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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-18 17:30:04 +0100
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[LG] 岩沢-Tate (fin esquisse)
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+% vim: textwidth=80
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\usepackage{palatino,euler}
@@ -1244,7 +1245,21 @@ homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat. % références ?
\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+\label{quasi-caractères Rplusétoile}
+Les quasi-caractères de $𝐑_{>0}$ sont de la forme $t↦ t^s$,
+pour un unique $s ∈ 𝐂$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+\label{quasi-caractères Z}
+Soit $r>0$. Les quasi-caractères de $r^𝐙$ sont de la forme
+$t↦ t^s$, où $s ∈ 𝐂$ est bien défini modulo $2 π i / \log(r)$.
+\end{lemme2}
+
\begin{définition2}
+\label{partie réelle quasi-caractère local}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
@@ -2139,8 +2154,8 @@ compact ou commutatif}).
\subsection{Idèles}
-\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $K^×_𝐀$ ; $I_K¹$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
-$I^∞_K=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
+\subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
+$K^{×,∞}_𝐀=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
☡ $C_K$ n'est *pas* compact. \XXX Utiliser d'autres notations :
$K^×_𝐀$ etc.
@@ -2153,8 +2168,8 @@ Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1
\begin{proposition2}
\label{topologies induites coincident}
-Les topologies induites sur $I¹_K$ par les inclusions
-$I¹_K ⊆ K^×_𝐀$ et $I¹_K ⊆ K_𝐀$ coïncident. Plus précisément, …
+Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀$ par les inclusions
+$K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident. Plus précisément, …
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -2165,7 +2180,7 @@ Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
-\item L'inclusion canonique $K^× → I¹_K$, où $K^×$ est muni de la
+\item L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient les places infinies,
l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
@@ -2175,8 +2190,8 @@ l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nul
\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
-(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
-la topologie de $I¹_K$ induite
+(i). $K^×$ est discret dans $K^{×,=1}_𝐀$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
+la topologie de $K^{×,=1}_𝐀$ induite
$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer
que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
de $K_𝐀/K$ et le lemme \ref{topologies induites coincident}.
@@ -2216,6 +2231,45 @@ F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}
+\begin{théorème2}
+Soit $K$ un corps global.
+La norme $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ se factorise à travers le
+quotient $C_K$ et induit un isomorphisme
+\[
+C_K ∕ C¹_K ⥲ 𝐑_{>0} (\text{resp. } q^𝐙)
+\]
+si $K$ est un corps de nombres (resp. un corps de
+fonctions).
+Dans le premier cas, on dispose d'une section
+\emph{canonique}.
+\end{théorème2}
+
+Le fait que l'on tombe sur $q^𝐙$ et pas $q^{n 𝐙}$,
+c'est-à-dire qu'il existe un diviseur de degré $1$, est non
+trivial. (Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
+
+\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
+\label{quasi-caractères globaux}
+D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
+\ref{quasi-caractères Z}, on a :
+
+\begin{proposition2}
+Le groupe des quasi-caractères de $C_K$ est un groupe de Lie
+complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
+le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙 ≃ 𝐂^×$ dans le cas
+d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
+est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C¹_K$.
+Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
+\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$.
+\end{proposition2}
+
+On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}.
+
+\subsubsection{Caractères de Hecke}
+
+\XXX
+
+
\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
@@ -2263,12 +2317,12 @@ C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.
\subsubsection{}
\label{définition Pic}
On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
-Comme $K^×_𝐀/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
+Comme $K^×_𝐀/K^{×,∞}_𝐀=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
-C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
+C_K/\sur{K}^{×,∞}_𝐀 ⥲ \Pic_K
\]
-où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$.
+où $\sur{K}^{×,∞}_𝐀$ désigne l'image de $K^{×,∞}_𝐀$ dans $C_K$.
[notation : $K^×_{𝐀}(∞)$ ? \XXX]
Définir $\div(\text{idèle})$.
@@ -2281,7 +2335,7 @@ Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.
\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
-Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{I}^∞_K= I^∞_K∖I¹_K/K^×$.
+Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{K}^{×,∞}_𝐀= K^{×,∞}_𝐀∖K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
@@ -2293,9 +2347,9 @@ et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …
\begin{théorème2}
\XXX
-\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ I^1_K/K^×\]
+\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ K^{×,=1}_𝐀/K^×\]
et
-\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ I¹_K / I^∞_K.\]
+\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ K^{×,=1}_𝐀 / K^{×,∞}_𝐀.\]
\end{théorème2}
\begin{démo}
@@ -2667,10 +2721,10 @@ aux mesures auto-duales $μ_{ψ_x}$. Alors, $μ_ψ(K_𝐀/K)=1$.
∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
-Pour tout idèle $i$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
+Pour tout idèle $ι$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
on a :
\[
-∑_{λ ∈ K} f( λ i )=\frac{1}{|i|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /i).
+∑_{λ ∈ K} f( λ ι )=\frac{1}{|ι|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /ι).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -2851,11 +2905,11 @@ l'égalité :
= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}} \big)
= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}}.
\]
-Pour tout idèle $i ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
+Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
\[
-∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ i)=\# \big( K ∩ i^{-1}𝒪_𝐀\big).
+∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀\big).
\]
-Soit $𝔞=\div(i)$. L'intersection $K ∩ i^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
+Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
(Noter le signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
@@ -2868,15 +2922,15 @@ De même,
\]
Appliquant la formule \ref{Poisson-Riemann-Roch} du théorème \ref{Fourier adélique}
-à la fonction $𝟭$ et à l'idèle $i$ et constatant que
-$|i|=q^{-\deg(i)}=q^{-\deg(𝔞)}$, on obtient
+à la fonction $𝟭$ et à l'idèle $ι$ et constatant que
+$|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, on obtient
l'égalité
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]
Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$ étant
-de la forme $\div(i)$ pour un adèle $i ∈ K^×_𝐀$,
+de la forme $\div(ι)$ pour un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorème fondamental suivant.
\begin{théorème2}[Riemann-Roch]
@@ -2988,7 +3042,7 @@ théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(I¹_K/K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
+μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
sinon
\[
@@ -3178,7 +3232,7 @@ $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=
Objectif : démontrer le théorème suivant.
\begin{théorème2}
-La fonction $ζ_K$ Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
+La fonction $ζ_K$ converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
@@ -3186,57 +3240,120 @@ $ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
égal à … ou $-h_K/(1-q)$.
\end{théorème2}
+Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale
+(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}).
Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
\subsubsection{Esquisse}
-Soit $K^{×, ≤1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $i$ tels que $|i| ≤ 1$
-et soit $χ$ un caractère idélique trivial sur $K^×$.
-Fixons un caractère adélique $ψ$ trivial sur $K$.
+Pour chaque $? ∈ \{<,≤,=, ≥,>\}$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
+tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un caractère idélique trivial sur $K^×$,
+$ψ$ un caractère adélique trivial sur $K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
+la fonction valant $1$ sur $K^{×, <1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, ≥1}_𝐀$
+et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
Posons
\[
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
-\]
-où [...],
-et de même pour $ζ_{ψ, ≥ 1}$. Cela converge lorsque $f…$ \XXX.
-Soit $D_{≤ 1}$ un domaine fondamental pour l'action de $k^×$
-sur $K^{×, ≤1}_𝐀$.
-Cette transformée de Mellin tronquée (demi-? \XXX)
-est égale à la somme $∑_{λ ∈ K^×} ∫_{D_{≤ 1}} f(λ i) χ(i)
-|i|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$, que l'on peut réécrire :
-\[
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)
-= ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ i) \big) χω_s (i) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
-- f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} χω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+\]
+Notons que \emph{lorsque $K$ est un corps de nombres},
+l'introduction du facteur correctif $c$ est inutile car
+la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
+de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
+de $K^{×, =1}_𝐀$. Cette intégrale définit une fonction holomorphe
+sur $\Re(s)>-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+De même, posons
+\[
+ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≥1}_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+\]
+La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
+D'autre part, on a $c(i^{-1})=1-c(i)$ pour chaque $i$.
+Soit $D_{≤ 1}$ un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
+(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
+Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
+$∑_{λ ∈ K^×} ∫_{D_{≤ 1}} f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$,
+que l'on peut réécrire :
+\[
+\begin{array}{rcl}
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K=K^× ∪ \{0\}} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} \\
+ & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+\end{array}
\]
D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
-on a donc, suite à un changement de variable $i ↔ i^{-1}$,
+on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
\[
ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) =
ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\check{χ},1-s).
\]
-Si $χ$ est trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=
-\frac{C}{s}$ où $C=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$.
-Sinon, $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$. (Orthogonalité des caractères.)
+Il résulte de cette égalité — \emph{a priori} valable dans la bande
+$\{s:\Re(s)>-\Re(χ)\} ∩ \{s: \Re(1-s)>-\Re(\check{χ})\}$ —
+que le terme de droite et le terme de gauche s'étendent
+en des fonctions méromorphes sur $𝐂$.
-En conséquence, $ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)$
-est égal à
+\subsubsection{}
+\label{calcul zeta1khis}
+Si $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
+comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
+$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
+caractères). Si par contre $χ$ est trivial
+sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de
+$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme
+$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
+on a :
+\[
+\begin{array}{rcll}
+ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres}\\
+& = & κ \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions}
+\end{array}
+\]
+En effet, on trouve respectivement l'intégrale
+\[
+κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
+\]
+et la somme
\[
-ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s)+
-C⋅ \big( \frac{ℱ_ψ(f,0)}{s-1}-\frac{f(0)}{s} \big),
+κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
\]
-le second terme n'apparaissant que si $χ$ est trivial.
-Sous réserve de convergence, il résulte de la formule
-d'inversion de Fourier (et du caractère involutif de $χ
-↦ \check{χ}$) que
+(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
+Notons dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
+choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
+Le même calcul s'applique à $ζ_{ψ, ≥1}(𝟭,χ,s)$.
+
+\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction
+\[
+ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)
+\]
+est égale à
+\[
+\big( ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s)\big)+
+\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\check{χ},1-s)-f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
+\]
+où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus,
+apparaît que si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
+Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ
+↦ \check{χ}$), que l'on a démontré le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}
+\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
+La fonction $s↦ ζ_ψ(f,χ,s)$ a un prolongement méromorphe à $𝐂$
+et est entière sauf si la restriction de $χ$ à $K^{×,=1}_𝐀$ est triviale.
+Dans ce cas, ses pôles sont en $s=-σ$ et $s=1-σ$ où
+$σ ∈ i 𝐑$ est tel que $χ=ω_σ$. Ils sont simples, de résidus
+respectifs $κf(0)$ et $κ ℱ_ψ(f,0)$ lorsque $K$ est un corps de nombres
+et ces quantités divisées par $\log(q)$ lorsque $K$ est un corps
+de fonctions. Si $K$ est un corps de nombres, $σ$, s'il existe,
+est unique. Si $K$ est un corps de fonctions, il est bien
+défini modulo $2 π i / \log(q)$.
+De plus, la fonction zêta satisfait l'équation fonctionnelle
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s).
\]
+\end{théorème2}
-On applique cette formule à
+
+\subsubsection{}On applique cette formule à
\[
g= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
@@ -3272,22 +3389,6 @@ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty
Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
-\subsection{$ζ(f,χ,s)$}
-
-\begin{théorème2}
-Théorème de (Iwasawa?)-Tate.
-\end{théorème2}
-
-Cf. p. ex. [Bump], p. 267.
-
-\subsection{Fonctions $L$ de Hecke}
-
-\begin{théorème2}
-Théorème de Hecke.
-\end{théorème2}
-
-Cf. p. ex. [Bump], p. 270.
-
\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}