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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 12:55:37 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 12:55:37 (GMT)
commit45a30d652545b1f7a71229f67e601dfaefd9806c (patch)
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[LG] Spec(𝒪_K(U))=U : fin ; changement d'étiquettes
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex118
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index 7ffde1f..c4a651e 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2353,16 +2353,66 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}
+\subsubsection{}
+\label{normalité triviale}
+Si $U$ est un ouvert dense de $K$,
+l'anneau $𝒪_K(U)$ est \emph{normal} car c'est l'intersection
+$⋂_{u ∈ U} K_u^+$ des sous-anneaux normaux $K_u^+=\{f ∈ K: |f|_u ≤ 1\}$
+de $K$. Disons que l'ouvert $U$ est \textbf{affine}
+si $K$ est un corps de nombres ou bien si $K$ est un corps de fonctions et $U ≠
+Σ(K)$.
+
\begin{proposition2}
-\label{fonctorialité et clôture intégrale}
-Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
-\begin{enumerate}
-\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal ;
-c'est une anneau de Dedekind de corps
-des fractions $K$ lorsque $U$ est \textbf{affine},
-c'est-à-dire si $K$ est un corps de nombres ou bien
-si $K$ est un corps de fonctions et $U ≠ Σ(K)$.
+\label{OKU Dedekind}
+%\label{fonctorialité et clôture intégrale}
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert \emph{affine} dense de $K$.
+Alors, l'anneau $𝒪_K(U)$ un \emph{anneau de Dedekind} de corps des fractions $K$
+et l'application naturelle $U → \Specmax 𝒪_K(U)$ envoyant $u$ sur
+la trace de $K_u^{++}=\{f ∈ K: |f|_u < 1\}$ est une \emph{bijection}.
+\end{proposition2}
+
+\XXX Question : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ?
+
+\begin{démo}
+Montrons le premier énoncé, en distinguant deux cas.
+Si $K$ est un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
+de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
+$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
+Pour vérifier que l'anneau normal $𝒪_K(U)$ est de Dedekind,
+il suffit de montrer qu'il est nœthérien de dimension $1$ ;
+cela résulte du théorème de Krull-Akiduki (\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
+Si $K$ est un corps de fonctions, voir \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
+% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
+Vérifions maintenant le dernier point.
+L'application $U → \Specmax(A)$ de l'énoncé
+\commentaire{J'utilise de nouvelles notations...}
+envoie $u$ sur l'image dans $\Spec(A)$ du point fermé de $\Spec(K_u^+)$
+déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A
+⋂ K_u^{++})$ s'injecte dans le corps fini $K_u^+ / K_u^{++}$.
+(On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.)
+Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
+\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
+$Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
+induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
+telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$
+est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal
+premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion
+du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
+on a $|b|_u=1$), d'où l'égalité $A_{𝔭_u}=K_u^+$
+(\refext{AVD-D}{conditions équivalentes anneau valuation}).
+L'application $U → \Specmax(A)$, injective d'après ce qui précède,
+est surjective car si $v ∉ U$, il existe d'après \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind}
+un élément de $K$ qui est $U$-entier, donc dans $A$, mais pas $v$-entier.
+\end{démo}
+Considérons maintenant un résultat de finitude.
+
+\begin{proposition2}
+\label{fonctorialité anneau des Uentiers}
+Soient $K$ un corps global, $L\bo K$ une extension finie
+et $U$ un ouvert dense de $K$.
+\begin{enumerate}
\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
l'anneau $𝒪_L(U)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
@@ -2374,13 +2424,8 @@ $𝒪_L(U)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
Pour la notation $𝒪_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
-Questions : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ?
-$\Spec(𝒪_K(U′))=\Spec(𝒪_K(U)) - (U ∖ U′)$ ? Sauf erreur oui d'après
-l'approximation dans les Dedekind.\XXX
-
-
\begin{démo}
-(ii) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
+(i) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
$B=𝒪_L(U):=𝒪_L(V)$. Considérons également la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
@@ -2407,40 +2452,8 @@ corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre
(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
\refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}.
