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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-15 21:25:25 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-15 21:25:25 +0100
commit3ba6c94d45120b87c11dc86dc8d0339bfee15b9e (patch)
treea301ac4969fcda04c1bef863cc62163762b299c5 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] tout debut corps globaux et anneaux de Dedekind.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex108
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9bf097e..344c014 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2065,6 +2065,7 @@ Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
+(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
\subsubsection{}
@@ -2206,20 +2207,85 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}
-\subsubsection{}Dans le langage de \refext{AC}{normalisation,normal}, on a montré
-ci-dessus le résultat intermédiaire suivant : \emph{la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$ est contenue
-dans $𝒪_L( π^{-1}(U))$}. (Il s'agit en fait d'une égalité.)
-Le lien entre $𝒪_K(U)$ et $K$ est précisé par la proposition suivante.
+La structure des anneaux $𝒪_K(U)$ et leur lien avec $K$ est précisé
+par la proposition suivante.
+
+%\subsubsection{}Dans le langage de \refext{AC}{normalisation,normal}, on a montré
+%ci-dessus le résultat intermédiaire suivant : \emph{la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$ est contenue
+%dans $𝒪_L( π^{-1}(U))$}. (Il s'agit en fait d'une égalité.)
+%Le lien entre $𝒪_K(U)$ et $K$ est précisé par la proposition suivante.
\begin{proposition2}
-Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense.
-Le sous-ensemble $𝒪_K(U)$ est un sous-anneau intègre de $K$ et
-\[
-K=\Frac   𝒪_K(U).
-\]
+Soient $K$ un corps global, $U$ un ouvert dense de $K$, $L \bo K$
+une extension finie et $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
+\begin{enumerate}
+\item L'anneau $B=𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $A=𝒪_K(U)$ dans $L$.
+\item L'anneau $A$ est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
+Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
+(i) Notons $B′$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$.
+L'anneau $B$ est par définition l'intersection $⋂_{v ∈ V} 𝒪_{L,v}$
+des anneaux de valuation discrète $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L: |f|_v ≤ 1\}$ de $L$.
+Or, si $f ∈ L$ est entier sur $A$, il est entier sur chaque sur-anneau $𝒪_{K,u}$, $u ∈ U$,
+donc contenu dans $𝒪_{L,v}$ pour chaque $v↦ u$. Ainsi $B$ contient $B′$.
+Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
+et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
+est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G.b} (X-β))^{p^e}$
+à coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance
+de l'exposant caractéristique de $K$.
+(cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
+Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $λ↦ |g(λ)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
+donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
+de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$
+et, finalement, $B=B′$.
+
+(ii) Dans la situation précédente, si $A$ est un anneau de Dedekind,
+il en est de même de $B$ (cf. \refext{AVD-D}{Krull-Akizuki}).
+Notons que partant d'un corps $L$, on peut trouver $K$
+tel que $L\bo K$ soit séparable ; dans ce cas, $B$ est même
+un $A$-module de type fini (\refext{AC}{normalisation dans extension séparable}).
+Soit $W$ maintenant un ouvert dense de $L$, non nécessairement « saturé »,
+c'est-à-dire tel que $π^{-1} (π(W))=W$, où $π:Σ(L) → Σ(K)$). % mettre ultr.
+Considérons maintenant l'anneau $B= 𝒪_L(W)$. Il est intégralement clos
+d'après ce qui précède. Il existe d'autre part un ouvert
+dense saturé $W₀$ tel que $B₀=𝒪_L(W₀)$ soit contenu dans $B$.
+Si $B₀$ est de corps des fractions $L$, il en est donc de même de $B$.
+
+[...]
+
+$ ⊆ 𝒪_L(W₁)$.
+La démonstration de l'énoncé (ii) pour $𝒪_L(W)$ se ramène donc
+au cas saturé.
+
+
+
+
+Il résulte de ce qui précède et de
+
+
+est racine d'un polynôme
+$f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a₀=0$ où $a_i ∈ K$,
+il résulte de (ii) qu'il existe $a ∈ A$
+tel que chaque coefficient $a a_i$ soit dans $A$.
+En multipliant l'équation par $a^n$ on en déduit
+que l'élément $af ∈ B$ est entier sur $A$.
+tel que $af$ soit entier sur $A$.
+
+Soit $U$ l'ouvert dense de $K$ image de $V$.
+Il existe $b ∈ 𝒪_K(U)$ tel que chaque $b a_i ∈ 𝒪_K(U)$.
+En multipliant l'équation précédente par $b^n$, on constate
+donc que $bf$ est entier sur $𝒪_K(U)$, c'est-à-dire racine
+d'un polynôme unitaire à coefficients dans cet anneau.
+Comme on l'a vu dans démonstration précédente, $bf$ appartient donc
+à $𝒪_L(π^{-1}(U)) ⊆ 𝒪_L(V)$. L'inclusion est conséquence
+de l'inclusion $V ⊆ π^{-1}(U)$.
+Comme d'autre part $𝒪_K(U)$ est contenu dans $𝒪_L(V)$
+on a bien $f ∈ \Frac   𝒪_L(V)$.
+
+
Le fait que $𝒪_K(U)$ soit un sous-anneau est trivial car les valeurs
absolues considérées sont ultramétriques. Il est donc intègre : c'est un
sous-anneau d'un corps.
@@ -2240,22 +2306,20 @@ Montrons que l'on peut ramener le cas général
au cas particulier que nous venons de traiter.
Soient $L$ est une extension finie de $K$,
$V$ un ouvert dense de $L$, et $f ∈ L$. Cet élément est algébrique sur $K$ :
-$f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a₀=0$.
-Soit $U$ l'ouvert dense de $K$ image de $V$.
-Il existe $b ∈ 𝒪_K(U)$ tel que chaque $b a_i ∈ 𝒪_K(U)$.
-En multipliant l'équation précédente par $b^n$, on constate
-donc que $bf$ est entier sur $𝒪_K(U)$, c'est-à-dire racine
-d'un polynôme unitaire à coefficients dans cet anneau.
-Comme on l'a vu dans démonstration précédente, $bf$ appartient donc
-à $𝒪_L(π^{-1}(U)) ⊆ 𝒪_L(V)$. L'inclusion est conséquence
-de l'inclusion $V ⊆ π^{-1}(U)$.
-Comme d'autre part $𝒪_K(U)$ est contenu dans $𝒪_L(V)$
-on a bien $f ∈ \Frac   𝒪_L(V)$. \end{démo}
-
+\end{démo}
\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
-\subsubsection{}Blabla \XXX
+\subsubsection{}
+Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$ et de corps
+des constantes fini $k$. Pour chaque ouvert dense $U$ de $K$,
+l'anneau $𝒪_K(U)$ est de type fini sur $k$, c'est-à-dire engendré
+par un nombre fini d'éléments en tant que $k$-algèbre.
+Si $K=k(t)$, cela résulte du fait que $k(t)[1/P]$
+(cf. démonstration \emph{supra}) est de type fini.
+On passe de là au cas général en utilisant
+\refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
+et la proposition précédente.
\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme