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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 003794c..a5b07c2 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3392,16 +3392,38 @@ D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et \begin{proposition2} Le groupe des quasi-caractères des classes d'idèles $C_K$ est un groupe de Lie complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans -le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙 ≃ 𝐂^×$ dans le cas +le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙$ dans le cas d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C_K^{=1}$. Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un \emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$ pour toute classe $ι ∈ C_K$. \end{proposition2} -On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}). -Comme en \ref{notation quasi-caractère dual}, on note $\chap{χ}$ -le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$. +\subsubsection{}Le groupe topologique $𝐂/𝐙$ est bien entendu +isomorphe, par l'exponentielle, au plan complexe épointé $𝐂^×$. +Comme dans le cas local (\ref{notation quasi-caractère dual}), l'ensemble des quasi-caractères est équipé +d'une involution $χ↦ \chap{χ}=χ^{-1} ω₁$, où $ω_σ=|⋅|^σ$. + +\subsubsection{} +\label{décomposition et partie réelle quasi-caractère global} +On note $σ=\Re(χ)$ le réel défini ci-dessus, appelé +\textbf{partie réelle} du quasi-caractère $χ$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}). +Voyons son rapport avec la définition locale. La donnée du quasi-caractère $χ$ est équivalente à celle d'une +famille $χ_x : K_x^× → 𝐂^×$ de quasi-caractères locaux satisfaisant les +conditions suivantes : + +— $χ_x$ est \emph{net} pour presque tout $x$ ; + +— $∏_x χ_x(λ_x)=1$ pour chaque $λ ∈ K^×$. + +Pour chaque place $x$, le quasi-caractère local $χ_x$ +n'est autre que le morphisme envoyant $a_x ∈ K_x^×$ +sur $χ(\gtilde{a_x})$, où l'idèle $\gtilde{a_x}$ +a toutes ses composantes égales à $1$ sauf celle en $x$, +qui est $a_x$. +Comme $|\gtilde{a_x}|=|a_x|_x$ et $|χ(a)|=|a|^σ$ +(par définition), on en déduite que les parties +réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$. \subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX @@ -4653,6 +4675,7 @@ et les zéros de $ζ$. \subsection{Exemples} \subsubsection{Corps des rationnels} +\label{exemple zêta rationnels} La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann} \[ @@ -4711,6 +4734,7 @@ En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$. \end{exercice2} \subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles} +\label{exemple zêta fonctions} Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a \[ ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1}, @@ -4818,14 +4842,11 @@ $ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}). Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit que la mesure de Haar multiplicative globale produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ -est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$. -%Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale -%n'est pas canonique, contrairement à la décomposition -%de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique. -On a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ - -\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f$ une -fonction sur $K_𝐀$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$. Pour chaque signe de +est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ +et on a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$. + +\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$ +(\ref{quasi-caractères globaux}). Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$ tels que $|ι| ? 1$ et $c$ la fonction continue $K^×_𝐀 → 𝐑$ valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$. @@ -4850,30 +4871,86 @@ de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrabl de $K^{×, =1}_𝐀$. \subsubsection{Convergence} -Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et vérifions -la convergence absolue de l'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ -pour $\Re(s)>1$. Par définition, la transformée de Mellin est, -sous réserve de convergence, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$ -des transformées de Mellin locales définies en \ref{fonction zêta locale}. -[...] - -comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via -Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10. -La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe -sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est. - -\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$} +Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. +(\emph{A fortiori}, il en sera ainsi des deux transformées de Mellin tronquées.) +Par définition de la mesure idélique, on a — sous réserve de convergence +du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$. +Or, quitte à décomposer $f$ en une somme finie, il existe un ouvert dense $U$ tel que, pour chaque $x ∈ U$, on ait : +\begin{enumerate} +\item $f_x=𝟭_{𝒪_{K,x}}$ (cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) ; +\item $ψ_x$ est de niveau nul (cf. \ref{dual des classes de adèles}) ; +\item $χ_x$ est net (cf. \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}). +\end{enumerate} +Pour un tel $x$, la transformée de Mellin locale $ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$ +(définie en \ref{fonction zêta locale}) est égale à +${(1-χ_x(ϖ_x)|ϖ_x|_x^s)^{-1}}$ (\ref{Matchett}), où $ϖ_x$ est une uniformisante +de $K_x$. (On rappelle que $|ϖ_x|_x=1/q_x$ où $q_x$ est le cardinal du corps résiduel.) +Pour $x ∉ U$, les autres facteurs locaux sont homolomorphes +pour $\Re(s)>-\Re(χ)$ (cf. \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}, (i) +et \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}). +Comme d'autre part $|χ_x(ϖ_x)|=q_x^{-\Re(χ)}$, il suffit finalement +de montrer la convergence absolue pour $σ>1$ du produit ${∏_{x ∈ U}(1-q_x^{-σ})^{-1}}$, +ce qui revient à montrer la convergence +absolue du produit eulérien définissant $ζ_K(s)$ dans ce domaine. +À nouveau, nous procédons par réduction au cas d'un corps global premier. +Choisissons un plongement de $𝐐$ ou $𝐤=𝐅_p(t)$ dans $K$ ; +le morphisme induit sur l'ensemble des places est à fibres +de cardinaux majorés par le degré $d$ de l'extension et, +si une