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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-25 15:09:43 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-01-25 15:09:43 +0100
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[LG] relecture Iwasawa-Tate. Ajout d'étiquettes et clarifications
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1111,10 +1111,12 @@ et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
précède on a les égalités :
\[
-ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))=[-a]^*ℱ
-ℱ(𝟭_{𝔪^r})=[-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r}
-𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^*
-𝟭_{𝔪^r}=c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
+\begin{array}{rcl}
+ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r})) & = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{𝔪^r}) \\
+ & = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}) \\
+ & = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
+ & = & c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
+\end{array}
\]
où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
@@ -1245,7 +1247,6 @@ homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat. % références ?
\end{démo}
-
\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Rplusétoile}
Les quasi-caractères de $𝐑_{>0}$ sont de la forme $t↦ t^s$,
@@ -1265,6 +1266,11 @@ local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}
+\subsubsection{}
+\label{notation quasi-caractère dual}
+À tout quasi-caractère $χ$, on associe
+le quasi-caractère $\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$. On a $\Re(\chap{χ})=1-\Re(χ)$.
+
\subsection{Transformation de Mellin}\footnote{Nous conseillons au lecteur
d'omettre cette section en première lecture. Elle n'est pas utile
avant la démonstration des résultats
@@ -1510,6 +1516,7 @@ transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
(On a alors $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$.)
\begin{remarque2}
+\label{quasi-caractères=variété}
Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
@@ -1668,17 +1675,20 @@ $ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
suivante soit satisfaite :
\[
-γ_ψ(χ,s)ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},-s),
+γ_ψ(χ,s)ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
-où $\check{χ}=χ^{-1} ω_1$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
-Notons que $ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),χ^{-1},1-s)$
-et que $\Re(\check{χ})=1-\Re(χ)$.
+Rappelons (\ref{notation quasi-caractère dual}) que
+$\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$ est de partie réelle $1-\Re(χ)$.
+On a a trivialement
+\[
+ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),χ^{-1},1-s).
+\]
La démonstration du théorème occupe les trois paragraphes suivants.
-
+Pour l'analogue global, cf. \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
\subsubsection{}
Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
@@ -1708,8 +1718,8 @@ méromorphe des fonctions zêta.
%entraîne l'existence d'un prolongement méromorphe.
%En effet, la fonction $ζ_ψ(χ,f,s)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$
%et égale sur la bande $-\Re(χ)<\Re(s)<1-\Re(χ)$ à la
-%restriction de la fonction $γ_ψ(χ,s)^{-1}ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},-s)$,
-%méromorphe sur le demi-plan $\{s:\Re(-s)>-\Re(\check{χ})\}=
+%restriction de la fonction $γ_ψ(χ,s)^{-1}ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$,
+%méromorphe sur le demi-plan $\{s:\Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}=
%\{s:\Re(s)<1-\Re(χ)\}$ d'après (i) et la non nullité du
%facteur $γ$.
@@ -1718,7 +1728,7 @@ nous allons commencer par établir une formule de « $ζ$-Plancherel ».
Supposons $0<\Re(χ)<1$ et considérons deux fonctions $f,g ∈ 𝒮(K)$.
Alors, on a l'égalité :
\[
-ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\check{χ})=ζ(\chap{f},\check{χ})ζ(g,χ),
+ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
où l'on a noté pour simplifier $ζ$ (resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ζ_ψ$, etc.).
Le terme de gauche se réécrit
@@ -1735,7 +1745,7 @@ On effectue le changement de variables $(x,y) ↦
${μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}$. Il résulte
alors du théorème de Fubini que l'on a :
\[
-ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\check{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d μ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
+ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d μ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
\]
\[
@@ -1750,8 +1760,8 @@ Enfin, une seconde application du théorème de Fubini donne
h_{f,g}(y)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K^× × K^×} f(x) g(z) ψ(xyz) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x) d μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)
= h_{g,f}(y).