-(i) La normalité de $A=𝒪_K(U)$ a été démontrée en cours de route ;
-l'anneau $A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
-\commentaire{notation merdique : $𝒪_{K,u}$ devrait être dans $K$, $=K_u^+$...}
-
-
-— Si $K$ est un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
-de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
-$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
-Montrons que l'anneau $𝒪_K(U)$ est de Dedekind.
-Il est intégralement clos ; il suffit donc de montrer qu'il est nœthérien
-de dimension $1$. Cela résulte du théorème de Krull-Akiduki
-(\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
-
-— Si $K$ est un corps de fonctions, le fait que $𝒪_K(U)$ soit
-un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$, lorsque $U$
-est un ouvert dense \emph{affine},
-est démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
-% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
-
-Vérifions maintenant le dernier énoncé. Soit $u ∈ U$.
-L'application naturelle $U → \Specmax(A)$ n'est autre
-que le morphisme envoyant $u$ sur l'image du point fermé
-de $\Spec(K_u^+)$ dans $\Spec(A)$ déduit de l'inclusion
-$A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/𝔭_u$ s'injecte dans le
-corps fini $K_u^+ / K_u^{++}$.
-\commentaire{J'utilise de nouvelles notations...}
-Rappelons que $\Specmax(A)$ est naturellement en bijection avec un sous-ensemble
-$V$ de $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ [détailler  ; cela entraîne injectivité
-de $U → \Specmax$ \XXX] et que $A = ⋂_{v} K_v^+$.
-L'application $U → \Specmax(A)$ est surjective car si $v ∉ U$,
-il existe d'après \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind}
-un élément de $K$ qui est $U$-entier, donc dans $A$, mais pas $v$-entier.
-(iii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
+(ii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.
L'injection $𝒪_K(U)^d → 𝒪_L(V)$ déduite des $α_i$ devient
un isomorphisme sur $K$, donc — puisque c'est un morphisme
@@ -2856,7 +2869,7 @@ $L_𝐀$ est un $K_𝐀$-module libre de rang fini (égal à $[L:K]$) ;
cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}.
\begin{démo}
-D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale},
+D'après \ref{fonctorialité anneau des Uentiers},
il existe un ouvert dense $U$ de $K$, et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(U)$,
où $d=[L:K]$, tels que $𝒪_L(U)=𝒪_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ 𝒪_K(U) α_d$,
le terme de gauche étant comme expliqué en \ref{notation OLU}.
@@ -3412,8 +3425,8 @@ et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
\subsubsection{}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
Supposons que $𝒪_K(U)$ soit un anneau de Dedekind de corps
-des fractions $K$. (D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale} (i),
-il en est ainsi sauf si $K$ est un corps de fonctions et $U=Σ(K)$.)
+des fractions $K$. (D'après \ref{OKU Dedekind},
+il en est ainsi sauf si $U$ est \emph{affine}.)
L'application $U ⥲ \Specmax(𝒪_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'étend par linéarité
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
@@ -4255,7 +4268,7 @@ que l'anneau $𝒪_K(U)$ est de type fini sur $k$
On sait de plus qu'il est normal (cf. \ref{}) ; c'est donc un anneau de Dedekind.
Enfin, lorsque $U=Σ(K)$, on considère un
sous-corps global premier arbitraire $K₀$ de $K$.
-Il résulte de \ref{fonctorialité et clôture intégrale} que $𝒪_K(Σ)$ est la clôture
+Il résulte de \ref{fonctorialité anneau des Uentiers} que $𝒪_K(Σ)$ est la clôture
intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$. On a vu
en \ref{sections globales droite projective} que $𝒪_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$.
La conclusion en résulte.
@@ -4273,7 +4286,8 @@ sur $𝐅_p$.
déjà été obtenus en \ref{sections globales droite projective}
dans le cas particulier d'un corps de fonctions rationnelles $𝐅_p(t)$.
\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
-affine n'est pas une localisation. %(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
+affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
+%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
\end{enumerate}
\end{remarques2}