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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 11:36:23 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 11:36:23 (GMT)
commit18d6452fbdcaf49dbb89914be113afb2abf646f0 (patch)
treef4fe067cd8875752fdab1c8eb4af93923b8027ac /chapitres/locaux-globaux.tex
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Merge branch 'master' of git.madore.org:galois
Conflicts: chapitres/locaux-globaux.tex
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex67
1 files changed, 47 insertions, 20 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index c50a5d0..d880836 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -111,7 +111,7 @@ de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
-vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis
+vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats établis
dans le chapitre précédent, la principale difficulté
est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
@@ -1458,7 +1458,7 @@ que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
-∑_{k ≥ 1} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
+β(t)=∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
t^{k-1},
\]
où la seconde égalité n'est autre que la définition
@@ -1468,6 +1468,8 @@ et celle de
ψ(t)=∑_{k ≥ 1} e^{-π k² t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
+(Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ?
+
\subsubsection{}
Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
@@ -1515,6 +1517,34 @@ satisfait l'équation fonctionnelle
\]
\end{théorème2}
+En particulier $ζ(-1)=\text{« }1+2+3+4+5+\cdots\text{»}=-\frac{1}{12}$ car
+$B₂=⅙$.
+
+\begin{remarque2}
+Certains auteurs considèrent plutôt $M(f,s)=Γ(s)^{-1}ζ(f,s)$ (cf. \cite[VII.2]{Elements@Colmez}).
+Supposons que $f$ n'a pas de singularités :
+elle est $𝒞^∞$ sur $𝐑_+$ (c'est-à-dire restriction d'une fonction $𝒞^∞$ sur un
+ouvert $]-ε,+∞[$, pour un $ε>0$) et à décroissance rapide à l'infini, ainsi que toutes ses dérivées.
+Dans ce cas, la fonction holomorphe $M(f,s)$, définie \emph{a priori} sur le
+demi-plan $\Re(s)>0$, se prolonge en une fonction holomorphe
+sur $𝐂$ en vertu de l'égalité
+\[
+M(f,s)=- M(f′,s+1),
+\]
+obtenue par intégration par partie.
+On en déduit que $M(f,0)=-M(f′,1)=-∫₀^{+∞} f′=f′(0)$ et, plus généralement,
+les égalités
+\[
+M(f,-k)=(-1)^k f^{(k)}(0)
+\]
+pour chaque $k ∈ 𝐍$. Hormis l'équation fonctionnelle, on retrouve les résultats
+du théorème précédent en constatant que $β(t)=\frac{1}{t}f(t)$, où
+$f(t)=\frac{t}{e^t-1}=∑_n \frac{B_n}{n!}t^n$,
+si bien que la fonction zêta de Riemann $ζ(s)=ζ(β,s)=ζ(f,s-1)$ coïncide avec
+le produit $Γ(s-1)M(f,s-1)$.
+\end{remarque2}
+
+
\begin{remarque2}
Signalons un argument élémentaire conduisant
à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de
@@ -1673,8 +1703,8 @@ complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂}
-=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
-=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
+=\frac{1}{π} ∫_{𝐑^× × [0, 2 π[} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
+=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑^×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
\]}.
À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
@@ -2035,7 +2065,7 @@ comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
-on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$.
+on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant été traité, supposons maintenant $a>0$.
Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
et la formule \ref{module=module} entraîne :
$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
@@ -2954,7 +2984,7 @@ où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert
Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$
appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$.
D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul.
-Ceci prouve déjà que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
+Ceci prouve que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe
topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}).
Pour montrer la compacité du quotient,
@@ -2980,7 +3010,7 @@ de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}
fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$.
D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul.
-Ceci prouve déjà que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
+Ceci prouve que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact,
il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$,
c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$
@@ -4149,7 +4179,7 @@ l'égalité :
Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$.
Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$
(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
-a déjà été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
+a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
n'est autre que l'ensemble
\[
L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\},
@@ -4287,22 +4317,19 @@ De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
-\begin{remarques2}
-\begin{enumerate}
-\item Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante,
-dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide.
-Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
-$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un \emph{schéma}. C'est une courbe projective lisse
-sur $𝐅_p$.
+\subsubsection{}Si l'on muni l'ensemble $Σ$ de la topologie
+de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
+en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
+vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
+$(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}.
+Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$.
\XXX
-\item Observons que les résultats de la proposition précédente ont
-déjà été obtenus en \ref{sections globales droite projective}
-dans le cas particulier d'un corps de fonctions rationnelles $𝐅_p(t)$.
+\item Les résultats de la proposition précédente ont
+été établis en \ref{sections globales droite projective}
+lorsque $K=𝐅_p(t)$.
\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
-\end{enumerate}
-\end{remarques2}
\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme