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[LG] relecture §1.1—§1.3.2
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index a55bac6..a73ae80 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -151,7 +151,7 @@ compact : $X$ est séparé et que tout point possède un voisinage compact. Cette hypothèse permet de démontrer des variantes du théorème de séparation d'Urysohn\footnote{Notons qu'un espace topologique localement compact n'est pas nécessairement « normal » ($T₄$) ; il est cependant -« complètement régulier » ($T_{3+½}$).} +« complètement régulier » ($T_{3+½}$).}. Soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un @@ -190,7 +190,7 @@ finies ou non, semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}$ est la droite achevée $𝐑 ∪ \{+∞\}$ ; puis \item à l'ensemble des fonctions positives (finies ou non) sur $X$ -en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$. +en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ^*(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$. Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$. \end{itemize} Cette \emph{intégrale supérieure} de fonctions positives @@ -199,7 +199,7 @@ l'égalité $μ^*(\sup_n f_n)=\sup_n μ^*(f_n)$ si les fonctions $f_n$ sont positives croissantes — et ses corollaires, dont le lemme de Fatou : $μ^*(\liminf_n f_n) ≤ \liminf_n μ^*(f_n)$ pour une suite non nécessairement croissante de fonctions. -Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$, +Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$ un réel, on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité de Minkowski que l'on obtient ainsi une semi-norme — donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne @@ -262,7 +262,7 @@ les ensembles relativement compacts sont de mesure extérieure finie. Prendre garde au fait que l'intégrabilité de la fonction caractéristique $𝟭_E$ d'un ensemble $E$ est \emph{a priori} plus forte que la seule finitude de sa mesure extérieure : -on démontre que $E$ est intégrable ($𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$) +on démontre que $E$ est intégrable — c'est-à-dire $𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$ — si et seulement si il existe pour tout $ε>0$ un compact $C_ε ⊆ E$ tel que $μ^*(E-C_ε) ≤ ε$. On note $μ(E)=∫ 𝟭_E d μ$ la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$ @@ -273,62 +273,62 @@ l'intersection $E ∩ C$ est intégrable. localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$ est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar} sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout -$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité : +$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$ et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité : \[ ∫_G f dμ= ∫_G f_h dμ, \] -où $f_h(g)=f(hg)$. -Une mesure de Haar sur $G$ est donc une forme linéaire non -nulle sur $𝒞_c(G;𝐂)$, positive sur les fonctions positives ; -réciproquement toute telle forme linéaire est une mesure -de Haar. +où $f_h(g)=f(h^{-1}g)$. +On peut montrer montrer que la continuité d'une telle forme +linéaire est automatique. On précise parfois que la mesure $μ$ +est « \emph{invariante à gauche} ». \subsubsection{}Tout groupe topologique localement -compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est -unique à un facteur multiplicatif non nul près ; l'existence -est un théorème dû à Haar Alfréd — sous une hypothèse +compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar, +unique à un facteur multiplicatif non nul près. L'existence +est due à Haar Alfréd — sous une hypothèse restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité -est due à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement +à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement invariante à droite, en un sens évident. +Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse. \subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration} \label{Haar existence et unicité} Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice +\commentaire{À vérifier} notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière \emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}. -%\XXX Il faudrait vérifier. %Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III. %l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions %dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes %dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que %$μ_{ψ_x}(𝒪_x)=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas %d'un produit fini. -Soit $G$ un tel groupe et soit $φ$ une fonction + +Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction réelle sur $G$, continue à support compact. Si $ψ$ appartient à $𝒞_c(G)_+$ et n'est pas identiquement nulle, il existe des réels positifs $c₁,…,c_n$ et des éléments $h₁,…,h_n$ de $G$ tels que l'on ait l'inégalité \[ -φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ⋅ h_i ψ, +φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ψ_{h_i}. \] -où $h ψ$ désigne la fonction $g ↦ ψ(h^{-1}g)$. -En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ⋅ h ψ$, on peut +En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ψ_h$, on peut supposer — par locale compacité — qu'il existe une voisinage ouvert $U$ de l'identité de $G$ tel que $ψ ≥ 1$ sur $U$. Le support (compact) de $φ$ étant recouvert par un nombre fini de translatés de $U$ et $φ$ étant bornée, la conclusion en résulte aussitôt. Notons $(φ : ψ)$ la borne inférieure des sommes $∑_i c_i$, où les $c_i$ et les $h_i$ sont comme -ci-dessus. (Notons que si $μ$ est une mesure -de Radon invariante à gauche sur $G$, on -a $μ(c_i ⋅ h_i ψ)=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$.) +ci-dessus. Observons que si $μ$ est une mesure +de Radon (invariante à gauche) sur $G$, on +a $μ(c_i ψ_{h_i})=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$. Pour chaque $φ,φ′ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, $ψ,ψ′ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$, $h ∈ G$ et $λ ≥ 0$, on a : \begin{enumerate} -\item $(h φ : ψ)=( φ : ψ)$ +\item $(φ_h : ψ)=( φ : ψ)$ \item $(λ φ : ψ)=λ ( φ : ψ)$ \item $(φ + φ ′ : ψ) ≤ (φ : ψ) + (φ ′ : ψ)$ \item $(φ : ψ) ≤ (φ ′ : ψ)$ si $φ ≤ φ ′$ @@ -336,11 +336,11 @@ on a : \item $(φ : ψ) ≥ \sup(φ)/\sup(ψ)$ \end{enumerate} Les quatre premières propriétés sont évidentes. (v) résulte -du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i ψ$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ⋅ k_j ψ ′$, -on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ⋅ (h_i k_j) ψ ′$ d'où +du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ψ′_{k_j}$, +on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ψ′_{h_i k_j}$ d'où $(φ : ψ) ≤ ∑_{i,j} c_i d_j = (∑_i c_i)(∑_j d_j)$. -Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i ψ$ -et que le $\sup$ de $f$ est atteint en $g ∈ G$, +Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ +et que le $\sup$ de $φ$ est atteint en $g ∈ G$, on a $\sup(f) ≤ ∑_i c_i ψ(h_i^{-1}g) ≤ (∑_i c_i)\sup(ψ)$. Notons que (vi) entraîne que $(φ: ψ)$ est $>0$ si $φ$ est positive non identiquement nulle. @@ -371,15 +371,15 @@ Soit $H ∈ 𝒞_c(G)_+$ égale à $1$ sur le support de $φ + φ ′$ et posons $F=φ + φ ′ + ε H$. Considérons les fonctions $f$ et $f ′$ respectivement égales à $φ/F$ et $φ ′ /F$ sur le support de $φ+φ ′$ et zéro ailleurs. Elles sont continues -à support compact et positives. Soit $η>0$. Par continuité +à supports compacts et positives. Soit $η>0$. Par continuité des fonctions et compacité de leurs supports on a le résultat d'uniforme continuité suivant : il existe un voisinage compact $V$ de l'identité tel que $|f(x)-f(y)| ≤ η$ et $|f ′(x)-f ′(y)| ≤ η$ dès que $x^{-1}y ∈ V$. Soit $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ non nulle à support dans $V$ -et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i ψ$ soit satisfaite. -On a donc la majoration $φ= f F ≤ ∑_i c_i ⋅ f(h_i ψ)$. Or, -$f(h ψ) ≤ (f(h)+η) ⋅ h ψ$ : en un point hors de $hV$ c'est évident -car $h ψ$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse +et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ soit satisfaite. +On a donc la majoration $φ= f ⋅ F ≤ ∑_i c_i f⋅ψ_{h_i}$. Or, +$f ⋅ ψ_h ≤ (f(h)+η) ⋅ ψ_h$ : en un point hors de $hV$ c'est évident +car $ψ_h$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse sur $η$ et $V$. En sommant les deux majorations ainsi obtenues pour $φ$ et $φ ′$, on obtient : \[ @@ -408,7 +408,7 @@ auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe (Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nº4} ou bien \cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet -argument reposant sur le théorème de Tychonoff.) +argument reposant sur le théorème de Tikhonov.) Il résulte de ce qui précède et du passage à la limite que l'on a \[ I(φ+φ ′)=I(φ)+I(φ ′) @@ -419,10 +419,10 @@ $φ₁,φ₂ ∈ 𝒞_c(G)_+$ telles que $φ = φ₁ -φ₂$, par exemple $φ₁ et $φ₂=-\inf(f,0)$. On vérifie immédiatement que la quantité $I(φ):=I(φ₁)-I(φ₂)$ ne dépend pas de la décomposition choisie. La forme $φ ↦ I(φ)$ est une mesure de Haar. Remarquons qu'il -résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle, +résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ est une fonction non nulle, $I(φ)$ est strictement positif : $I(φ) ≥ (φ₀: φ)^{-1}$. (On peut aussi remarquer que l'on a -l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i φ$ +l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i φ_{h_i}$ si bien que $I(φ)=0$ ⇒ $I=0$.) Considérons l'unicité. Soient $μ$ et $ν$ deux mesures de Haar @@ -471,11 +471,11 @@ ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction, pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$. Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$ -— car $gG=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat. +— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat. Appliquant cette observation au cas des automorphismes intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable, on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$ -est également invariante \emph{à droite}. Le même argument +est également invariante \emph{à droite} lorsque $G$ est compact. Le même argument montre que toute mesure de Haar invariante à gauche est également invariante à droite lorsque $G$ est \emph{commutatif} mais non nécessairement compact. @@ -490,7 +490,7 @@ sur $Γ$ et $X$ respectivement. À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » : \[ -m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ). +m_Γ(f): g↦ μ_Γ([+g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ). \] Cette fonction est $Γ$-invariante et induit une fonction continue (à support compact) sur $X$, @@ -505,7 +505,7 @@ On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar dès que $Γ$ est un sous-groupe fermé de $G$ (non nécessairement discret ou cocompact). % Nachbin, p. 86. -Il résulte immédiatement de cette formule que pour tout +Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$, on a \[ @@ -527,14 +527,16 @@ soit satisfaite. Une autre approche pour intégrer sur le quotient consister à définir un \emph{domaine fondamental} dans $G$ et intégrer dessus. -Esquissons une construction. Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel +Esquissons une construction en conservant les notations du paragraphe précédent. +Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative). Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$. Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. (En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.) -Ainsi, il existe un nombre dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels +Supposons de plus $Γ$ \emph{dénombrable}. Sous cette hypothèse, +il existe donc une famille dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}. Alors, \[ @@ -558,11 +560,11 @@ le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$. Dans cette section nous allons montrer comment -construire une valeur absolue sur un corps topologique localement compact $K$ +construire une valeur absolue sur $K$ à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet} dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}). -Nous terminerons ce paragraphe par une démonstration du +Nous terminons par une démonstration du théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}. %en déduirons qu'une extension finie d'un corps local est un corps local. %Tout d'abord quelques résultats préparatoires. @@ -583,7 +585,7 @@ Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$ il existe un voisinage ouvert $U_{a,ε}$ du compact $aC$ tel $μ(U_{a,ε}) ≤ μ(aC)+ε$ (cf. \ref{mesure des ensembles}). -Soit $A$ un voisinage compact de $A$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$, +Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$, dont l'existence est assurée par la continuité du produit. Pour chaque $x ∈ A$, on a : \[ @@ -3017,6 +3019,8 @@ $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Soit $f$ un élément de ce complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{x ∉ U} |f_x|_x <c$. +[...] Cf. \jap{斎藤-加藤}.\XXX + \end{démo} \subsubsection{} |