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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-01 17:05:44 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-01 17:05:44 +0100
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[LG] modifications mineures pour clarifier dépendance en ψ, choix des mesures etc.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex148
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index b0a8988..5f93a2a 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -986,7 +986,7 @@ Cela devrait avoir un rapport avec Riemann-Hurwitz \XXX.
Trivial : cf. \ref{}.\XXX
\end{démo}
-\subsection{Transformation de Fourier}
+\subsection{Transformation de Fourier locale}
\subsubsection{Espace de Schwartz}
\label{BS-local}
@@ -2633,16 +2633,16 @@ et induisent donc une fonction $ℱ_ψ(f)=⊠′_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sur $K_𝐀
De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
-\XXX Si l'on note $μ_ψ=\colim μ_{ψ_x}$ la mesure de Radon sur $K_𝐀$ déduite
-des $μ_{ψ_x}$, définie par
+\XXX Si l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=\colim μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ la mesure de Radon sur $K_𝐀$ déduite
+des $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$, définie par
\[
-μ(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ_U,
+μ^{\mbox{\minus $+$}}(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ^{\mbox{\minus $+$}}_U,
\]
où [...] (cf. \ref{mesure produit-colimite}).
On a bien sûr l'égalité
\[
-ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ_ψ
+ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où
$ψ_t=[× t]^* ψ$.
@@ -2731,7 +2731,11 @@ Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$.
\begin{enumerate}
\item Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
-aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$. Alors, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(K_𝐀/K)=1$.
+aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$. Elle est indépendante
+de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus
+$+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
+telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀/K)=1$.
+
\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
@@ -2746,17 +2750,25 @@ on a :
\end{enumerate}
\end{théorème2}
-\subsubsection{}
-Il résulte des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item
+Le fait que la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
+de $ψ$, qui est un corollaire du théorème précédent, résulte
+immédiatement des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
de la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}) et
-la formule du produit (\ref{formule du produit})
-que la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, par opposition
-à la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
-des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures
-Tamagawa locales}.
-La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ est appelée
-\emph{mesure de Tamagawa}.
+la formule du produit (\ref{formule du produit}).
+Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa
+avec la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
+des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}.
+\item
+Notons que le terme de droite de (iii) dépend \emph{a priori} du
+choix de $ψ$ (car il en est ainsi de $ℱ_ψ(f)$), contrairement au terme de gauche.
+Or, il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} et de la formule
+du produit que si $a ∈ K^×$, on a $ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$.
+L'indépendance du terme de droite en résulte aussitôt.
+\end{enumerate}
+\end{remarque2}
\subsubsection{Démonstration du (ii)}
@@ -3264,89 +3276,100 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected
algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
+\subsubsection{Mesures}
+Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$.
+Rappelons que l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar additives locales
+(auto-duales) et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar multiplicatives locales
+associées comme en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
+La mesure de Haar additive globale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$
+est indépendante de $ψ$ et est notée $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
+(cf. \ref{Fourier adélique}). De même, la mesure de Haar multiplicative globale
+$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
+est indépendante de $ψ$. On la note naturellement $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$.
+Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale
+n'est pas canonique, contrairement à la décomposition
+de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique.
+
\subsubsection{Esquisse}
Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$,
$ψ$ un caractère de $K_𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
-la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
+la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$
et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
-ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≥1}_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} = ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}, \\
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} = ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}, \text{ et enfin} \\
-ζ_ψ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} = ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s).
+ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \\
+ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \text{ et enfin} \\
+ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
%Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}.
+Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à
+$K^{×, ≥1}_𝐀$ et $K^{×, ≤1}_𝐀$ respectivement.
+
Lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile car
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.
-\subsubsection{}Clarifier dépendance en $ψ$ et définition de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$.
-(Lien avec mesure de Tamagawa ?)
-Remarque : $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$.
-\XXX
-
-
\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe
sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée
-de Mellin $ζ_ψ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
+de Mellin $ζ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10.
-La transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
+La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.
\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
\label{calcul zeta1khis}
-Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
+Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
caractères). Si par contre $χ$ est trivial
sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de
$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme
-$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ_ψ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
+$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
on a :
\[
\begin{array}{rcll}
-ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ_ψ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
-& = & \frac{κ_ψ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
En effet, on trouve respectivement l'intégrale
\[
-κ_ψ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
+κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
\]
et la somme
\[
-κ_ψ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
+κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
\]
(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
-Le même calcul s'applique à $ζ_{ψ, ≥1}(𝟭,χ,s)$.
+Le même calcul s'applique à $ζ_{ ≥1}(𝟭,χ,s)$.
\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
-Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
-sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι)$
+Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
+sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι)$
sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
\[
\begin{array}{rcl}
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι) \\
- & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
+ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι) \\
+ & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}.
\end{array}
\]
D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
\[
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) =
-ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
+ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) =
+ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
\]
Le terme de droite étant une fonction méromorphe,
il résulte de cette égalité que le terme de gauche,
@@ -3357,8 +3380,8 @@ Ces extensions sont notées de la même façon.
\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$
est égale à
\[
-\big( ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
-\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
+\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
+\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
\]
où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus,
apparaît seulement si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
@@ -3366,43 +3389,48 @@ Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de
que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème
local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.
+\subsubsection{}
+Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
+En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé
+en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or,
+$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
+et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.
+
\begin{théorème2}
\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
-Soient $K$ un corps global, $ψ$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
+Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
-\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est absolument convergente et définit une fonction
-holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
+\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
+holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s).
+ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s).
\]
-[dépendance en $ψ$ ?] \XXX
-
-\item La fonction $s↦ ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
+\item La fonction $s↦ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
+ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\item Leurs résidus respectifs sont
\[
\begin{array}{rcll}
-\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ_ψ(f,ω_σ,s) & = & κ_ψf(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
- & = & κ_ψf(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ(f,ω_σ,s) & = & κf(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+ & = & κf(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
et
\[
\begin{array}{rcll}
-\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ_ψ(f,ω_σ,s) & = & κ_ψℱ_ψ(f)(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
- & = & κ_ψℱ_ψ(f)(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ(f,ω_σ,s) & = & κℱ_ψ(f)(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+ & = & κℱ_ψ(f)(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
et ces pôles, simples, sont les seuls.
[$ω_{1-σ}$ \XXX]
En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent
-à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ_ψ(f,χ,s)$ est \emph{entière}.
+à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ(f,χ,s)$ est \emph{entière}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -3412,10 +3440,10 @@ Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
(resp. un singleton).
Enfin, notons que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
-$ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$, on a $ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s)$
+$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$
et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable
\[
-ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ}),
+ζ(f,χ)=ζ(\chap{f},\chap{χ}),
\]
où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement
au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
@@ -3436,11 +3464,11 @@ Fixons un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ et notons $S$ l'ensemble
de $x ∈ Σ(K)$ tels que $n(ψ_x) ≠ 0$ ou $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Il résulte de la formule
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)=∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)
+ζ(f,χ,s)=∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)
\]
et de \ref{Matchett} que l'on a
\[
-ζ_ψ(f,1,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S} \frac{ζ_{ψ_x}(f_x,1,s)}{ζ_{K_x}(s)}.
+ζ(f,1,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S} \frac{ζ_{ψ_x}(f_x,1,s)}{ζ_{K_x}(s)}.
\]
On obtient
\[