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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 18:53:55 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 18:53:55 +0100
commit238a305f17b8b008b4ad014de7cd203d92489ce7 (patch)
tree51493891b02584fa7e4318492ecfeebcf0e259be /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] début version 1.0 sorites sur corps globaux + exemple fonction ζ de 𝐅p(t)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex122
1 files changed, 85 insertions, 37 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index a40c523..5f9d63c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -32,9 +32,11 @@
\title{Corps locaux, corps globaux}
+\externaldocument{AC}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
+\externaldocument{RT}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
@@ -1995,10 +1997,9 @@ Sous l'hypothèse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
\end{proposition2}
Notons que cette formule est également valable lorsque $χ$ est net.
-\subsection{Fonctorialité}
-
-$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
-[À déplacer ? \XXX]
+%\subsection{Fonctorialité}
+%$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
+%[À déplacer ? \XXX]
\section{Corps globaux}
@@ -2020,22 +2021,23 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$\footnote{Nous faisons
-le choix de pas utiliser les notations
-traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin de ne pas confondre
-les places archimédiennes et les places parfois considérées
-comme « à l'infini » en égale caractéristique, comme $(T^{-1})$
-dans $𝐅_p(T)$. \XXX}
+respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
+Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
+traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
+confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
+en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
+$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(T)$.
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
-au sens de \ref{définition corps locaux} (cf. \ref{Kx sont locaux}
-\emph{infra})\footnote{On peut montrer réciproquement que
-tout corps local s'obtient de cette manière. Si $G$ est un
-groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
-on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
-galoisiennes de groupe $G$. \XXX}.
+au sens de \ref{définition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
+\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
+de montrer que tout corps local s'obtient de cette manière.)
+% Si $G$ est un
+%groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
+%on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
+%galoisiennes de groupe $G$. Serre, Topics, th. 2 p. xiv. \XXX
On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
@@ -2050,16 +2052,16 @@ lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
-De façon équivalente, $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
+De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
-sous-corps fini de $K$. \XXX
+sous-corps fini de $K$ (\refext{RT}{finitude clôture algébrique dans tf}).
\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$ ; applications}
@@ -2067,8 +2069,8 @@ sous-corps fini de $K$. \XXX
que toute valeur absolue de $𝐐$ est équivalente
à une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, où $p ∈ 𝒫 ∪ \{∞\}$,
$𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
-envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$ — $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ étant la
-valuation $p$-adique de $f$ — si $p$ est premier
+envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
+valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
@@ -2081,17 +2083,20 @@ Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.
\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier. Il résulte
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
-et [...] que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
+%et [...] ? \XXX
+que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{∞\}$, où
$𝒫_p$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
-$\Specmax(𝐅_p[t])$. \XXX
+$\Specmax(𝐅_p[t])$. (Pour des renseignements quantitatifs sur $𝒫_p$, voir
+\refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.)
+%\XXX
\subsubsection{}
\label{Kx sont locaux}
Soient $L\bo K$ une extension finie de corps globaux
-et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans $y$
+et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans la classe $y$
induit par restriction une valeur absolue $| ⋅|_K$
sur $K$ dont la classe d'équivalence ne dépend
que de $y$ et que nous noterons $x$.
@@ -2099,11 +2104,12 @@ D'après \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K ↪ L$ induit une injection $K_x ↪ L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
Si $K_x$ est un corps local, il en est de même de $L_y$
-(\ref{extension finie corps local est local}).
+(cf. \ref{extension finie corps local est local}).
Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
-chaque $K_x$, $x ∈ Σ(K)$ est un corps local.
-Ainsi, les $L_y$ sont locaux dès lors que $L$ est un corps
-global.
+chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
+étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
+les $L_y$ sont locaux.
+
\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
@@ -2112,11 +2118,9 @@ Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit finie séparable.
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-Première démonstration : cf. \refext{Rad}{}.
-
-Seconde démonstration, cf. Weil, p 48.
-\end{démo}
+Le corps $𝐅_p$ étant parfait, cela résulte de
+\refext{RT}{extension corps parfait est séparable}.
+%Seconde démonstration, cf. Weil, p 48. ? \XXX
\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
@@ -2133,7 +2137,12 @@ Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est
\end{proposition2}
\begin{démo}
-\XXX
+Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues},
+et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
+est archimédienne, qu'il suffit de traiter le cas particulier
+où $K$ est un corps global premier. Or,
+$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$ est un singleton et
+$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -2143,6 +2152,10 @@ Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
+Caractéristique $p$ : facile (réduction au cas $𝐅_p(t)$
+en regardant $𝐅_p(f)$.
+Caractéristique $0$ : bidouille à faire.
+Argument général ?
\XXX
\end{démo}
@@ -3297,8 +3310,10 @@ explicite intégrale quasi-caractère I} \XXX
\[
ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
\]
-où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$
-et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
+où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$,
+et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
+(Pour une définition générale de la fonction zêta de Hasse,
+cf. \refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}.)
En effet \XXX.
@@ -3317,8 +3332,41 @@ $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.
\subsubsection{}Si $K$ est un corps de fonctions, extension finie
de $𝐅_p(t)$, on a également
\[
-ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_x.
+ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_{K_x}.
+\]
+À titre d'exemple, considérons le cas où $A=𝐅_p[t]$.
+On a
+\[
+ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}
+=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}},
\]
+où $|f|=p^{-\deg(f)}$ et $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
+unitaires de $𝐅_p[t]$. Comme expliqué plus haut (dans un cas plus général),
+l'égalité entre la somme et le produit eulérien
+est une conséquence immédiate du fait que tout polynôme unitaire se
+décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) en produit
+de polynômes unitaire irréductibles.
+Puisqu'il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
+dans $𝐅_p$, on a $ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_d
+\frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$.
+Comme $ζ_{K_∞}(s)=(1-p^{-s})$, on en déduit :
+\[
+ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
+\]
+
+\begin{exercice2}
+Déduire de l'égalité
+\[
+(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
+\]
+la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
+(Indication : on pourra poser $X=p^{-s}$ et considérer la dérivée
+logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
+Cette formule a été précédemment démontrée
+en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
+\end{exercice2}
+
+
\XXX
\subsubsection{}