
-est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
@@ -3247,7 +3247,7 @@ $\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
-\max\{\mathrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
+\max\{\mathtextrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en
$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$
@@ -3414,8 +3414,8 @@ réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$.
\subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX
\subsection{Groupes de Picard}
-\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
-\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}
+\newcommand{\Div}{\mathop{\mathtextrm{Div}}}
+\renewcommand{\div}{\mathop{\mathtextrm{div}}\nolimits}
\subsubsection{}
\label{définition diviseur}
@@ -3439,7 +3439,7 @@ Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
\[
-\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
+\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathtextrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
\]
D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
\[
@@ -3504,7 +3504,7 @@ plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)
c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
arbitraire. Cela résulte de l'existence
-d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$
+d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$
et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
[détailler \XXX]
\end{démo}
@@ -3588,7 +3588,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
-que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
+que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
@@ -3598,10 +3598,10 @@ $f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produi
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
-archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
-des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
-et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
-Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.
+archimédienne $f_{𝐀}^{\mathtextrm{arch}}:K_𝐀^{\mathtextrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
+des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$,
+et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}} → 𝐂$.
+Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$.
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
@@ -3610,23 +3610,23 @@ On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
-presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
-Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
-𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
+Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
+𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
-pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+pour chaque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$.
Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
-linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
-est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
+linéaire de fonctions $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où $f^{\mathtextrm{ultr}}$
+est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
@@ -3918,20 +3918,20 @@ où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux ca
particuliers.
— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une
-fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
+fonction $f^{\mathtextrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte
des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité
\[
-ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
-\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠
-\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
+\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathtextrm{arch}}) \big) ⊠
+\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
\]
-où $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
+où $ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
-Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
+Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
@@ -3939,12 +3939,12 @@ Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier,
la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
-∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
-\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ).
+∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathtextrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
+\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(λ).
\]
Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
-appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
-de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathtextrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ;
c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.
@@ -4036,7 +4036,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
-\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
+\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathtextrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
@@ -4058,37 +4058,37 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.
❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
-de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
+de la forme $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où
+$f^{\mathtextrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
-$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
-où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
-$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
-(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application
+$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}\big)$,
+où $C^{\mathtextrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
+$K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
+(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}$ l'image de l'application
soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
-ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
-on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
+ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$,
+on peut supposer que $f^{\mathtextrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
la somme
\[
-a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})}
-|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|
+a_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})}
+|f^{\mathtextrm{arch}}(a_𝐀^{\mathtextrm{arch}}+λ^{\mathtextrm{arch}})|
\]
-sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈
-Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$.
-(On note ici $λ^{\mathrm{arch}}$ l'image de $λ$
-dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
-on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
+sur le compact $C^{\mathtextrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=∏_{x ∈
+Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x$.
+(On note ici $λ^{\mathtextrm{arch}}$ l'image de $λ$
+dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
+on rappelle que $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
-que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+que le compact $C^{\mathtextrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$.
-L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue
+L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})$ est donc contenue
dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$.
On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$,
la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément
@@ -4376,7 +4376,7 @@ de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps
Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante
sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au
niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}),
-$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
+$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
@@ -4429,8 +4429,8 @@ que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
-\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \car(K)=0\\
+\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \car(K)>0,
\end{cases}
\]
où $𝔡_K$ est la différente (\refext{AVD-D}{différente}) du corps
@@ -4441,8 +4441,8 @@ fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.
\label{Fourier de 1}
Soit $K$ un corps global et posons
\[
-𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}
g_{K_x}\big).
\]
Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
@@ -4469,8 +4469,8 @@ $+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
-\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \car(K)=0\\
+\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \car(K)>0,
\end{cases}
\]
où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
@@ -4495,8 +4495,8 @@ de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors,
\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)
= \frac{h}{w}×
\begin{cases}
-\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \car(K)=0\\
+\displaystyle 1 & \text{si } \car(K)>0,
\end{cases}
\]
où $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{régulateur} défini
@@ -4531,24 +4531,24 @@ la conclusion est acquise dans ce cas.
Cas d'un corps de nombres.
Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons
-maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$
+maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑$
définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et
-$μ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
+$μ^{\mathtextrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de
l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité
\[
w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)=
-\sur{μ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
+\sur{μ}^{\mathtextrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
\]
(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.)
Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales}
ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat
\footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et
$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.}
-que la mesure $μ^{\mathrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
-la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
+que la mesure $μ^{\mathtextrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
+la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel)
-de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
+de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\end{démo}
@@ -4587,9 +4587,9 @@ c'est-à-dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $𝒪_K(U)$
des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale},
\ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique
\[
-ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
+ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathtextrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
\]
-où l'on note $ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
+où l'on note $ζ_{A}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
est la fonction zêta de Hasse d'un anneau $A$ et $κ(𝔪)$
le corps résiduel $A/𝔪$ (\refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}).
Cette égalité est conséquence formelle du fait
@@ -4600,7 +4600,7 @@ telle que $q_x = N(𝔪_x)$.
\subsubsection{Réécriture : corps de nombres}
Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
-ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
+ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
\]
où $𝔞$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de l'anneau
des entiers $𝒪_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $𝒪_K ∕ 𝔞$.
@@ -4714,12 +4714,12 @@ Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT).
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
d'introduire la \textbf{fonction zêta (de Dedekind) complétée}
\[
-\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
+\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
\]
où les fonctions zêta archimédiennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont
les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}.
Nous étendons cette définition au cas où $K$ est un corps de fonctions
-en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathrm{arch.}}(K)=∅$).
+en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)=∅$).
Nous verrons ci-dessous que cette fonction zêta se prolonge analytiquement
en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle
\[
@@ -4800,11 +4800,11 @@ $(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
-$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
+$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathtextrm{Aire}(T)$.
En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
-%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
+%cohomologie de $\mathtextrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
@@ -5016,7 +5016,7 @@ où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}
$×$}}_{1}$, etc.
Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
-$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
+$\mathtextrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathtextrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
que l'on a :
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) =
@@ -5153,8 +5153,8 @@ Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}
du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction
\[
-𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part,
${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »).
@@ -5219,7 +5219,7 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
+\mathsf{C}\text{ et } \N(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}
@@ -5267,17 +5267,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
-$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
@@ -5292,7 +5292,7 @@ $$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
@@ -5351,7 +5351,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
-$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
@@ -5362,7 +5362,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
-\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
@@ -5588,7 +5588,7 @@ le foncteur des $k$-places.
Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout
$σ ∈ \Aut(L \bo k)$ stabilisant $K$, on a la formule de la moyenne :
\[
-\# \\Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
+\# \Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \Fix\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big).
\]
\end{proposition2}