place $x$ de $K$ s'envoie sur $y$, on a $q_x ≥ q_y$. +Il en résulte que $ζ_K(s)$ est majorée respectivement +par $ζ_𝐐(s)^d$ ou $ζ_𝐤(s)^d$. On a vu précédemment +(\ref{exemple zêta rationnels}, \ref{exemple zêta fonctions}) +que les produits eulériens définissant $ζ_𝐐$ et $ζ_𝐤$ convergent +absolument si $\Re(s)>1$. Ceci démontre la convergence et l'holomorphie de $ζ(f,χ,s)$. + +Il en résulte formellement que la transformée de Mellin \emph{tronquée} $ζ_{≥ +1}(f,χ,s)$ est convergente et \emph{entière} (c'est-à-dire holomorphe +sur $𝐂$ entier). En effet, sur $K^{×, ≥ 1}_𝐀$, plus $\Re(s)$ est petit, +$ω_s$ est petit. + +\subsubsection{} +Notons $\dot{f}$ la fonction $ι↦ ∑_{λ ∈ K} f(λ ι)=f(0)+∑_{λ ∈ K^×} f(λ ι)$ sur +les classes d'idèles $C_K=K^×_𝐀/K^×$ et $\dot{μ}^{\mbox{\minus +$×$}}_{\japmath{玉}}$ l'unique mesure de Haar sur les +classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus +$×$}}_{\japmath{玉}}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ (cf. \ref{module et +mesure quotients}). Les fonctions $χ,ω_s$ et $c$ étant invariantes par +multiplication par $λ ∈ K^×$, on a l'égalité +\[ +ζ_{≤1}(f,χ,s) = \dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s) - f(0) \dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s), +\] +où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}^{\mbox{\minus +$×$}}_{\japmath{玉}}$, etc. +Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier +adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule +$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$, +que l'on a : +\[ +ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) = +ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s). +\] + +Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$ est une fonction +entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥ +1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction +méromorphe. Il résulte le fait remarquable que +$ζ_{≤1}(f,χ,s)$ \emph{a priori} holomorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$, +s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$. + +\subsubsection{Calcul de $\dot{ζ}_{? 1}(1,χ,s)$, $? ∈ \{≤, ≥ \}$} \label{calcul zeta1khis} -[JE ME SUIS EMBROUILLÉ : c'est pas $ζ$ mais une intégrale sur un quotient -que l'on calcul ici] \XXX +Compte tenu de la formule +\[ +\dot{ζ}_{ ≥ 1}(1,χ,s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,χ^{-1},-s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,\chap{χ},1-s), +\] +qui résulte d'un changement de variable $ι′=ι^{-1}$, il suffit de calculer +$\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$. -Lorsque $f$ est la fonction constante de valeur $1$ -et $χ$ est le quasi-caractère trivial, l'intégrale -définissant la transformée de Mellin « inférieure » -converge pour $\Re(s)>0$ et on a l'égalité : +Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici $1$), +on a convergence pour $\Re(s)>0$ et égalité : \[ \begin{array}{rcll} -ζ_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ +\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\ & = & \frac{μ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} \end{array} \] @@ -4890,56 +4967,35 @@ ou la somme \[ μ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big). \] -%% cf. mesure de comptage sur le quotient. +Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, +il est de la forme $ω_τ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par +translation (en $s$). + +Lorsque $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)=0$. +C'est une incarnation de l'orthogonalité des caractères que l'on démontre +en effectuant le changement de variable $ι′= xι$, pour un $x$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ +tel que $χ(x) ≠ 1$. -(Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$ -comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où -$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des -caractères).) -\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$. -D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$. -Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme -sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι)$ -sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$ -(\ref{mesure quotient par groupe discret}). -En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc -\[ -\begin{array}{rcl} -ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι) \\ - & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}. -\end{array} -\] -D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch}, -on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$, -\[ -ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) = -ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s). -\] -Le terme de droite étant une fonction méromorphe, -il résulte de cette égalité que le terme de gauche, -\emph{a priori} méromorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$, -s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$. -Ces extensions sont notées de la même façon. \subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ est égale à \[ \big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+ -\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)\big) -\] -où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus, -apparaît seulement si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$. +\big(ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s)-f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)\big) +\] +où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$, +auquel cas ses pôles sont explicites. +On vérifie immédiatement qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$. +%En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé +%en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or, +%$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$ +%et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative. Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$, que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}. -\subsubsection{} -Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$. -En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé -en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or, -$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$ -et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative. + \[⁂\] \begin{théorème2} \label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} |