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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:11:42 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:11:42 +0100
commit44088f8889a4e650bac2af98f8d68835e9a16301 (patch)
tree09c0a5e4d4e758f67498fa6cf0a1458bd75db276 /chapitres/locaux-globaux.tex
parenta1b46e711a3942e4a6f6e84ef15e84a3edec91f4 (diff)
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[LG] suppression démonstration ad hoc finitude Pic
À mettre en exercice ? (Itou pour Dirichlet ?)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex39
1 files changed, 0 insertions, 39 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 097a6fa..7945c3e 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2161,45 +2161,6 @@ et
$\Pic⁰_K$ est fini.
\end{corollaire2}
-\begin{démo}[Seconde démonstration directe dans le cas des corps de nombres]
-\XXX
-Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
-Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
-Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
-supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
-Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
-les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
-$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
-il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
-Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
-du lemme \ref{déterminant-norme}.
-Admettons un instant le fait suivant :
-\begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
-existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
-\end{quote}
-Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
-et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
-un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
-(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
-Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
-$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
-car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
-Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
-$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
-Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
-Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
-tel que
-$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
-$$
-Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
-deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
-appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
-$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
-\end{démo}
-
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.