[LG] démonstration de la moitié (difficile) de l'hypothèse de Riemann pour les courbes

 méthode de Bombieri, via l'« échange tordu du demi-Frobenius » [?].

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@@ -4305,7 +4305,8 @@ particulier, son degré est $-2$ et le genre $g=½\deg(𝔠)+1$ est nul.
 
 \begin{corollaire2}
 \label{RR et existence de fonctions}
-Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$.
+Si $\deg(𝔞) > 2g-2$,
+\[l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1.\]
 \end{corollaire2}
 
 \begin{démo}
@@ -4317,6 +4318,20 @@ d'où $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≥ 0$. Absurde.
 \end{démo}
 
 \begin{corollaire2}
+\label{RR et croissance l}
+Si $\deg(𝔟) ≥ 0$
+\[l(𝔞) ≤ l(𝔞+𝔟) ≤ l(𝔞)+\deg(𝔟).\]
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+La première inégalité — croissance de $l$ — résulte immédiatement
+de la définition : si $𝔡 ≥ 𝔡′$ alors $L(𝔡′) ⊆ L(𝔡)$.
+D'après le théorème de Riemann-Roch, on a également
+l'égalité $l(𝔞+𝔟)=l(𝔞)+\deg(𝔟)+\big(l(𝔠-(𝔞+𝔟))-l(𝔠-𝔞)\big)$.
+Le dernier terme est négatif d'après ce qui précède.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
 \label{existence de fonctions ayant pôles imposés}
 Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
 \emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Y$.
@@ -5403,10 +5418,11 @@ avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions},
 on trouve immédiatement le fait suivant.
 
 \begin{proposition2}
+\label{formule-des-traces}
 Il existe $2g$ nombres algébriques $α₁,…,α_{2g}$ tels que pour chaque entier $n ≥ 1$,
 on ait
 \[
-N(n)=q+1-∑₁^{2g} α_i^n.
+N(n)=1-\big(∑₁^{2g} α_i^n\big)+q.
 \]
 De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$.
 %et satisfait la relation $∏_1^{2g} α_i=q^g$.
@@ -5444,62 +5460,119 @@ montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1
 L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
 
 \begin{théorème2}[Weil]
-Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, on a $|α_i|=√q$.
+Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $√q$.
 De façon équivalente, on a
 \[
-|N_X(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
+|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
 \]
 pour chaque entier $n ≥ 1$.
 \end{théorème2}
 
-Dans cet énoncé, $|z|$ désigne le module usuel $(z \sur{z})^½$ d'un nombre complexe.
-L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX
+D'après \ref{formule-des-traces}, la majoration de la différence
+$|N(n)-(1+q^n)|$ est conséquence immédiate des égalités $|α_i|=q^{½}$.
+La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX
 
 \subsubsection{Stratégie}
 
 Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, 
-pour chaque entier $n$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
+pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
 de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$
 définis en \ref{notation-Xk}.
 Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
 $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
 fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur
-$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$ (par composition
-d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation
-avec la puissance $q$, $\sur{k} ∪ \{∞\} → \sur{k} ∪ \{∞\}$).
+$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$. (Explicitement :
+par composition d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation
+avec la puissance $q$ de $\sur{k} ∪ \{∞\}$ dans lui-même.)
 
 Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps
-$k(t)$, dont on note $𝐏¹$ l'ensemble des places ultramétriques.
-Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹(\sur{k})$ et si le morphisme
-correspondant est net, il existe un unique $g ∈ G$ tel
-que $\Frob_k(x)=g(x)$. Il en résulte
+$k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}).
+Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹_k(\sur{k})$ et si le morphisme
+correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel
+que $\Frob_k(x)=σ(x)$. Il en résulte
 que
 \[
-1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \#\Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
+1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
 \]
-Le terme supplémentaire est là pour tenir compte des points de ramification.
+Le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification,
+en nombre fini.
 Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
-ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également
+ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également
 minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
 
 
 \begin{théorème2}[Bombieri]
-Supposons $q=p^α$ avec $α$ pair, $q>(g+1)⁴$
-et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
-Alors pour tout $g ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
+Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$,
+satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
+Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
 \[
-\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
+\# \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
 \]
 \end{théorème2}
 
-\begin{démo}
-Posons $φ=g^{-1}\Frob_k$.
-Notons $ℒ_n=L(n ⋅ x)$ l'ensemble des fonctions $f ∈ K$
-telles que $\div(f) ≥ - n x$. [...]
-
-\end{démo}
+L'existence d'une $k$-place dans $X(k)$ est équivalente à l'existence
+d'un diviseur \emph{effectif} de degré $1$ sur $X$ (\ref{définition diviseur
+effectif}).
+%(Un tel diviseur est également appelé \emph{diviseur premier de degré $1$}.)
 
