summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-31 13:32:15 +0200
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-31 13:32:15 +0200
commit398324a0752f104ae4db8c8807f22bcccf58d9ed (patch)
treede405ffa646e7a971ef0630e8d71681d6fe2a1fe /chapitres/locaux-globaux.tex
parent1f9a7fe42ec8770ff095b797919b0100a504aa3f (diff)
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[LG] ajout définition morphisme propre
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex17
1 files changed, 14 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 2da38d2..0d3a42e 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2322,15 +2322,26 @@ sur $G/H$ par translation est continue ; elle est bien sûr transitive.
Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.
-Si $H$ est un sous-groupe \emph{compact} de $G$,
+
+\subsubsection{}Un morphisme \emph{propre} est, par définition,
+un morphisme $f:X → Y$ d'espaces topologiques
+« universellement fermé » au sens suivant : pour tout
+espace topologique $Z$, le morphisme $f× \Id_Z: X × Z → Y × Z$ est fermé
+(c'est-à-dire : l'image d'un fermé est fermé).
+On vérifie (\BourbakiTG{I.§10}) que cette condition est équivalente
+à : $f$ est fermé et chaque fibre $f^{-1}(y)$, $y ∈ Y$, est
+quasi-compacte. En particulier, si $X$ est un espace topologique
+quasi-compact, le morphisme $X → ⋆$ est propre, où $⋆$
+désigne un espace topologique ponctuel.
+
+\subsubsection{}Si $H$ est un sous-groupe \emph{compact}
+— c'est-à-dire quasi-compact et séparé — de $G$,
la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
-[définir « propre » ; compact = quasi-compact + séparé \XXX]
-
\begin{proposition2}
Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}