summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-22 11:11:39 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-22 11:11:39 +0100
commit2cf119fc6342d8cc23a981f5eda8156275eccdf1 (patch)
tree729424674729ca20782e00c892fee915bb57ab37 /chapitres/locaux-globaux.tex
parentf9ac143dbfe0dfa4a7d6d4de2d512483cd8d7327 (diff)
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[LG] début correction Dedekineries
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex22
1 files changed, 12 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 344c014..537d497 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2219,25 +2219,27 @@ par la proposition suivante.
Soient $K$ un corps global, $U$ un ouvert dense de $K$, $L \bo K$
une extension finie et $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
\begin{enumerate}
-\item L'anneau $B=𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $A=𝒪_K(U)$ dans $L$.
-\item L'anneau $A$ est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$.
+\item L'anneau $𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
+\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-\begin{démo}
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
-(i) Notons $B′$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$.
-L'anneau $B$ est par définition l'intersection $⋂_{v ∈ V} 𝒪_{L,v}$
-des anneaux de valuation discrète $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L: |f|_v ≤ 1\}$ de $L$.
+
+\begin{démo}
+(i) Notons $A=𝒪_K(U)$, $B=𝒪_L(V)$ et considérons la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
+L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
+appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
+complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
Or, si $f ∈ L$ est entier sur $A$, il est entier sur chaque sur-anneau $𝒪_{K,u}$, $u ∈ U$,
-donc contenu dans $𝒪_{L,v}$ pour chaque $v↦ u$. Ainsi $B$ contient $B′$.
+donc contenu pour chaque $v↦ u$ dans l'anneau normal $𝒪_{L,v}$ de corps des
+fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $B′$ est contenu dans $B$.
Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G.b} (X-β))^{p^e}$
à coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance
-de l'exposant caractéristique de $K$.
-(cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
-Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $λ↦ |g(λ)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
+de l'exposant caractéristique de $K$ (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
+Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $β ↦ |g(β)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$
et, finalement, $B=B′$.