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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 16:17:22 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 16:17:22 (GMT)
commit4bcaedf63c569972ba81e9fa5600ff25a462b3b8 (patch)
tree7be1d5eb31ef7a5f33064fdf78006c742ff16011 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent06aaa8c4605a511acb50e65097291dc38eeb72c6 (diff)
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[LG] début calcul volume idèles corps de nombres
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex22
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9afaa47..e8ebda4 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3279,7 +3279,7 @@ dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
\end{remarque2}
\begin{remarque2}
-Lorsque $K$ est un corps de nombre, on peut montrer
+Lorsque $K$ est un corps de nombres, on peut montrer
(théorie du corps de classe) que le groupe $C_K$
se surjecte naturellement (mais non trivialement) sur
l'abélianisé du groupe de Galois de $K$ ; le noyau
@@ -4438,16 +4438,17 @@ théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de
-Picard. Alors,
-
+Picard, isomorphe à $C^{=1}_K/C^{=1}_K(X)$, où $X$ est l'ensemble
+des places ultramétriques de $K$. Alors,
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)
= \frac{h}{w}×
\begin{cases}
-\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}\frac{R}{√{|D|}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
+où $R$ est le régulateur [...] \XXX.
\end{théorème2}
\begin{démo}
@@ -4456,15 +4457,16 @@ La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$
nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$.
Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau
$𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors
-le l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$
+de l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$
et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$.
-
+Supposons maintenant que $K$ est un corps de nombres.
+Le même argument nous ramène à établir l'égalité
+$\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K^{×,=1}_𝐀(X) K^×/K^×\big)=
+2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂} R/w$, où $X$ désigne l'ensemble des places ultramétriques
+de $K$ [...] cf. $𝒪_K^× → K^{×,=1}_𝐀(X)$ isom. modulo compacts etc.
\end{démo}
-Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].
-(Il manque peut-être une puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
-
-
+%Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].
\section{Fonctions zêta}