summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-15 15:59:02 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-15 15:59:02 +0100
commit396089e6efa8f180531194a4011c7cd6351f2f2b (patch)
tree6fa18bfb105b44977d0044b74680574add0dc72f /chapitres/locaux-globaux.tex
parent5ae83e49a9a553283435a567a1ee08b6c3a26b1b (diff)
downloadgalois-396089e6efa8f180531194a4011c7cd6351f2f2b.zip
galois-396089e6efa8f180531194a4011c7cd6351f2f2b.tar.gz
galois-396089e6efa8f180531194a4011c7cd6351f2f2b.tar.bz2
[LG] fin esquisse ζ(s)=ζ(1-s) [ou presque]
C'est à la fois plus simple et plus subtil que je ne le pensais (on change de mesure en cours de route). La méthode plus locale que j'envisageais doit être utile pour les fonctions L de Hecke.
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex82
1 files changed, 49 insertions, 33 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 350954a..e318b0c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1067,8 +1067,14 @@ $ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\end{enumerate}
\end{proposition2}
+\subsubsection{}
+\label{dépendence Fourier local en caractère}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
-à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
+à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il résulte immédiatement de (vi)
+que l'on a
+\[
+ℱ_{ψ_a}(f) = |a|^{½}[×a]^*\big(ℱ_ψ(f)\big).
+\]
\begin{démo}
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
@@ -3030,9 +3036,15 @@ En particulier, $|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
-\subsubsection{}Lorsque $x$ est archimédienne, cf. [BNT, p. 113].
+\subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne,
+il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v)
+et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique
+élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$.
+(Le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.)
-\subsubsection{}Par construction, on a l'égalité
+\subsubsection{}
+\label{Tamagawa et idèle différentiel}
+Par construction, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
@@ -3056,21 +3068,36 @@ Lorsque $K$ est un corps de fonctions, on a
ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭,
\]
où $𝟭$ est la fonction introduite en \ref{Poisson implique RR}.
+Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit.
Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres
si l'on considère la fonction
\[
𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
-\XXX
+Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
+archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$.
+D'après \ref{dépendence Fourier local en caractère},
+on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer
+l'égalité
+\[
+\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
+=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
+\]
+et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=g_𝐂$.
\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
-il résulte de ce qui précède que l'on a :
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ si }\mathrm{car.}(K)=0\]
-et
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ si }\mathrm{car.}(K)>0.\]
+il résulte \ref{Tamagawa et idèle différentiel} que l'on a :
+\[
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle √{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
+\end{cases}
+\]
Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
@@ -3475,44 +3502,33 @@ la fonction
\]
considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations
lorsque cela ne prête pas à confusion.
-Fixons un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ et notons $S_ψ$ l'ensemble
-de $x ∈ Σ(K)$ tels que $n(ψ_x) ≠ 0$ ou $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
-Il résulte de la formule générale
+D'une part on a « formule de Riemann-Roch »
\[
-ζ(f,χ,s)=∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)
+ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭,
\]
-et de \ref{Matchett} que l'on a
+où $ψ$ est un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ quelconque,
+et d'autre part l'équation fonctionnelle
\[
-ζ(𝟭,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(𝟭_x,s)}{ζ_{K_x}(s)}.
+ζ(𝟭,1,s)=ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s).
\]
-D'autre part,
+Utilisant le fait que $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}= c_K μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$,
+on a également :
\[
-ℱ_ψ(𝟭)=\big(⊠′ _{x ∉ S_ψ} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ S_ψ} ℱ_{ψ_x}(𝟭_x)\big)
+ζ(𝟭,1,s)= c_K^{±1} ∫ 𝟭 ... μ^{\mbox{\minus $×$}}₁=c_K^{±1} ∏_x ζ_x(𝟭_x,1,s)
\]
-d'où
+On applique alors \ref{Matchett}
+pour obtenir :
\[
-ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},s)=\sur{ζ}_K(1+s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(𝟭_x),1+s)}{ζ_{K_x}(1+s)}.
-\]
-Comme on a en toute généralité $ζ(f,1,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{1},-s)$, on en déduit :
-\[
-\frac{ζ_K(s)}{ζ_K(1-s)} = ∏_{x ∈ S_ψ}
-\Big( \frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(𝟭_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(𝟭_x,s)} ⋅ \frac{ζ_{K_x}(s)}{ζ_{K_x}(1-s)} \Big).
-\]
-Comme $ℱ_{ψ_s}(𝟭_x)=|d_x|^{½} [×d_x]^*𝟭_x$, le quotient
-ce quotient vaut
-\[
-|d_x|^{s-½}.
+ζ(𝟭,1,s)=c_K^{±1} \sur{ζ}_K
\]
+Enfin, $ζ([×d]^*f,χ)=χ(d)^{-1}ζ(f)$, d'où
+$ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s)=|d_K|^{½-s} [...]ζ(𝟭,s)$
+L'équation fonctionnelle pour $\chap{ζ}_K$ en résulte aussitôt.
\begin{lemme2}
\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
\end{lemme2}
-Remarquons, bien que cela ne soit pas utile ici, que l'on a déjà vu que les facteurs
-$\frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(f_x,s)}$ ne dépendent pas de $f_x$.
-(On pourrait donner une démonstration « globale » de ce fait en
-utilisant ce qui précède.) % c'est-à-dire la formule pour le quotient des ζ globales
-
\subsubsection{Cas des corps de fonctions}
Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien
du fait que $s↦ ω_s$ ne dépend que de $q^{-s}$,