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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-22 15:50:02 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-22 15:50:02 +0100
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[LG] calcul volume K_𝐀∕K
À faire : changer niveau en -niveau partout.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex119
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index f4e50ea..0f0cf39 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -944,6 +944,7 @@ un corollaire de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
+\label{niveau et différente}
Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
@@ -956,8 +957,12 @@ et l'opposé de la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
+[Cette formule est un des nombreux indices qu'il faut
+changer le signe dans la définition du niveau, comme le fait
+Weil. \XXX]
+
Pour ce qui est du niveau de $e_{K,ω}$, voir le théorème de Riemann-Roch
-et Riemann-Hurwitz.
+et Riemann-Hurwitz. \XXX
\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
@@ -2670,17 +2675,17 @@ on a :
\end{enumerate}
\end{théorème2}
-
-
-\begin{remarques2}
-En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ (par opposition
-à $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$). C'est la mesure de Tamagawa.
-Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
-\ref{Pontrâgin} (i) et la formule du produit.
-
-Cf. Goldstein, p. 150.
-\end{remarques2}
+\subsubsection{}
+Il résulte des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
+de la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}) et
+la formule du produit (\ref{formule du produit})
+que la mesure $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, par opposition
+à la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
+des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures
+Tamagawa locales}.
+La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ est appelée
+\emph{mesure de Tamagawa}.
\subsubsection{Démonstration du (ii)}
@@ -2818,7 +2823,7 @@ $ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \XXX
\end{remarque2}
-\subsection{Premières applications}
+\subsection{Le théorème de Riemann-Roch pour les corps de fonctions algébriques}
\subsubsection{}
\label{définition classe canonique}
@@ -2874,12 +2879,13 @@ de la forme $\div(i)$ pour un adèle $i ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorème fondamental suivant.
\begin{théorème2}[Riemann-Roch]
+\label{Riemann-Roch}
Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$},
$k$ son corps des constantes, et $𝔠 ∈ \Pic_K$
la classe canonique. