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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 15:24:03 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 15:24:03 (GMT)
commit1d6eccb7d569f90d4d38c42c860c9881cb8b6992 (patch)
treec84f8f9f6f1c36a612677e14ff287ab9a9878147 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] début réécriture K_A tens L = L_A via argument moins ad hoc
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex79
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index a7d9606..c28e533 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2104,6 +2104,8 @@ De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
+Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
+l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \emph{anneau des entiers} de $K$.
\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
@@ -2127,7 +2129,7 @@ nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$
où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.
-Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_K(Σ)=𝐙$.
+Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
@@ -2310,20 +2312,24 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
\begin{proposition2}
\label{fonctorialité et clôture intégrale}
-Soient $K$ un corps global, $U$ un ouvert dense de $K$, $L \bo K$
-une extension finie et $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
-L'anneau $𝒪_K(U)$ est \emph{normal} et
-l'anneau $𝒪_L(V)$ en est la clôture intégrale dans $L$.
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
+\begin{enumerate}
+\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal. C'est un anneau de
+Dedekind de corps des fractions $K$ sauf si celui-ci est de
+caractéristique $>0$ et $U=Σ(K)$.
+\item Pour toute extension finie $L \bo K$, et si $V$
+désigne l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$,
+l'anneau $𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
+C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
+\item Si de plus $U$ est suffisamment petit,
+$𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
-On montrera plus tard (\ref{RR implique Dedekind de type fini}) que l'anneau $𝒪_K(U)$
-est, sauf exception, un anneau de Dedekind de corps
-des fractions $K$.
-
\begin{démo}
-Notons $A=𝒪_K(U)$, $B=𝒪_L(V)$ et considérons la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
+(ii) Notons $A=𝒪_K(U)$, $B=𝒪_L(V)$ et considérons la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
@@ -2338,19 +2344,29 @@ de l'exposant caractéristique de $K$ (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et con
Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $β ↦ |g(β)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$
-et, finalement, $B=B′$. La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
-$A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
-
-\end{démo}
-
-\begin{remarque2}
-\label{normalise dans étale donc fini}
+et, finalement, $B=B′$.
Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
que l'anneau $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
-Ce résultat de finitude est encore vrai lorsque $L\bo K$ est une extension finie
-quelconque car $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
-(cf. \ref{RR implique Dedekind de type fini}).
-\end{remarque2}
+Dans le cas non nécessairement étale (cas des corps de fonctions),
+cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
+(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
+\refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}.
+
+(i) La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
+c'est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
+Si $K$ est un corps de fonctions, le reste de l'énoncé sera
+démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}. Si $K$ est
+un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
+de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$. \XXX
+Dedekind \XXX.
+
+(iii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
+Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.
+L'injection $𝒪_K(U)^d → 𝒪_L(V)$ déduite des $α_i$ devient
+un isomorphisme sur $K$, donc — puisque c'est un morphisme
+entre modules de type fini sur $𝒪_K(U)$ — après inversion d'un élément $a$
+de $𝒪_K(U)$. Quitte à rétrécir encore $U$, on peut supposer que $a ∈ 𝒪_K(U)^×$.
+\end{démo}
\section{Adèles, idèles}
@@ -2730,14 +2746,31 @@ pour un unique $a ∈ L_𝐀$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
+Soit $d=[L:K]$. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$,
+d'image inverse $V$ dans $L$ et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(V)$
+tels que $𝒪_L(V)=𝒪_K(U) α₁ + \cdots + 𝒪_K(U) α_d$ et $\Frac 𝒪_K(U)=K$.
+[...]
+
+ \[⁂\]
+
Cas d'une extension étale. Pour chaque place $s$ de $K$, notons $ι_s$
le plongement diagonal de $K_s$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$.
Rappelons (\refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion})
que pour chaque place $s$ de $K$, le morphisme $K_s ⊗_K L → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$
déduit de $ι_s$ est un isomorphisme. En d'autres termes,
si $α₁,…,α_n$ est une base de $L$ sur $K$,
-il en est ainsi de l'application $K_s^n → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$,
-$(λ_i)↦ ∑_i ι_s(λ_i) α_i$.
+l'application $K_s$-linéaire $K_s^n → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$,
+$(λ_i)↦ ∑_i ι_s(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
+Soit $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ un ouvert dense de $K$, d'image inverse $V$
+dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(L)$, tel que les $α_i$ appartiennent
+à $𝒪_L(V)$, $\Frac 𝒪_K(U)=K$ et $\Frac 𝒪_L(V)=L$
+(\ref{normes fonction presque toutes petites}, \ref{fonctorialité et clôture intégrale}
+et \ref{RR implique Dedekind de type fini}).
+Le morphisme injectif $𝒪_K(U)^n → 𝒪_L(V)$ qui s'en déduit
+est un isomorphisme sur $\Frac 𝒪_K(U)$. Quitte à restreindre $U$,
+on peut supposer que c'est un isomorphisme.
+
+
Pour démontrer le premier point, il suffit de montrer
que si l'on note $A_s$ l'anneau des $s$-entiers de $K$
et $B_{s′}$ celui des $s′$-entiers de $L$