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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3392,16 +3392,38 @@ D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
 \begin{proposition2}
 Le groupe des quasi-caractères des classes d'idèles $C_K$ est un groupe de Lie
 complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
-le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙 ≃ 𝐂^×$ dans le cas
+le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙$ dans le cas
 d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
 est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C_K^{=1}$.
 Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
 \emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$ pour toute classe $ι ∈ C_K$.
 \end{proposition2}
 
-On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).
-Comme en \ref{notation quasi-caractère dual}, on note $\chap{χ}$
-le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.
+\subsubsection{}Le groupe topologique $𝐂/𝐙$ est bien entendu
+isomorphe, par l'exponentielle, au plan complexe épointé $𝐂^×$.
+Comme dans le cas local (\ref{notation quasi-caractère dual}), l'ensemble des quasi-caractères est équipé
+d'une involution $χ↦  \chap{χ}=χ^{-1} ω₁$, où $ω_σ=|⋅|^σ$.
+
+\subsubsection{}
+\label{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}
+On note $σ=\Re(χ)$ le réel défini ci-dessus, appelé
+\textbf{partie réelle} du quasi-caractère $χ$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).
+Voyons son rapport avec la définition locale. La donnée du quasi-caractère $χ$ est équivalente à celle d'une
+famille $χ_x : K_x^× → 𝐂^×$ de quasi-caractères locaux satisfaisant les
+conditions suivantes :
+
+— $χ_x$ est \emph{net} pour presque tout $x$ ;
+
+— $∏_x χ_x(λ_x)=1$ pour chaque $λ ∈ K^×$.
+
+Pour chaque place $x$, le quasi-caractère local $χ_x$
+n'est autre que le morphisme envoyant $a_x ∈ K_x^×$
+sur $χ(\gtilde{a_x})$, où l'idèle $\gtilde{a_x}$
+a toutes ses composantes égales à $1$ sauf celle en $x$,
+qui est $a_x$.
+Comme $|\gtilde{a_x}|=|a_x|_x$ et $|χ(a)|=|a|^σ$
+(par définition), on en déduite que les parties
+réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$.
 
 
 \subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX
@@ -4653,6 +4675,7 @@ et les zéros de $ζ$.
 \subsection{Exemples}
 
 \subsubsection{Corps des rationnels}
+\label{exemple zêta rationnels}
 La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
 zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}
 \[
@@ -4711,6 +4734,7 @@ En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
 \end{exercice2}
 
 \subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
+\label{exemple zêta fonctions}
 Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a
 \[
 ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1},
@@ -4818,14 +4842,11 @@ $ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}).
 Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit
 que la mesure de Haar multiplicative globale
 produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
-est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$.
-%Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale
-%n'est pas canonique, contrairement à la décomposition
-%de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique.
-On a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
-
-\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f$ une
-fonction sur $K_𝐀$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$. Pour chaque signe de
+est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$
+et on a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
+
+\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$
+(\ref{quasi-caractères globaux}). Pour chaque signe de
 comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$ tels que
 $|ι| ? 1$ et $c$ la fonction continue $K^×_𝐀 → 𝐑$ valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$,
 $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
@@ -4850,30 +4871,86 @@ de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrabl
 de $K^{×, =1}_𝐀$.
 
