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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 12:15:12 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 12:15:12 (GMT)
commit4d88a2271d3b916f24999abd422f1ad465922c43 (patch)
treef5be8a7c8fd96a66aff520ea24a80ddd0a213a49 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] fin démonstration K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀
Ça me semble plus propre que ce qu'on trouve dans les bouquins (cas étale et radiciel ensembles, modulo {fonctorialité et clôture intégrale}). À vérifier.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex85
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index d09cac7..d33f057 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2373,7 +2373,7 @@ Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.
L'injection $𝒪_K(U)^d → 𝒪_L(V)$ déduite des $α_i$ devient
un isomorphisme sur $K$, donc — puisque c'est un morphisme
entre modules de type fini sur $𝒪_K(U)$ — après inversion d'un élément $a$
-de $𝒪_K(U)$. Quitte à rétrécir encore $U$, on peut supposer que $a ∈ 𝒪_K(U)^×$.
+de $𝒪_K(U)∖ \{0\}$. Quitte à rétrécir encore $U$, on peut supposer que $a ∈ 𝒪_K(U)^×$.
\end{démo}
\section{Adèles, idèles}
@@ -2742,7 +2742,7 @@ $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a|=∏
\begin{théorème2}
\label{adèles et cb}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps globaux.
-Le morphisme $K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
+Le morphisme $ι:K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
$(a_s)_{s ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{s′})_{s′ ∈ Σ(L)}$
avec $b_{s′}=a_s$ lorsque $s′↦ s$, induit un
isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
@@ -2754,68 +2754,25 @@ pour un unique $a ∈ L_𝐀$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
-Soit $d=[L:K]$. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$,
-d'image inverse $V$ dans $L$ et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(V)$
-tels que $𝒪_L(V)=𝒪_K(U) α₁ + \cdots + 𝒪_K(U) α_d$ et $\Frac 𝒪_K(U)=K$.
-[...]
-
- \[⁂\]
-
-Cas d'une extension étale. Pour chaque place $s$ de $K$, notons $ι_s$
-le plongement diagonal de $K_s$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$.
-Rappelons (\refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion})
-que pour chaque place $s$ de $K$, le morphisme $K_s ⊗_K L → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$
-déduit de $ι_s$ est un isomorphisme. En d'autres termes,
-si $α₁,…,α_n$ est une base de $L$ sur $K$,
-l'application $K_s$-linéaire $K_s^n → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$,
-$(λ_i)↦ ∑_i ι_s(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
-Soit $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ un ouvert dense de $K$, d'image inverse $V$
-dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(L)$, tel que les $α_i$ appartiennent
-à $𝒪_L(V)$, $\Frac 𝒪_K(U)=K$ et $\Frac 𝒪_L(V)=L$
-(\ref{normes fonction presque toutes petites}, \ref{fonctorialité et clôture intégrale}
-et \ref{RR implique Dedekind de type fini}).
-Le morphisme injectif $𝒪_K(U)^n → 𝒪_L(V)$ qui s'en déduit
-est un isomorphisme sur $\Frac 𝒪_K(U)$. Quitte à restreindre $U$,
-on peut supposer que c'est un isomorphisme.
-
-
-Pour démontrer le premier point, il suffit de montrer
-que si l'on note $A_s$ l'anneau des $s$-entiers de $K$
-et $B_{s′}$ celui des $s′$-entiers de $L$
-alors, pour presque tout $s$, on a l'égalité
-$A_s α₁ + \cdots + A_s α_n = ∏_{s′↦ s} B_{s′}$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$.
-Soit $a ∈ 𝒪_K$ tel que $a 𝒪_L ⊆ 𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n$
-et soit $b ∈ 𝒪_K$ tel que $b (𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n) ⊆ 𝒪_L$
-(cf. \refext{??}{} \XXX). L'égalité désirée a lieu
-dès que $a$ et $b$ sont $s$-entiers, ce qui est le cas pour
-presque tout $s$. Ceci achève la démonstration dans le cas
-d'une extension étale et, par conséquent, lorsque $K$ est de caractéristique
-nulle.
-
-Cas d'une extension non nécessairement étale.
-On peut supposer l'extension $L\bo K$ finie radicielle
-de degré $p>0$, lorsque $K$ est un corps global de caractéristique $p$.
-Soit $s$ une place de $K$. D'après \refext{AVD-D}{finitude préservée par
-complétion}, il existe une unique place $s′$ de $L$ au-dessus de $K$
-et le morphisme canonique $K_s ⊗_K L → L_{s′}$ est \emph{surjectif}.
-Vérifions que c'est un isomorphisme. Il résulte de la surjection
-précédente que le corps $L_{s′}$ est monogène sur $K_s$, radiciel
-de degré $1$ ou $p$. D'après \ref{p-rang-corps-global-égal-1}, l'extension $L\bo K$ est
-isomorphe à $L\bo L^p$. Si on avait l'égalité $L_{s′}=K_s$,
-tout élément de $K$ serait une puissance $p$-ième dans $K_s$
-(puisqu'il en est ainsi dans $L$). Par continuité du Frobenius,
-et densité de $K$ dans $K_s$, on aurait alors $K_s=K_s^p$
-ce qui est absurde, comme on le voit en considérant par exemple
-une uniformisante de $K_s$. Ainsi, $K_s ⊗_K L$ et $L_{s′}$
-sont de degré $p$ sur $K_s$ ; le morphisme ci-dessus est donc
-un isomorphisme. (Un autre argument consiste à utiliser
-le fait que le noyau du morphisme $K_s ⊗_K L → L_{s′}$
-est le radical de $K_s ⊗_K L$, qui est trivial car l'extension
-$K_s \bo K$ est \emph{séparable}. C'est un résultat
-d'« excellence », qui se ramène aisément à la séparabilité
-de l'extension $𝐅_p((t))\bo 𝐅_p(t)$ établie en \refext{RT}{} \XXX.)
-
-Cf. \cite[VIII, §6]{BNT@Weil}. \XXX
+D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale},
+il existe un ouvert dense $U$ de $K$,
+d'image inverse $V$ dans $L$, et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(V)$,
+où $d=[L:K]$, tels que $𝒪_L(V)=𝒪_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ 𝒪_K(U) α_d$.
+Ceci reste vrai lorsque l'on rétrécit $U$.
+Nous allons montrer que le morphisme $K_𝐀^d → L_𝐀$, $(x_i)_{1,…,d}↦ ∑_{i=1}^d ι(x_i)α_i$,
+est un isomorphisme. C'est la colimite des morphismes
+$K_𝐀(U′)^d → L_𝐀(V′)$ pour $U′ ⊆ U$. Montrons que chacun d'eux
+est un isomorphisme, ce dont découle le résultat souhaité. Quitte à rétrécir $U$, on peut
+supposer $U′=U$. Il suffit de montrer les deux faits suivants.
+\begin{enumerate}
+\item Pour chaque pour place $s ∉ U$, le morphisme $K_s^d → ∏_{t↦ s} L_t$,
+$(x_i)↦ ∑_i ι_s(x_i) α_i$, où $ι_u$ est le plongement diagonal $K_s ↪ ∏_{t↦ s} L_t$,
+est un isomorphisme.
+\item Pour chaque place $u ∈ U$, le morphisme $𝒪_{K,u}^d → ∏_{v↦u} 𝒪_{L,v}$,
+$(x_i)↦ ∑_i ι_u(x_i) α_i$ est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+Le (i) résulte de \refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion}.
+Le (ii) résulte de l'hypothèse faite sur les $(α_i)$ ci-dessus.
Trace. \XXX