\]
-L'expression $ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\check{χ})$ étant symétrique
-en $f$ et $g$, elle est nécessairement égale à $ζ(\chap{f},\check{χ})ζ(g,χ)$.
+L'expression $ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})$ étant symétrique
+en $f$ et $g$, elle est nécessairement égale à $ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ)$.
\subsubsection{}Supposons dorénavant $\Re(χ)=½$, comme il
est loisible de le faire. Il existe une fonction $g ∈ 𝒮(K)$
@@ -1764,11 +1774,11 @@ positive ; la conclusion en résulte aussitôt.
La fonction $ζ(g,χ,s)$ est donc holomorphe, non identiquement
nulle. Considérons la fonction méromorphe sur $\{s:\Re(s)<½\}$ :
\[
-γ(χ,s)=\frac{ζ(\chap{g},\check{χ},-s)}{ζ(g,χ,s)}.
+γ(χ,s)=\frac{ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)}{ζ(g,χ,s)}.
\]
D'après la formule de $ζ$-Plancherel, on a l'égalité
\[
-ζ(f,χ,s)= γ(χ,s)^{-1} ζ(\chap{f},\check{χ},-s),
+ζ(f,χ,s)= γ(χ,s)^{-1} ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$ et tout nombre complexe $s$
tel que $|s|<½$. (Cette égalité est à considérer
@@ -1776,7 +1786,7 @@ dans le corps des fonctions méromorphes sur cet ouvert.)
Le terme de gauche est holomorphe sur
$\Re(s)>-½$ ; celui de droite est méromorphe pour $\Re(s)<½$.
La fonction $ζ(f,χ,s)$ a un prolongement méromorphe à $𝐂$.
-En particulier, $ζ(\chap{g},\check{χ},-s)$
+En particulier, $ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)$
donc $γ(χ,s)$ admettent un prolongement méromorphe à $𝐂$. CQFD.
@@ -1787,7 +1797,7 @@ méromorphe en résulte immédiatement.) Montrons que
pour tout quasi-caractère multiplicatif $χ$, il existe une fraction
rationnelle $c_ψ(χ,X) ∈ 𝐂(X)$ telle que
\[
-c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1/X)
+c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$. L'équation fonctionnelle
\ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.(iii)
@@ -1801,7 +1811,7 @@ comme il résulte immédiatement des égalités $[×a]^*
μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}$ et
$a 𝒰_n=𝒰_{n-v(a)}$. De même, il résulte
de l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux}.(iii).(a)
-et du calcul précédent que la forme linéaire $f ↦ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1/X)$
+et du calcul précédent que la forme linéaire $f ↦ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)$
appartient également à $𝒟_χ$. Or, et c'est là le point clef,
l'espace $𝒟_χ$ est de dimension un sur $𝐂(X)$. Il suffit
pour cela de montrer que l'évaluation
@@ -2266,7 +2276,11 @@ Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$.
\end{proposition2}
-On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}.
+On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).
+
+Comme en \ref{notation quasi-caractère dual}, on note $\chap{χ}$
+le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.
+
\subsubsection{Caractères de Hecke}
@@ -3265,21 +3279,21 @@ l'introduction du facteur correctif $c$ est inutile car
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$. Cette intégrale définit une fonction holomorphe
-sur $\Re(s)>-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+sur $\Re(s)>-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. \XXX
De même, posons
\[
ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s)= ∫_{K^{×, ≥1}_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
\]
La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
-D'autre part, on a $c(i^{-1})=1-c(i)$ pour chaque $i$.
-Soit $D_{≤ 1}$ un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
-(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
+D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{ψ,≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
-$∑_{λ ∈ K^×} ∫_{D_{≤ 1}} f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$,
-que l'on peut réécrire :
+sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι)$
+sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
+(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
+En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
\[
\begin{array}{rcl}
-ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K=K^× ∪ \{0\}} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ} \\
+ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι) dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}(ι) \\
& & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}.
\end{array}
\]
@@ -3287,13 +3301,15 @@ D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch
on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
\[
ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) =
-ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\check{χ},1-s).