+\commentaire{introduire « échange tordu du $½$-Frobenius » pour motiver ?}
 
+\begin{démo}
+Notons $ℒ_n$ l'ensemble $L(nx)$ des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ - n
+x$, et $l_n$ sa dimension sur $k$ (cf. \ref{Poisson implique RR}). D'après
+\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)$ est croissante et $l_n ≤ l_{n-1}+1$.
+Notons $S$ l'ensemble des indices $n ∈ 𝐍$ pour lesquels $l_n=l_{n-1}+1$
+(« saut »), et choisissons pour chaque $s ∈ S$ une fonction $f_s ∈ ℒ_s - ℒ_{s-1}$.
+\commentaire{introduire notation $\div_∞$}
+On a donc $\div_∞(f_s)=sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts
+inférieurs à un entier donné $N$, les fonctions $f_s$, pour $s ∈ S_{≤ N}$,
+forment une \emph{base} de $ℒ_N$. Appliquons ce qui précède aux entiers $N=q′-1$
+et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant :
+\begin{quote}
+\emph{les fonctions $f_s   {f_{t}}^{q′}$, pour $s ∈ S_{≤ N}$ et $t ∈ S_{≤ M}$, sont
+$k$-linéairement indépendantes.}
+\end{quote}
+Pour ce faire, il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
+indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients
+$λ_s$ sont non nuls, il existe deux indices $s₁ ≠ s₂ ∈ S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
+f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui
+est exclu car $s₁,s₂ ≤ N < q′$.  
+
+Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$
+image de $ℒ_N ⊗_k ℒ_M^{q′}$ par l'application produit est de dimension $l_{N,M}=l_N ⋅l_M$.
+Par Riemann-Roch, on a la minoration
+\[
+l_{N,M} ≥ (N-g+1)(M-g+1)=(q′-g)(q′+g+1)=q+q′-g(g+1) .  
+\]
+\end{démo}
+Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;g}$ de $K$
+image de $\big(ℒ_M ⊗_k σ^{-1}ℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. 
+Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′g(x)\big)$, de l'inégalité
+$\deg(Mx+N q′ g(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration
+\[
+l_{M,N;g}=\dim_k ℒ_{M,N;g} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1.
+\]
+Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;g}$ si bien que l'application  
+$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;g}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σ^{-1}f_s)^{q′}$
+— « échange tordu du demi-Frobenius » — est de noyau non trivial.  
+Il existe donc des fonctions $h_s$ dans $ℒ_M$
+telles
+\[
+f ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s^{q′}  f_s ≠ 0
+\]
+\[
+g=∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σ^{-1}f_s)^{q′}=0.
+\]
+Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
+non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$.
+\commentaire{vérifier $σ$ ou $σ ^{-1}$...}
+Comme $φ(f_s)=φ(σ^{-1}f_s)^{q}$, on a
+$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σ^{-1}f_s)^q=φ(g)^{q′} =0$.
+D'après \ref{} \XXX, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
+est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$.
+Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$,
+le cardinal recherché est donc inférieur ou égal
+à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD. 
 
 		\[⁂\]
 
@@ -5627,6 +5700,8 @@ l'analyse harmonique, on trouvera de beaux survols
 historiques dans \cite{scope@Mackey}.
 Pontrâgin : \cite[§6]{Pontryagin@Morris} et \cite[§12]{representations@Kirillov}.
 Analyse harmonique : \cite{harmonic@Loomis}.
+Hypothèse de Riemann : \cite{Fried-Jarden} (eux-même inspirés par Bombieri).
+
 
 \ifx\danslelivre\undefined
 \bibliography{../configuration/bibliographie-livre}