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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-30 16:59:16 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-30 16:59:16 (GMT)
commit3efc75fbcce066a71997e1ad99b2ac38e2a4aeaa (patch)
tree269bceeacc1bd6b7a2689f1323a0e72f02a4497d /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] sorites vers le groupe de Picard
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex112
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 54e7d90..1b7e6a2 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3185,6 +3185,14 @@ dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
\cite[chap. 29]{Zahlen@Hasse} pour des démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}
+\begin{remarque2}
+Lorsque $K$ est un corps de nombre, on peut montrer
+(théorie du corps de classe) que le groupe $C_K$
+se surjecte naturellement (mais non trivialement) sur
+l'abélianisé du groupe de Galois de $K$ ; le noyau
+de ce morphisme est la composante neutre de $C_K$. \XXX
+\end{remarque2}
+
\begin{démo}
Soit $U$ comme dans l'énoncé.
Montrons le premier point.
@@ -3235,75 +3243,80 @@ La conclusion résulte aussitôt de la théorie
Cf. \cite{} \XXX.
\end{démo}
-\subsubsection{}Mesure.
-
-\begin{théorème2}
-Soit $K$ un corps global.
-La norme $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ se factorise à travers le
-quotient $C_K$ et induit un isomorphisme
-\[
-C_K ∕ C¹_K ⥲ 𝐑_{>0} (\text{resp. } q^𝐙)
-\]
-si $K$ est un corps de nombres (resp. un corps de
-fonctions).
-Dans le premier cas, on dispose d'une section
-\emph{canonique}.
-\end{théorème2}
-
-Le fait que l'on tombe sur $q^𝐙$ et pas $q^{n 𝐙}$,
-c'est-à-dire qu'il existe un diviseur de degré $1$, est non
-trivial. (Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}
+
+\subsubsection{}
+Soit $K$ un corps global. Le morphisme « norme »
+$K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$, $(f_x)↦ ∏_x |f_x|_x$, se factorise par
+la formule du produit en un morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$,
+dont le noyau est le groupe compact $C_K^{=1}$.
+Si $K$ est un corps de nombres, le morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$
+est \emph{surjectif} et possède une section canonique
+envoyant un réel $t$ strictement positif sur la classe
+de l'idèle $(f_x)$, où $f_x=t^{1/[K:𝐐]}$ si $x$ est archimédien
+et $f_x=1$ sinon. Si $K$ est un corps de fonctions,
+l'image de la norme est trivialement un sous-groupe de la forme
+$q^{n 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$
+et $n$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer,
+cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $n=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas
+de section canonique.
+
+\begin{remarque2}
+Le fait que l'entier $n$ ci-dessus soit égal à $1$
+revient à dire, dans le langage qui sera introduit ci-dessous,
+qu'il existe sur $K$ un « diviseur de degré $1$ ».
+%Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
+\end{remarque2}
+
D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
\ref{quasi-caractères Z}, on a :
\begin{proposition2}
-Le groupe des quasi-caractères de $C_K$ est un groupe de Lie
+Le groupe des quasi-caractères des classes d'idèles $C_K$ est un groupe de Lie
complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙 ≃ 𝐂^×$ dans le cas
d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
-est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C¹_K$.
+est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C_K^{=1}$.
Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
-\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$.
+\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$ pour toute classe $ι ∈ C_K$.
\end{proposition2}
On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).
-
Comme en \ref{notation quasi-caractère dual}, on note $\chap{χ}$
le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.
-\subsubsection{Caractères de Hecke}
-
-\XXX
-
+\subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX
\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
+\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}
\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons
$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝐙$ des
-\emph{diviseurs} de $K$.
-
-\begin{lemme2}
-Pour chaque fonction non nulle $f ∈ K^×$,
-la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, est presque
-partout nulle.
-\end{lemme2}
-
-\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}
-
-On note
-\[
-\div(f)=∑_{x ∈ } x(f) ⋅ x ∈ ⨁_{x ∈ Σ(K)} 𝐙 ;
-\]
-l'image de $\div$ est constituée des \emph{diviseurs principaux} de $K$.
-Plus généralement, on peut définir le diviseur d'un idèle \XXX.
-
-Diviseurs effectifs $\Div_+(K)$ ; relation d'ordre.
+\emph{diviseurs} de $K$. On peut reformuler \ref{normes fonction presque toutes petites}
+en disant que toute élément non nul $f$ de $K$ définit
+un diviseur, en posant :
+\[
+\div(f)=∑_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} v_x(f) ⋅ x ∈ \Div(K),
+\]
+où $v_x:K_x^× ↠ 𝐙$ est la valuation normalisée. 
+Les diviseurs obtenus ainsi sont appelés \emph{diviseurs principaux} de $K$.
+(On peut bien sûr définir le diviseur d'un idèle quelconque de $K$ ;
+le morphisme $K^×_𝐀 → \Div(K)$ ainsi obtenu est alors surjectif.)
+On appelle \emph{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
+« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus
+général.} tout élément du sous-monoïde $\Div_+(K)$ de $\Div(K)$
+des diviseurs à coordonnées toutes positives ou nulles.
+À ce sous-monoïde est associé une relation d'ordre :
+on dit que $D=∑_x n_x ⋅ x$ est supérieur ou égal à $D′ = ∑_x n_x′ ⋅ x$
+si et seulement si $D - D′ ∈ \Div_+(K)$, c'est-à-dire $n_x ≥ n_x′$ pour
+chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}$.
+\subsubsection{}
+\label{formule du produit additive}
Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
constantes $k$, considérons également l'application
\[
@@ -3312,17 +3325,10 @@ constantes $k$, considérons également l'application
\[
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]
-
En d'autres termes, on étend la fonction $\deg(x)=[κ(x):k]$
-à $\Div(K)$ par additivité.
-
-On a la formule des résidus suivante.
-
-\begin{lemme2}
+à $\Div(K)$ par additivité. La formule du produit
+(\ref{formule du produit}) se traduit en la « formule des résidus » suivante :
\[\deg ∘ \div =0.\]
-\end{lemme2}
-
-C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.
\subsubsection{}
\label{définition Pic}