[LG] relecture §1.1—§1.3.2

1 files changed, 48 insertions, 44 deletions

diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index a55bac6..a73ae80 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -151,7 +151,7 @@ compact : $X$ est séparé et que tout point possède un voisinage compact.
 Cette hypothèse permet de démontrer des variantes du
 théorème de séparation d'Urysohn\footnote{Notons qu'un espace topologique
 localement compact n'est pas nécessairement « normal » ($T₄$) ; il est cependant
-« complètement régulier » ($T_{3+½}$).}
+« complètement régulier » ($T_{3+½}$).}.
 Soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
 compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
 sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
@@ -190,7 +190,7 @@ finies ou non, semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup
 μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}$
 est la droite achevée $𝐑 ∪ \{+∞\}$ ; puis
 \item à l'ensemble des fonctions positives (finies ou non) sur $X$
-en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
+en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ^*(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
 Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
 \end{itemize}
 Cette \emph{intégrale supérieure} de fonctions positives
@@ -199,7 +199,7 @@ l'égalité $μ^*(\sup_n f_n)=\sup_n μ^*(f_n)$ si
 les fonctions $f_n$ sont positives croissantes — et ses
 corollaires, dont le lemme de Fatou : $μ^*(\liminf_n f_n) ≤ \liminf_n μ^*(f_n)$
 pour une suite non nécessairement croissante de fonctions.
-Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$,
+Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$ un réel,
 on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
 de Minkowski que l'on obtient ainsi une semi-norme
 — donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
@@ -262,7 +262,7 @@ les ensembles relativement compacts sont de mesure extérieure finie.
 Prendre garde au fait que l'intégrabilité de la fonction
 caractéristique $𝟭_E$ d'un ensemble $E$ est \emph{a priori}
 plus forte que la seule finitude de sa mesure extérieure :
-on démontre que $E$ est intégrable ($𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$)
+on démontre que $E$ est intégrable — c'est-à-dire $𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$ —
 si et seulement si il existe pour tout $ε>0$ un compact
 $C_ε ⊆ E$ tel que $μ^*(E-C_ε) ≤ ε$. On note $μ(E)=∫ 𝟭_E d μ$
 la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$
@@ -273,62 +273,62 @@ l'intersection $E ∩ C$ est intégrable.
 localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
 est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
 sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
-$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
+$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$ et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
 \[
 ∫_G f   dμ= ∫_G f_h   dμ,
 \]
-où $f_h(g)=f(hg)$.
-Une mesure de Haar sur $G$ est donc une forme linéaire non
-nulle sur $𝒞_c(G;𝐂)$, positive sur les fonctions positives ;
-réciproquement toute telle forme linéaire est une mesure
-de Haar.
+où $f_h(g)=f(h^{-1}g)$.
+On peut montrer montrer que la continuité d'une telle forme
+linéaire est automatique. On précise parfois que la mesure $μ$
+est « \emph{invariante à gauche} ».
 
 \subsubsection{}Tout groupe topologique localement
-compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
-unique à un facteur multiplicatif non nul près ; l'existence
-est un théorème dû à Haar Alfréd — sous une hypothèse
+compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar,
+unique à un facteur multiplicatif non nul près. L'existence
+est due à Haar Alfréd — sous une hypothèse
 restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité
-est due à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
+à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
 invariante à droite, en un sens évident.
+Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse.
 