+ζ_{ψ,≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
\]
-
Il résulte de cette égalité — \emph{a priori} valable dans la bande
-$\{s:\Re(s)>-\Re(χ)\} ∩ \{s: \Re(1-s)>-\Re(\check{χ})\}$ —
+\[
+\{s ∈ 𝐂 : -\Re(χ)<\Re(s)<-\Re(χ)+1\}
+\]
+intersection des deux demi-espaces $\{s:\Re(s)>-\Re(χ)\}$ et $\{s: \Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}$ —
que le terme de droite et le terme de gauche s'étendent
-en des fonctions méromorphes sur $𝐂$.
+en des fonctions méromorphes sur $𝐂$. Ces extensions sont notées de la même façon.
\subsubsection{}
\label{calcul zeta1khis}
@@ -3307,8 +3323,8 @@ $ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$
on a :
\[
\begin{array}{rcll}
-ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres}\\
-& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions}
+ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
En effet, on trouve respectivement l'intégrale
@@ -3320,43 +3336,64 @@ et la somme
κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
\]
(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
-Notons dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
+Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
Le même calcul s'applique à $ζ_{ψ, ≥1}(𝟭,χ,s)$.
\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)=∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
+ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_{ψ,≤ 1}(f,χ,s)+ζ_{ψ,≥ 1}(f,χ,s)=\text{« }∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}\text{ »}
\]
est égale à
\[
-\big( ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s)\big)+
-\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\check{χ},1-s)-f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
+\big( ζ_{ψ, ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ψ, ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
+\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{ψ,≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{ψ,≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
\]
où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus,
-apparaît que si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
-Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ
-↦ \check{χ}$), que l'on a démontré le théorème suivant.
+apparaît seulement si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
+Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$,
+que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème
+local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.
\begin{théorème2}
\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
-La fonction $s↦ ζ_ψ(f,χ,s)$ a un prolongement méromorphe à $𝐂$
-et est entière sauf si la restriction de $χ$ à $K^{×,=1}_𝐀$ est triviale.
-Dans ce cas, ses pôles sont en $s=-σ$ et $s=1-σ$ où
-$σ ∈ i 𝐑$ est tel que $χ=ω_σ$. Ils sont simples, de résidus
-respectifs $κf(0)$ et $κ ℱ_ψ(f,0)$ lorsque $K$ est un corps de nombres
-et ces quantités divisées par $\log(q)$ lorsque $K$ est un corps
-de fonctions. Si $K$ est un corps de nombres, $σ$, s'il existe,
-est unique. Si $K$ est un corps de fonctions, il est bien
-défini modulo $2 π i / \log(q)$.
-De plus, la fonction zêta satisfait l'équation fonctionnelle
+Soient $K$ un corps global, $ψ$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
+et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
+Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
+\begin{enumerate}
+\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est absolument convergente et définit une fonction
+holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
+\item La fonction $s↦ ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
+\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
-ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\check{χ},1-s).
+ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
+\item Ses pôles, simples, sont en les $s=-σ$ et $s=1-σ$ où $σ ∈ i 𝐑$ est tel que $χ=ω_σ$.
+Leurs résidus respectifs sont $κf(0)$ et $κ ℱ_ψ(f,0)$ lorsque $K$ est un corps de nombres
+et ces quantités divisées par $\log(q)$ lorsque $K$ est un corps
+de fonctions.
+\end{enumerate}
\end{théorème2}
+\begin{remarques2}
+Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
+(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$
+comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
+(resp. un singleton).
+Enfin, notons que la variable $s$ est superflue : si l'on pose
+$ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$, on a $ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s)$
+et l'équation fonctionnelle prend la forme plus agréable :
+\[
+ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ}),
+\]
+où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement
+au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
+on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant
+la surface de Riemann des quasi-caractères.
+\end{remarques2}
-\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta} On applique cette formule à
+\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta}
+Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à
la fonction
\[
f= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