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authorFabrice (Sorcerer) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-20 12:12:38 +0200
committerFabrice (Sorcerer) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-20 12:12:38 +0200
commit4b64406b94e8808f7656ebcdd23da5f83c07e65b (patch)
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[LG] réécriture démonstration dualité additive locale
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex65
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 657e777..34da30b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -254,8 +254,13 @@ précédents.
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
Le module de l'automorphisme $[a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
-termes, $[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus
-$+$}}$ pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
+termes, $[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
+c'est-à-dire
+\[
+|a| ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
+∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
+\]
+pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}
Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
@@ -276,7 +281,7 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=1$ si $ψ$ est non trivial
et $-∞$ sinon. [doute sur le signe $±n$ ; cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
\end{définition2}
@@ -329,25 +334,47 @@ il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.
\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
-Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère non trivial.
+Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
-est un isomorphisme.
+est un isomorphisme de groupes.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-L'injectivité est évidente. Soit $ψ ′$ un caractère
-non trivial et montrons qu'il appartient à l'image. On peut
-supposer $ψ$ et $ψ′$ de niveaux nuls. Le fait que le résultat
-soit connu pour un corps fini montre qu'il existe
-un $x₁ ∈ 𝒪^×$ tel que $[x₁]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$
-sur $𝔪^{-1}$. (On utilise le fait que $𝔪^{-1}/𝒪$ est
-isomorphe au groupe additif du corps résiduel $k$.) On construit alors
-de proche en proche une suite $x_n ∈ 𝒪^×$
-telle que $x_n - x_{n-1} ∈ 𝔪^n$ et telle que
-$[x_n]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$ sur $𝔪^{-n}$.
-\XXX
+L'égalité $[x + x ′]^*ψ=[x]^*ψ × [x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
+du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
+évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
+niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
+si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
+de $[x]^* ψ$ et $[x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
+coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
+Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
+l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
+peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
+corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
+et $y$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$
+par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ m^{n+1}/𝔪^n$
+est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
+De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
+caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
+l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
+caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
+un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
+on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
+par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
+𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}$ est un isomorphisme.
+Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
+et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
+considéré dans l'énoncé. On peut le supposer (non trivial)
+de niveau nul.
+D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
+ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
+un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
+tel que $[x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
+La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[x]^* ψ = ψ ′$,
+comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
+$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
\end{démo}
@@ -378,10 +405,8 @@ Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des fonctions continues $
décroissante à l'infini suivante. Lorsque $K$ est
archimédien, donc isomorphe à $𝐑^n$ pour un entier $n ∈ \{1,2\}$,
on demande que $f$ soit $𝒞^∞$ (en tant que fonction de $n$
-variables) et que pour tout polynôme $P$ (resp. $Q$) à
-coefficients complexes en les $n$ variables (resp. en
-les dérivées par rapport à ces $n$ variables), la fonction réelle $|P × (Q ⋅
-f)|$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
+variables) et que pour tout polynôme $P ∈ 𝐂[X_i,∂_{X_i}: 1 ≤ i ≤ n]$
+la fonction $P ⋅ f$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.