 \subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
 \label{Haar existence et unicité}
 Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
+\commentaire{À vérifier}
 notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés
 peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés
 explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière
 \emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}.
-%\XXX Il faudrait vérifier.
 %Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III.
 %l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
 %dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
 %dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que
 %$μ_{ψ_x}(𝒪_x)=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas
 %d'un produit fini.
-Soit $G$ un tel groupe et soit $φ$ une fonction
+
+Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction
 réelle sur $G$, continue à support compact.
 Si $ψ$ appartient à $𝒞_c(G)_+$ et n'est pas
 identiquement nulle,
 il existe des réels positifs $c₁,…,c_n$ et des éléments
 $h₁,…,h_n$ de $G$ tels que l'on ait l'inégalité
 \[
-φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ⋅ h_i  ψ,
+φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ψ_{h_i}.
 \]
-où $h   ψ$ désigne la fonction $g ↦ ψ(h^{-1}g)$.
-En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ⋅ h ψ$, on peut
+En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ψ_h$, on peut
 supposer — par locale compacité — qu'il existe une voisinage ouvert $U$ de l'identité
 de $G$ tel que $ψ ≥ 1$ sur $U$. Le support (compact) de $φ$ étant
 recouvert par un nombre fini de translatés de $U$ et $φ$
 étant bornée, la conclusion en résulte aussitôt.
 Notons $(φ : ψ)$ la borne inférieure des sommes
 $∑_i c_i$, où les $c_i$ et les $h_i$ sont comme
-ci-dessus. (Notons que si $μ$ est une mesure
-de Radon invariante à gauche sur $G$, on
-a $μ(c_i ⋅ h_i  ψ)=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$.)
+ci-dessus. Observons que si $μ$ est une mesure
+de Radon (invariante à gauche) sur $G$, on
+a $μ(c_i ψ_{h_i})=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$.
 Pour chaque $φ,φ′ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, $ψ,ψ′ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$, $h ∈ G$ et $λ ≥ 0$,
 on a :
 \begin{enumerate}
-\item $(h   φ : ψ)=( φ : ψ)$
+\item $(φ_h : ψ)=( φ : ψ)$
 \item $(λ φ : ψ)=λ ( φ : ψ)$
 \item $(φ + φ ′ : ψ) ≤ (φ : ψ) + (φ ′ : ψ)$
 \item $(φ : ψ) ≤ (φ ′ : ψ)$ si $φ ≤ φ ′$
@@ -336,11 +336,11 @@ on a :
 \item $(φ : ψ) ≥ \sup(φ)/\sup(ψ)$
 \end{enumerate}
 Les quatre premières propriétés sont évidentes. (v) résulte
-du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i   ψ$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ⋅ k_j  ψ ′$,
-on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ⋅ (h_i k_j)   ψ ′$ d'où
+du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ψ′_{k_j}$,
+on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ψ′_{h_i k_j}$ d'où
 $(φ : ψ) ≤ ∑_{i,j} c_i d_j = (∑_i c_i)(∑_j d_j)$.
-Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i ψ$
-et que le $\sup$ de $f$ est atteint en $g ∈ G$,
+Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$
+et que le $\sup$ de $φ$ est atteint en $g ∈ G$,
 on a $\sup(f) ≤ ∑_i c_i ψ(h_i^{-1}g) ≤ (∑_i c_i)\sup(ψ)$.
 Notons que (vi) entraîne que $(φ: ψ)$ est $>0$
 si $φ$ est positive non identiquement nulle.
@@ -371,15 +371,15 @@ Soit $H ∈ 𝒞_c(G)_+$ égale à $1$ sur le support de $φ + φ ′$
 et posons $F=φ + φ ′ + ε H$. Considérons les fonctions $f$
 et $f ′$ respectivement égales à $φ/F$ et $φ ′ /F$ sur
 le support de $φ+φ ′$ et zéro ailleurs. Elles sont continues
-à support compact et positives. Soit $η>0$. Par continuité
+à supports compacts et positives. Soit $η>0$. Par continuité
 des fonctions et compacité de leurs supports on a le résultat
 d'uniforme continuité suivant : il existe un voisinage compact $V$ de l'identité
 tel que $|f(x)-f(y)| ≤ η$ et $|f ′(x)-f ′(y)| ≤ η$ dès
 que $x^{-1}y ∈ V$. Soit $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ non nulle à support dans $V$
-et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i   ψ$ soit satisfaite.
-On a donc la majoration $φ= f F ≤ ∑_i c_i ⋅ f(h_i   ψ)$. Or,
-$f(h   ψ) ≤ (f(h)+η) ⋅ h   ψ$ : en un point hors de $hV$ c'est évident
-car $h  ψ$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse
+et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ soit satisfaite.
+On a donc la majoration $φ= f ⋅ F ≤ ∑_i c_i f⋅ψ_{h_i}$. Or,
+$f ⋅ ψ_h ≤ (f(h)+η) ⋅ ψ_h$ : en un point hors de $hV$ c'est évident
+car $ψ_h$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse
 sur $η$ et $V$. En sommant les deux majorations ainsi obtenues pour $φ$ et $φ ′$,
 on obtient :
 \[
@@ -408,7 +408,7 @@ auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe�
 (Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres
 pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nº4} ou bien
 \cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet
-argument reposant sur le théorème de Tychonoff.)
+argument reposant sur le théorème de Tikhonov.)
 Il résulte de ce qui précède et du passage à la limite que l'on a
 \[
 I(φ+φ ′)=I(φ)+I(φ ′)
@@ -419,10 +419,10 @@ $φ₁,φ₂ ∈ 𝒞_c(G)_+$ telles que $φ = φ₁ -φ₂$, par exemple $φ₁
 et $φ₂=-\inf(f,0)$. On vérifie immédiatement que la
 quantité $I(φ):=I(φ₁)-I(φ₂)$ ne dépend pas de la décomposition choisie.
 La forme $φ ↦ I(φ)$ est une mesure de Haar. Remarquons qu'il
-résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle,
+résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ est une fonction non nulle,
 $I(φ)$ est strictement positif : $I(φ) ≥ (φ₀: φ)^{-1}$.
 (On peut aussi remarquer que l'on a
-l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i   φ$
+l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i φ_{h_i}$
 si bien que $I(φ)=0$ ⇒ $I=0$.)
 
 Considérons l'unicité. Soient $μ$ et $ν$ deux mesures de Haar
@@ -471,11 +471,11 @@ ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
 pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
 Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
 unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
-— car $gG=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
+— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
 Appliquant cette observation au cas des automorphismes
 intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
 on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
-est également invariante \emph{à droite}. Le même argument
+est également invariante \emph{à droite} lorsque $G$ est compact. Le même argument
 montre que toute mesure de Haar invariante à gauche est également
 invariante à droite lorsque $G$ est
 \emph{commutatif} mais non nécessairement compact.
@@ -490,7 +490,7 @@ sur $Γ$ et $X$ respectivement.
 À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
 la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » :
 \[
-m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ).
+m_Γ(f): g↦ μ_Γ([+g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ).
 \]
 Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
 une fonction continue (à support compact) sur $X$,
@@ -505,7 +505,7 @@ On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar
 dès que $Γ$ est un sous-groupe fermé de $G$ (non nécessairement
 discret ou cocompact).
 % Nachbin, p. 86.
-Il résulte immédiatement de cette formule que pour tout
+Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
 automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
 on a
 \[
@@ -527,14 +527,16 @@ soit satisfaite.
 Une autre approche pour intégrer sur le quotient
 consister à définir un \emph{domaine fondamental}
 dans $G$ et intégrer dessus.
-Esquissons une construction. Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
+Esquissons une construction en conservant les notations du paragraphe précédent.
+Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
 que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
 Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$.
 Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
 un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels
 que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. (En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
 ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.)
-Ainsi, il existe un nombre dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
+Supposons de plus $Γ$ \emph{dénombrable}. Sous cette hypothèse,
+il existe donc une famille dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
 que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}.
 Alors,
 \[
@@ -558,11 +560,11 @@ le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
 de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie
 mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
 Dans cette section nous allons montrer comment
-construire une valeur absolue sur un corps topologique localement compact $K$
+construire une valeur absolue sur $K$
 à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
 du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
 dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
-Nous terminerons ce paragraphe par une démonstration du
+Nous terminons par une démonstration du
 théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
 %en déduirons qu'une extension finie d'un corps local est un corps local.
 %Tout d'abord quelques résultats préparatoires.
@@ -583,7 +585,7 @@ Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
 de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
 il existe un voisinage ouvert $U_{a,ε}$ du compact $aC$
 tel $μ(U_{a,ε}) ≤ μ(aC)+ε$ (cf. \ref{mesure des ensembles}).
-Soit $A$ un voisinage compact de $A$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
+Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
 dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
 Pour chaque $x ∈ A$, on a :
 \[
@@ -3017,6 +3019,8 @@ $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Soit $f$ un élément de ce
 complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
 tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut
 supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{x ∉ U} |f_x|_x <c$.
+[...] Cf. \jap{斎藤-加藤}.\XXX
+
 \end{démo}
 
 \subsubsection{}