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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-13 09:45:09 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-13 09:45:09 (GMT)
commit2dbae83d5b79ddf7833f8f89770e0d828619771c (patch)
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[LG] théorème de cocompacité
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex92
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index 26ca778..e0afb5b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -12,7 +12,6 @@
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
-\synctex=1
\input{.cv}
\usepackage{stmaryrd}
@@ -2118,8 +2117,8 @@ cf. \ref{définition adèles}.)
\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
-\label{exemples U-entiers}
-Par exemple, si l'on note $Σ$ l'ensemble des places du corps global $𝐅_p(t)$, on a $𝒪_{𝐅_p(t)}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
+Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des places du corps global $𝐅_p(t)$.
+On a alors $𝒪_{𝐅_p(t)}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
sans pôle est une constante. Plus précisément, si l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux,
alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b$
@@ -2438,6 +2437,7 @@ composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
\begin{proposition2}
+\label{discrétion et séparation quotient}
Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}
\item Si $G$ est quasi-compact et discret, il est \emph{fini}.
@@ -2531,6 +2531,7 @@ un \emph{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
Rappelons (\ref{module quotient}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.
\begin{proposition2}
+\label{restriction isomorphisme modulo compacts}
La restriction d'un isomorphisme modulo les compacts à un sous-groupe
\emph{fermé} du but est également un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}
@@ -2546,6 +2547,7 @@ par conséquent compacte car $\Coker(f)$ l'est.
\end{démo}
\begin{proposition2}
+\label{composé isomorphismes modulo compacts}
Le composé de deux isomorphismes modulo les compacts est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}
@@ -2825,28 +2827,78 @@ Soit $K$ un corps global.
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
-\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, l'inclusion canonique
-$𝒪_K(U) → ∏_{s ∉ U} K_s$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
-continu et est un isomorphisme modulo les compacts.
+\item Soit $U$ un ouvert dense de $K$. L'inclusion
+$𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
+continue et est un isomorphisme modulo les compacts.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
\begin{démo}
-(i). Démontrons le lorsque $K=𝐐$.
-Soient $C=[-½,½]× ∏_p 𝐙_p$ le sous-ensemble compact de $𝐐_𝐀$,
-où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$,
-et $C°$ le voisinage ouvert $]-½,½[× ∏_p 𝐙_p$ de l'origine dans $𝐐_𝐀$.
-Il est clair que $C ° ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel qui, vu dans chaque $𝐐_p$,
-est en fait dans $𝐙_p$ est entier. D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est
-l'entier nul.
-
-[...]
+(i). On procède, grâce au théorème précédent, par réduction à deux cas
+particuliers, que nous traitons d'abord et de façon identique.
+\begin{itemize}
+\item Cas des nombres rationnels.
+Soient $C=[-½,½]× ∏_p 𝐙_p$ le sous-ensemble compact de $𝐐_𝐀$,
+où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert $]-½,½[× ∏_p 𝐙_p$ de l'origine dans $𝐐_𝐀$.
+Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$
+appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$.
+D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul.
+Ceci prouve déjà que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
+fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe
+topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}).
+Pour montrer la compacité du quotient,
+il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
+Par translation par un entier, il suffit
+de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
+ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$
+est engendré par (l'image de) $𝐐$.
+Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme}
+directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
+évident $𝐐/𝐙 → ⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p $ est un isomorphisme, on a le résultat.
+(Notons que le morphisme précédent correspond
+à la décomposition primaire suivant la $p$-torsion
+et que chaque facteur $𝐐_p/𝐙_p$ reçoit isomorphiquement
+le quotient $𝐙[1/p]/𝐙$.)
+
+\item Cas des fractions rationnelles sur $𝐅_p$, $p$ premier.
+Soient $C=𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{𝐅_p(t),P}$
+— où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de $𝐅_p[t]$,
+identifiés aux places de $𝐅_p(t)$ différentes de la place infinie — le sous-ensemble
+compact de $𝐅_p(t)_𝐀$ et $C^∘$ le voisinage ouvert $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{K,P}$
+de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}$ : toute
+fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
+appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$.
+D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul.
+Ceci prouve déjà que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
+Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact,
+il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$,
+c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$
+est engendré par (l'image de) $𝐅_p(t)$. Or, ce quotient est canoniquement
+isomorphe à la somme directe $⨁_P 𝐅_p(t)_{P}/𝒪_{𝐅_p(t),P}$
+et chaque facteur reçoit isomorphiquement $𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$.
+Comme le morphisme évident $𝐅_p(t)/𝐅_p[t] → ⨁_P 𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$
+est un isomorphisme, on a le résultat.
+
+\item Cas général. Soit $L\bo K$ une extension finie de degré $d$ de corps
+globaux. Il résulte du théorème \ref{adèles et cb} que le quotient $L_𝐀/L$ est
+isomorphe, comme groupe topologique, à $(K_𝐀/K)^d$ ; c'est un produit
+de compacts donc compact. De même l'image
+de $L$ dans $L_𝐀$ est isomorphe à l'image de $K^d$ dans $K_𝐀^d$ ;
+elle est donc discrète.
+\end{itemize}
- explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238)
-ou Weil, p 65.
-Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
-(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
+(ii) Soit $U$ comme dans l'énoncé ; en particulier, $U$ ne contient pas
+de place archimédienne. On a vu que le morphisme $K → K_𝐀$ est un isomorphisme
+modulo les compacts. Or, $𝒪_K(U)$ est l'image inverse du fermé
+$K_𝐀(U)$ par ce morphisme. D'après \ref{restriction isomorphisme modulo
+compacts}, le morphisme $𝒪_K(U) → K_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme
+modulo les compacts. D'autre part, la projection $K_𝐀(U) ↠ ∏_{x ∉ U} K_x$
+est également un isomorphisme modulo les compacts car son noyau
+est le produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_{K,u}$ de groupes compacts.
+D'après \ref{composé isomorphismes modulo compacts},
+le morphisme composé $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$ est donc
+un isomorphisme modulo les compacts.
\end{démo}
\begin{corollaire2}
@@ -3275,7 +3327,7 @@ La surjectivité résulte formellement du fait
que $L_𝐀 = K_𝐀^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $K_𝐀$
tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $K_𝐀$-linéaire
-$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$ (\emph{op. cit.}).
Orthogonalité : il existe pour chaque $i$, un $l_i
∈ L$ tel que $\Tr(a l_i K)=a_i K$. En conséquence,
si $ψ_K ∘ \Tr (aL)=\{1\}$, on a $ψ_K(a_iK)=\{1\}$