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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 18:48:21 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 18:48:21 +0100
commit1d209685744aa58644ae843dd49c85f5752f273b (patch)
tree610c40dbce07a9599bbb9067ee1ccbc32d5b7656 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] début calcul facteurs epsilon locaux
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex112
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 56292d6..149e48c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1013,7 +1013,8 @@ Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus généralement, […]
\end{proposition2}
-Cela devrait avoir un rapport avec Riemann-Hurwitz \XXX.
+Pour un extension au cas global et non nécessairement
+net, cf. \ref{Riemann-Hurwitz}.
\begin{démo}
Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
@@ -1098,7 +1099,7 @@ $ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\end{proposition2}
\subsubsection{}
-\label{dépendence Fourier local en caractère}
+\label{dépendance Fourier local en caractère}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il résulte immédiatement de (vi)
que l'on a
@@ -1135,7 +1136,8 @@ donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
-est un cas particulier du fait général suivant : le produit
+soit stable par multiplication par les caractères $ψ_a$ est
+un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante à support compact est localement constante à support
compact.
@@ -1260,7 +1262,7 @@ un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal co
Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
-que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x)$ est le signe du réel non nul $x$.
+que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
@@ -1544,8 +1546,8 @@ nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
nous nous autorisons à l'omettre des notations.
-Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
-transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
+Pour étudier la dépendance en $χ$ dans les familles $χ ω_s$
+de ces transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
@@ -1572,6 +1574,7 @@ considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
et $1$ désigne le caractère multiplicatif trivial.
\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
+\label{Mellin local archimédien}
Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
Les gaussiennes
\[
@@ -1689,9 +1692,9 @@ rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
(Rappelons que la notation sous-entend que
la caractère additif $ψ$ utilisé est de niveau nul.)
-Généralement attribuée à Margaret Matchett (thèse « On the Zeta Function for
+Généralement attribuée à Margaret \textsc{Matchett} (thèse « On the Zeta Function for
Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
-— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
+— due indépendamment à \textsc{Iwasawa} Kenkiti et John \textsc{Tate} — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
\end{remarque2}
@@ -1766,8 +1769,9 @@ Alors, on a l'égalité :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
-où l'on a noté pour simplifier $ζ$ (resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ζ_ψ$, etc.).
-Le terme de gauche se réécrit
+où l'on note pour simplifier— et ce jusqu'à la fin de la démonstration — $ζ$
+(resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ℱ_ψ(f)$, etc.).
+En effet, le terme de gauche se réécrit
\[
∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
{μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
@@ -1870,11 +1874,90 @@ de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.
+\subsection{Facteurs $ε$}
+
\subsubsection{}
-\XXX
+\label{définition fonction L locale}
+Soit $χ=χ₁ ω_s$ comme en \ref{description quasi-caractères}.
+Posons
+\[L(χ)=
+\begin{cases}
+\displaystyle ζ_K(s) & \text{si } K \text{ est archimédien}\\
+\displaystyle \frac{1}{1-χ(ϖ)} & \text{si } K \text{ est ultramétrique et }χ \text{ net}\\
+\displaystyle 1 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+% Deligne, §3.2
+Il résulte des calculs effectués en \ref{Mellin local archimédien} et \ref{Matchett}
+que l'on a $L(χ)=ζ_ψ(g,χ)$, où $ψ$ est de niveau nul
+et $g$ est une gaussienne ou bien la fonction caractéristique
+de l'anneau des entiers. Sauf si $K$ est ultramétrique et $χ$
+ramifié : remplacer $ζ_ψ(g,χ)=0$ par $1$.
+(Voir \cite[§23.2]{Bushnell-Henniart} pour une interprétation
+plus conceptuelle dans le cas ultramétrique.)
+Il est naturel de considérer pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.
+
+\subsubsection{}
+\label{définition facteur epsilon local}
+D'après \ref{prolongement méromorphe et équation
+fonctionnelle cas local}, il existe un « \emph{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
+indépendant de $f$, tel que l'on ait :
\[
-γ(χ,s)=?
+ε_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
\]
+D'après \emph{loc. cit.}, on a $ε_ψ(χ)=γ_ψ(χ)×\frac{L(χ)}{L(\chap{χ})}
+∈ 𝐂^×$. Les deux formules suivantes résultent respectivement
+de \ref{dépendance Fourier local en caractère}
+et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
+% détailler ? \XXX
+
+\begin{proposition2}
+Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un caractère multiplicatif.
+\begin{enumerate}
+\item Pour tout $a ∈ K^×$, $ε_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-½}ε_ψ(χ)$.
+\item \label{epsilonepsilon} $ε_ψ(χ) ε_ψ(\chap{χ})=χ(-1)$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Notons que les mêmes formules sont valables pour le facteur $γ$.
+D'après (i), la détermination de ces facteurs se ramène au cas particulier où le caractère
+additif $ψ$ est fixé.
+
+\subsubsection{Formulaire archimédien}
+
+Si $K$ est réel ou complexe, et $χ=χ₁ ω_s$
+comme ci-dessus où $χ₁:x↦ x^{-a}$, on a :
+\[
+ε_{𝐞_K}(χ)=i^a.
+\]
+Vérifions-le brièvement dans le cas réel.
+Le cas complexe est laissé en exercice au lecteur
+(cf. \cite[§2.5]{Fourier@Tate}).
+Pour $a=0$, c'est une trivialité : on applique
+la définition \ref{définition facteur epsilon local}
+lorsque $f$ est la gaussienne $g_𝐑$ (invariante par Fourier).
+Le cas $a=1$ se ramène au cas précédent : considérer la dérivée
+de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier échange
+dérivation et multiplication par $i$.
+
+\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
+Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
+\[
+ε_ψ(χ)=1.
+\]
+En effet, $ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=𝟭_𝒪$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_𝒪),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
+et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_𝒪,χ)=L(χ)$.
+Lorsque $χ$ est ramifié, de conducteur $c$, on a :
+\[
+ε_ψ(χ)=χ(ϖ)^c 𝔤(χ,ψ),
+\]
+où $𝔤(χ,ψ)$ est la \emph{somme de Gauß}
+\[
+...
+\]
+cf. Kudla p. 124 et Deligne, 3.4.3.2.
+
\subsection{Fonctorialité}
@@ -3107,7 +3190,7 @@ si l'on considère la fonction
\]
Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$.
-D'après \ref{dépendence Fourier local en caractère},
+D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer
l'égalité
\[
@@ -3340,7 +3423,7 @@ $ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale
(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}).
-Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
+Méthode \textsc{Iwasawa-Tate} (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
@@ -3676,6 +3759,7 @@ comme annoncé.
\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}
\begin{théorème2}
+\label{Riemann-Hurwitz}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}