 \subsubsection{Convergence}
-Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et vérifions
-la convergence absolue de l'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$
-pour $\Re(s)>1$. Par définition, la transformée de Mellin est,
-sous réserve de convergence, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$
-des transformées de Mellin locales définies en \ref{fonction zêta locale}.
-[...]
-
-comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
-Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10.
-La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
-sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.
-
-\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
+Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
+(\emph{A fortiori}, il en sera ainsi des deux transformées de Mellin tronquées.)
+Par définition de la mesure idélique, on a — sous réserve de convergence
+du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$.
+Or, quitte à décomposer $f$ en une somme finie, il existe un ouvert dense $U$ tel que, pour chaque $x ∈ U$, on ait :
+\begin{enumerate}
+\item $f_x=𝟭_{𝒪_{K,x}}$ (cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) ;
+\item $ψ_x$ est de niveau nul (cf. \ref{dual des classes de adèles}) ;
+\item $χ_x$ est net (cf. \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}).
+\end{enumerate}
+Pour un tel $x$, la transformée de Mellin locale $ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$
+(définie en \ref{fonction zêta locale}) est égale à
+${(1-χ_x(ϖ_x)|ϖ_x|_x^s)^{-1}}$ (\ref{Matchett}), où $ϖ_x$ est une uniformisante
+de $K_x$. (On rappelle que $|ϖ_x|_x=1/q_x$ où $q_x$ est le cardinal du corps résiduel.)
+Pour $x ∉ U$, les autres facteurs locaux sont homolomorphes
+pour $\Re(s)>-\Re(χ)$ (cf. \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}, (i)
+et \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}).
+Comme d'autre part $|χ_x(ϖ_x)|=q_x^{-\Re(χ)}$, il suffit finalement
+de montrer la convergence absolue pour $σ>1$ du produit ${∏_{x ∈ U}(1-q_x^{-σ})^{-1}}$,
+ce qui revient à montrer la convergence
+absolue du produit eulérien définissant $ζ_K(s)$ dans ce domaine.
+À nouveau, nous procédons par réduction au cas d'un corps global premier.
+Choisissons un plongement de $𝐐$ ou $𝐤=𝐅_p(t)$ dans $K$ ;
+le morphisme induit sur l'ensemble des places est à fibres
+de cardinaux majorés par le degré $d$ de l'extension et,
+si une place $x$ de $K$ s'envoie sur $y$, on a $q_x ≥ q_y$.
+Il en résulte que $ζ_K(s)$ est majorée respectivement
+par $ζ_𝐐(s)^d$ ou $ζ_𝐤(s)^d$. On a vu précédemment
+(\ref{exemple zêta rationnels}, \ref{exemple zêta fonctions})
+que les produits eulériens définissant $ζ_𝐐$ et $ζ_𝐤$ convergent
+absolument si $\Re(s)>1$. Ceci démontre la convergence et l'holomorphie de $ζ(f,χ,s)$.
+
+Il en résulte formellement que la transformée de Mellin \emph{tronquée} $ζ_{≥
+1}(f,χ,s)$ est convergente et \emph{entière} (c'est-à-dire holomorphe
+sur $𝐂$ entier). En effet, sur $K^{×, ≥ 1}_𝐀$, plus $\Re(s)$ est petit,
+$ω_s$ est petit.
+
+\subsubsection{}
+Notons $\dot{f}$ la fonction $ι↦ ∑_{λ ∈ K} f(λ ι)=f(0)+∑_{λ ∈ K^×} f(λ ι)$ sur
+les classes d'idèles $C_K=K^×_𝐀/K^×$ et $\dot{μ}^{\mbox{\minus
+$×$}}_{\japmath{玉}}$ l'unique mesure de Haar sur les
+classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus
+$×$}}_{\japmath{玉}}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ (cf. \ref{module et
+mesure quotients}). Les fonctions $χ,ω_s$ et $c$ étant invariantes par
+multiplication par $λ ∈ K^×$, on a l'égalité
+\[
+ζ_{≤1}(f,χ,s) = \dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s) - f(0) \dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s),
+\]
+où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}^{\mbox{\minus
+$×$}}_{\japmath{玉}}$, etc.
+Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
+adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
+$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
+que l'on a :
+\[
+ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) =
+ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s).
+\]
+
+Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$ est une fonction
+entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥
+1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction
+méromorphe. Il résulte le fait remarquable que
+$ζ_{≤1}(f,χ,s)$ \emph{a priori} holomorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
+s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.
+
+\subsubsection{Calcul de $\dot{ζ}_{? 1}(1,χ,s)$, $? ∈ \{≤, ≥ \}$}
 \label{calcul zeta1khis}
-[JE ME SUIS EMBROUILLÉ : c'est pas $ζ$ mais une intégrale sur un quotient
-que l'on calcul ici] \XXX
+Compte tenu de la formule
+\[
+\dot{ζ}_{ ≥ 1}(1,χ,s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,χ^{-1},-s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,\chap{χ},1-s),
+\]
+qui résulte d'un changement de variable $ι′=ι^{-1}$, il suffit de calculer
+$\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$.
 
-Lorsque $f$ est la fonction constante de valeur $1$
-et $χ$ est le quasi-caractère trivial, l'intégrale
-définissant la transformée de Mellin « inférieure »
-converge pour $\Re(s)>0$ et on a l'égalité :
+Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici $1$),
+on a convergence pour $\Re(s)>0$ et égalité :
 \[
 \begin{array}{rcll}
-ζ_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
 & = & \frac{μ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}}  & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} 
 \end{array}
 \]
@@ -4890,56 +4967,35 @@ ou la somme
 \[
 μ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
 \]
-%% cf. mesure de comptage sur le quotient.
+Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$,
+il est de la forme $ω_τ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par
+translation (en $s$).
+ 
+Lorsque $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)=0$.
+C'est une incarnation de l'orthogonalité des caractères que l'on démontre
+en effectuant le changement de variable $ι′= xι$, pour un $x$ dans  $K^{×,=1}_𝐀$
+tel que $χ(x) ≠ 1$. 
 
-(Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
-comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
-$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈  K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
-caractères).)
 
-\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
-D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
-Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
-sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι)$
-sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
-(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
-En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
-\[
-\begin{array}{rcl}
-ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = &  \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι)  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι) \\
- & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}.
-\end{array}
-\]
-D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
-on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
-\[
-ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) =
-ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
-\]
-Le terme de droite étant une fonction méromorphe,
-il résulte de cette égalité que le terme de gauche,
-\emph{a priori} méromorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
-s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.
-Ces extensions sont notées de la même façon.
 
 \subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$
 est égale à
 \[
 \big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
-\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
-\]
-où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus,
-apparaît seulement si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
+\big(ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s)-f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)\big)
+\]
+où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$,
+auquel cas ses pôles sont explicites.
+On vérifie immédiatement qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
+%En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé
+%en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or,
+%$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
+%et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.
 Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$,
 que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème
 local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.
 
-\subsubsection{}
-Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
-En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé
-en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or,
-$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
-et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.
+			\[⁂\]
 
 \begin{théorème2}
 \label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}