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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 16:37:27 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 16:37:27 +0100
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[LG] sorites sur Mellin réel et application à la fonction ζ
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@@ -1248,6 +1248,148 @@ réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\subsection{Transformée de Mellin}
+\subsubsection{Transformée de Mellin réelle : généralités}
+\label{transformée Mellin réelle}
+Afin de motiver les considérations qui vont suivre, nous
+esquissons ci-dessous la définition de la transformée
+de Mellin usuelle et son application à l'étude de la
+fonction zêta. Pour de plus amples développements,
+incluant la formule d'inversion, voir par exemple
+\cite[§1.5]{Fourier@Titchmarsh}.
+Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
+Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$
+par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
+\[
+M_{≤1}(f)(s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
+\]
+est holomorphe sur $\Re(s)>-A$.
+Lorsque $f(t) ∼ ∑_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}$
+en $0$\footnote{Cette notation signifie que
+pour chaque entier $n ≥ 1$, on a
+$f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
+où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$
+on peut pour chaque $n$ écrire
+\[
+M_{≤ 1}f(s)=
+∫₀¹(f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
++ ∑_0^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
+\]
+où le premier terme est, d'après ce qui précède,
+holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
+Il en résulte que $M_{≤ 1}f$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$
+à pôles simples en chaque $-α_k$, de résidu $a_k$.
+On peut bien entendu procéder en même en l'infini
+et poser
+\[
+M_{ ≥ 1}f(s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
+\]
+Lorsque les deux fonctions $M_{≤ 1}f$ et $M_{ ≥ 1}f$
+se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
+commun, on définit la \emph{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
+\[
+Mf=M_{≤ 1}f + M_{ ≥ 1}f.
+\]
+\subsubsection{Exemple}
+\label{exemple Mellin réel}
+Si $λ$ est un réel strictement positif,
+on a $M(t↦ e^{-λt})(s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction méromorphe
+sur $𝐂$, où
+\[
+Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
+est la fonction Gamma usuelle.
+Cette formule est également valable lorsque $λ=0$
+car on a alors $M_{≤ 1}(1)=\frac{1}{s}$
+et $M_{ ≥ 1}(1)=-\frac{1}{s}$ d'où $M(1)=0$.
+On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
+\[
+∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
+t^{k-1},
+\]
+où la seconde égalité n'est autre que la définition
+des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$
+et celle de
+\[
+θ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}
+\]
+la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
+\subsubsection{}
+Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie
+que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
+ce qui précède en une fonction méromorphe
+sur $𝐂$, ayant des pôles simples de résidus explicites.
+Observons que la fonction Gamma a pour uniques pôles (simples) les entiers
+négatifs, comme il résulte immédiatement de l'identité
+$Γ(s+1)=s Γ(s)$ ($\Re(s)>0$) et que $Γ(1)=1$. Ceci permet de
+calculer le résidu en $s=1$ de $ζ$ et la valeur de cette
+fonction en les entiers négatifs ou nuls
+(cf. \ref{propriétés zêta Euler-Riemann} \emph{infra}).
+D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
+\[
+∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
+\]
+appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
+$ψ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où
+$ψ(t)=1+2 θ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
+En appliquant la transformée de Mellin à cette
+équation fonctionnelle (due à Jacobi),
+on trouve $M ψ(s)=M ψ(1-s)$ [ou variante \XXX] et de même pour $θ$
+car $M(1)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
+dont l'énoncé et la démonstration forment un prototype des
+résultats que nous souhaitons démontrer dans ce chapitre.
+
+% Très classique. Référence utilisée : Zagier, « The Mellin
+% … ».
+
+\begin{théorème2}
+\label{propriétés zêta Euler-Riemann}
+La fonction zêta
+\[
+ζ(s)=∑_{n} n^{-s}
+\]
+s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$
+ayant un unique pôle, simple de résidu $1$, en $s=1$
+et pour chaque $n ≥ 0$, on a
+\[
+ζ(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}.
+\]
+De plus, la fonction $\chap{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
+satisfait l'équation fonctionnelle
+\[
+\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s).
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{remarque2}
+Signalons un argument élémentaire conduisant
+à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de
+la fonction zêta.
+Soit en effet,
+\[
+ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s).
+\]
+Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
+\[
+ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s}.
+\]
+Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
+(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
+$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
+de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge à $\{s:s>0\}$.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer, à la manière d'Euler, que
+$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
+et en déduire une autre démonstration des formules
+\[
+ζ(0)=-½
+\]
+et
+\[
+ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
+\]
+\end{exercice2}
+% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).
+
\subsubsection{Mesures multiplicatives}
\label{sorites mesures multiplicatives locales}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
@@ -1633,10 +1775,8 @@ positive, on a
\]
et
\[
-ζ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s} Γ(s),
+ζ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
-où $Γ(s)= \displaystyle ∫_0^{+∞} e^{-r} r^s \frac{dr}{r}$
-est la fonction Gamma usuelle.
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
\[
@@ -2929,52 +3069,23 @@ des résultats d'Euler. Domaine complexe ($\Re(s)>1$) : Čebyšev ; référenc
% pour la formule du produit.
On a, par définition,
\[
-\chap{ζ}_𝐐=ζ ⋅ Γ.
+\chap{ζ}_𝐐=ζ ⋅ Γ_𝐑
\]
-D'autre part, on peut vérifier que l'on a l'égalité
+et, comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
\[
-\chap{ζ}_𝐐(s)=∫₀^{+ ∞} θ(x) x^{½s-1} dx,
+Mθ(s)=ζ(2s) Γ(s) π^{-s}
\]
-où $θ(x)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² x}$ et
-l'on suppose par exemple $s>1$. % \XXX
-Cette égalité est le point de départ de
-la démonstration classique de l'équation fonctionnelle
-de la fonction zêta de Riemann obtenue
-en appliquant la formule de Poisson réelle à $θ$.
-[Cf. Zagier, « The Mellin transform… ».]
-
-Soit
-\[
-ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s).
-\]
-Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
-\[
-ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s}.
-\]
-Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
-(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
-$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
-de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge en une
-fonction analytique sur $\{s:s>0\}$. De plus,
-le résidu de $\chap{ζ}_𝐐$ en $1$ est [...] \XXX.
+soit encore $\chap{ζ}_𝐐(s)=Mθ(\frac{s}{2})$,
+où $θ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$ et l'on suppose par exemple $s>1$.
+Dans le paragraphe susmentionné, cette égalité est le point de départ
+d'une démonstration classique de l'équation fonctionnelle
+de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}),
+obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $θ$ (ou plutôt $ψ=1+2 θ$).
Nous verrons ci-après des généralisations (corps global
quelconque) des deux observations précédentes,
démontrées par voie adélique.
-\begin{exercice2}
-Montrer, à la manière d'Euler, que
-$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
-et en déduire les « formules »
-\[
-ζ(0)=-½
-\]
-et
-\[
-ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
-\]
-\end{exercice2}
-% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).
\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons