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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-10 12:25:12 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-10 12:25:12 +0200
commit1302544e6fd407feb25a0d8cb6aca7b5d6784f30 (patch)
tree15ea6cb52873c09a76febeb25c9c627731972a1c /chapitres/locaux-globaux.tex
parentbe7f8c39cfe99120f4693795b0e0367bd58386ba (diff)
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[LG] relecture + suite sorites sur isomorphismes modulo les compacts
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex41
1 files changed, 31 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 864fdb0..13989bb 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2300,12 +2300,13 @@ quelconque car $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
\subsubsection{Topologie quotient}
Soient $X$ un espace topologique et $∼$ une relation d'équivalence
-sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient $X /\hspace{-.3em}∼$
+sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient ensembliste $X /\hspace{-.3em}∼$
rendant la surjection canonique $X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \emph{topologie
quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/\hspace{-.3em}∼$ est ouvert si et seulement si son image
réciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
-\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe.
+\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe, muni
+de la topologie induite.
Comme à notre habitude, on note $G/H$ le quotient de $G$ par la relation d'équivalence
$x ∼ y$ si et seulement si $x^{-1}y ∈ H$ ; sauf mention du contraire,
il est équipé de la topologie quotient. On vérifie immédiatement que l'action de $G$
@@ -2349,8 +2350,8 @@ donc disjoints.
\end{démo}
Par soucis d'économie, et comme expliqué en \refext{Cat}{exemples-basiques-categories},
-nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques », $f:G₁ → G₂$, une
-application \emph{continue} respectant la structure de groupes.
+nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques » une
+application \emph{continue} $f:G₁ → G₂$ respectant la structure de groupes.
\begin{définition2}
Soit $f:G₁ → G₂$ un morphisme de groupes topologiques.
@@ -2371,14 +2372,27 @@ soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
même groupe, muni de la topologie discrète.
-\item Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
-En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé (car le singleton l'est)
-et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte.
-(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
-est séparé.)
+\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
\end{remarques2}
+\subsubsection{}Il résulte immédiatement des définitions
+qu'un morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict si et seulement
+si pour tout sous-groupe ouvert $H₁$ de $G₁$,
+le sous-groupe $f(H₁)$ est ouvert \emph{dans $f(G₁)$}.
+Utilisant par exemple ce critère, on observe que le
+composé $g ∘ f$ de deux morphismes stricts $f$ et $g$
+est également strict lorsque $f$ est surjectif et
+lorsque $g$ est injectif.
+
+\subsubsection{}Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
+En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé, car le singleton l'est,
+donc $G₁/\Ker(f)$ est \emph{séparé}, et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte
+de sorte que $\sur{f}$ est une bijection continue entre espaces topologiques
+compacts ; c'est un homéomorphisme.
+%(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
+%est séparé.)
+
\begin{proposition2}
Le fait d'être un isomorphisme modulo les compacts est stable par composition
@@ -2386,7 +2400,14 @@ et restriction à un sous-groupe fermé.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-\XXX
+Soit $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux tels morphismes.
+Le morphisme $G₀ → \Im(f)$ déduit de $f$ est strict et surjectif.
+Pour montrer que $g ∘ f$ est strict, il suffit
+donc de vérifier que le morphisme $\Im(f) → G₂$ déduit de $G$
+est également strict, ou encore que $\Im(f) → G₁/\Ker(g)$ l'est.
+[...]
+Lemme : si $H ≤ G$ cocompact, $K ≤ G$ compact, alors $H → G/K$ est strict
+(et isom. modulo compacts).
\end{démo}
\begin{propo