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[LG] démonstration de la moitié (difficile) de l'hypothèse de Riemann pour les courbes
méthode de Bombieri, via l'« échange tordu du demi-Frobenius » [?].
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index d6e4e40..a8ece05 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4305,7 +4305,8 @@ particulier, son degré est $-2$ et le genre $g=½\deg(𝔠)+1$ est nul. \begin{corollaire2} \label{RR et existence de fonctions} -Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$. +Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, +\[l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1.\] \end{corollaire2} \begin{démo} @@ -4317,6 +4318,20 @@ d'où $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≥ 0$. Absurde. \end{démo} \begin{corollaire2} +\label{RR et croissance l} +Si $\deg(𝔟) ≥ 0$ +\[l(𝔞) ≤ l(𝔞+𝔟) ≤ l(𝔞)+\deg(𝔟).\] +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +La première inégalité — croissance de $l$ — résulte immédiatement +de la définition : si $𝔡 ≥ 𝔡′$ alors $L(𝔡′) ⊆ L(𝔡)$. +D'après le théorème de Riemann-Roch, on a également +l'égalité $l(𝔞+𝔟)=l(𝔞)+\deg(𝔟)+\big(l(𝔠-(𝔞+𝔟))-l(𝔠-𝔞)\big)$. +Le dernier terme est négatif d'après ce qui précède. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} \label{existence de fonctions ayant pôles imposés} Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble \emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Y$. @@ -5403,10 +5418,11 @@ avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, on trouve immédiatement le fait suivant. \begin{proposition2} +\label{formule-des-traces} Il existe $2g$ nombres algébriques $α₁,…,α_{2g}$ tels que pour chaque entier $n ≥ 1$, on ait \[ -N(n)=q+1-∑₁^{2g} α_i^n. +N(n)=1-\big(∑₁^{2g} α_i^n\big)+q. \] De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$. %et satisfait la relation $∏_1^{2g} α_i=q^g$. @@ -5444,62 +5460,119 @@ montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant. \begin{théorème2}[Weil] -Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, on a $|α_i|=√q$. +Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $√q$. De façon équivalente, on a \[ -|N_X(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2} +|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2} \] pour chaque entier $n ≥ 1$. \end{théorème2} -Dans cet énoncé, $|z|$ désigne le module usuel $(z \sur{z})^½$ d'un nombre complexe. -L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX +D'après \ref{formule-des-traces}, la majoration de la différence +$|N(n)-(1+q^n)|$ est conséquence immédiate des égalités $|α_i|=q^{½}$. +La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX \subsubsection{Stratégie} Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, -pour chaque entier $n$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$ +pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$ de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$ définis en \ref{notation-Xk}. Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur -$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$ (par composition -d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation -avec la puissance $q$, $\sur{k} ∪ \{∞\} → \sur{k} ∪ \{∞\}$). +$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$. (Explicitement : +par composition d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation +avec la puissance $q$ de $\sur{k} ∪ \{∞\}$ dans lui-même.) Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps -$k(t)$, dont on note $𝐏¹$ l'ensemble des places ultramétriques. -Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹(\sur{k})$ et si le morphisme -correspondant est net, il existe un unique $g ∈ G$ tel -que $\Frob_k(x)=g(x)$. Il en résulte +$k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}). +Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹_k(\sur{k})$ et si le morphisme +correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel +que $\Frob_k(x)=σ(x)$. Il en résulte que \[ -1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \#\Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1). +1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1). \] -Le terme supplémentaire est là pour tenir compte des points de ramification. +Le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification, +en nombre fini. Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des -ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également +ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$. \begin{théorème2}[Bombieri] -Supposons $q=p^α$ avec $α$ pair, $q>(g+1)⁴$ -et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$. -Alors pour tout $g ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration +Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$, +satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$. +Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration \[ -\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}. +\# \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}. \] \end{théorème2} -\begin{démo} -Posons $φ=g^{-1}\Frob_k$. -Notons $ℒ_n=L(n ⋅ x)$ l'ensemble des fonctions $f ∈ K$ -telles que $\div(f) ≥ - n x$. [...] - -\end{démo} +L'existence d'une $k$-place dans $X(k)$ est équivalente à l'existence +d'un diviseur \emph{effectif} de degré $1$ sur $X$ (\ref{définition diviseur +effectif}). +%(Un tel diviseur est également appelé \emph{diviseur premier de degré $1$}.) +\commentaire{introduire « échange tordu du $½$-Frobenius » pour motiver ?} +\begin{démo} +Notons $ℒ_n$ l'ensemble $L(nx)$ des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ - n +x$, et $l_n$ sa dimension sur $k$ (cf. \ref{Poisson implique RR}). D'après +\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)$ est croissante et $l_n ≤ l_{n-1}+1$. +Notons $S$ l'ensemble des indices $n ∈ 𝐍$ pour lesquels $l_n=l_{n-1}+1$ +(« saut »), et choisissons pour chaque $s ∈ S$ une fonction $f_s ∈ ℒ_s - ℒ_{s-1}$. +\commentaire{introduire notation $\div_∞$} +On a donc $\div_∞(f_s)=sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts +inférieurs à un entier donné $N$, les fonctions $f_s$, pour $s ∈ S_{≤ N}$, +forment une \emph{base} de $ℒ_N$. Appliquons ce qui précède aux entiers $N=q′-1$ +et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant : +\begin{quote} +\emph{les fonctions $f_s {f_{t}}^{q′}$, pour $s ∈ S_{≤ N}$ et $t ∈ S_{≤ M}$, sont +$k$-linéairement indépendantes.} +\end{quote} +Pour ce faire, il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement +indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients +$λ_s$ sont non nuls, il existe deux indices $s₁ ≠ s₂ ∈ S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′} +f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui +est exclu car $s₁,s₂ ≤ N < q′$. + +Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$ +image de $ℒ_N ⊗_k ℒ_M^{q′}$ par l'application produit est de dimension $l_{N,M}=l_N ⋅l_M$. +Par Riemann-Roch, on a la minoration +\[ +l_{N,M} ≥ (N-g+1)(M-g+1)=(q′-g)(q′+g+1)=q+q′-g(g+1) . +\] +\end{démo} +Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;g}$ de $K$ +image de $\big(ℒ_M ⊗_k σ^{-1}ℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. +Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′g(x)\big)$, de l'inégalité +$\deg(Mx+N q′ g(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration +\[ +l_{M,N;g}=\dim_k ℒ_{M,N;g} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1. +\] +Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;g}$ si bien que l'application +$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;g}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σ^{-1}f_s)^{q′}$ +— « échange tordu du demi-Frobenius » — est de noyau non trivial. +Il existe donc des fonctions $h_s$ dans $ℒ_M$ +telles +\[ +f ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s^{q′} f_s ≠ 0 +\] +\[ +g=∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σ^{-1}f_s)^{q′}=0. +\] +Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ +non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$. +\commentaire{vérifier $σ$ ou $σ ^{-1}$...} +Comme $φ(f_s)=φ(σ^{-1}f_s)^{q}$, on a +$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σ^{-1}f_s)^q=φ(g)^{q′} =0$. +D'après \ref{} \XXX, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ +est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$. +Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$, +le cardinal recherché est donc inférieur ou égal +à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD. \[⁂\] @@ -5627,6 +5700,8 @@ l'analyse harmonique, on trouvera de beaux survols historiques dans \cite{scope@Mackey}. Pontrâgin : \cite[§6]{Pontryagin@Morris} et \cite[§12]{representations@Kirillov}. Analyse harmonique : \cite{harmonic@Loomis}. +Hypothèse de Riemann : \cite{Fried-Jarden} (eux-même inspirés par Bombieri). + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |