summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 15:49:50 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 15:49:50 (GMT)
commit36c6c91c50bb0b0e49f942bc5665c02dc9301817 (patch)
treee3642e8796fbab5cf5a7df45fdbeae0c19d15add /chapitres/locaux-globaux.tex
parentb36d30e983fe4dac14db04a3fdb0c827ac500abb (diff)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex10
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 841d76b..e166817 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3124,7 +3124,7 @@ On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-après.
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
De plus, pour chaque paire $b ≥ c >0$ de réels, l'ensemble
-${K^×_𝐀}^{≤b \atop ≥c}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
+${K^×_𝐀}^{\substack{≤b \\ ≥c}}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -4629,7 +4629,7 @@ L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la
\[
T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n) T^n,
\]
-où $\displaystyle N_K(n)=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
+où $\displaystyle N_K(n)=∑_{\substack{x ∈ X \\ \deg(x)|n}} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
d'une série génératrice
\[
Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
@@ -4784,11 +4784,11 @@ f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{X² Y^{k-2}} + \cdots +
\item Montrer que
\[
f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
-=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
+=2 ∑_{\substack{0 < j < k \\ j \text{ pair}}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
\]
\item En déduire que
\[
-\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
+\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{\substack{0 < j < k \\ j \text{ pair}}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=\sqrt{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
@@ -4825,7 +4825,7 @@ que la valuation correspondante est définie par
le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
Ce facteur se réécrit
\[
-∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
+∑_{\substack{f ∈ 𝐅_p[t] \\ \text{unitaire}}} \frac{1}{|f|^s}=
∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}
\]
car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$