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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-05 11:08:53 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-05 11:08:53 +0100
commit4707e32f717513621437b01b4561da9b71b6c62b (patch)
treedba52ed47706c125d4364d6c16134c923749981d /chapitres/locaux-globaux.tex
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index 3868bee..a25d609 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1258,7 +1258,7 @@ fonction zêta. Pour de plus amples développements,
incluant la formule d'inversion, voir par exemple
\cite[§1.5]{Fourier@Titchmarsh}.
Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
-Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$
+Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$,
par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
\[
ζ_{≤1}(f,s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
@@ -1268,12 +1268,12 @@ Lorsque $f(t) ∼ ∑_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}$
en $0$\footnote{Cette notation signifie que
pour chaque entier $n ≥ 1$, on a
$f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
-où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$
+— où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$ —
on peut pour chaque $n$ écrire
\[
ζ_{≤ 1}(f,s)=
∫₀¹(f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
-+ ∑_0^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
++ ∑_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
\]
où le premier terme est, d'après ce qui précède,
holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
@@ -1288,9 +1288,22 @@ Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \emph{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
\[
-ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s).
+ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
\]
+\begin{remarque2}
+On vérifie sans peine (\XXX) que les caractères du groupe topologique localement
+compact $G=𝐑^×_+$ ne sont autres que les $t↦ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
+pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
+sur $G$. Ainsi, la transformée de Mellin, du moins restreinte à des
+droites verticales de $𝐂$, peut être vue comme un cas particulier
+de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., Katznelson,
+« An introduction… », chap. VII). Notons également que
+ce lien est également visible en faisant le changement de variable
+$t=e^x$, qui échange transformée de Mellin et transformée de Fourier
+sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier… », § 2.6 p. 103
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{Exemple}
\label{exemple Mellin réel}
Si $λ$ est un réel strictement positif,
@@ -1299,11 +1312,12 @@ sur $𝐂$, où
\[
Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
est la fonction Gamma usuelle.
-Cette formule est également valable lorsque $λ=0$
-la fonction $e^{- λt}$ étant alors égale
-à la fonction constante $𝟭$.
-En effet, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
-et $ζ_{≥1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$ d'où $ζ(𝟭)=0$.
+Cette formule est également valable lorsque $λ=0$ :
+on a $ζ(𝟭)=0$, où $𝟭$ désigne ici la fonction constante
+égale à $1$. En effet, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
+et $ζ_{≥1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$. (Notons cependant
+que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
+pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
@@ -1381,6 +1395,7 @@ Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge à $\{s:s>0\}$.
+\end{remarque2}
\begin{exercice2}
Montrer, à la manière d'Euler, que
@@ -3240,6 +3255,8 @@ On obtient
\]
[...]
+Voir Weil, p. 130 pour un argument formel faisant apparaître le
+polynôme numérateur de $ζ_K$ dans le cas des corps de fonctions.
Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.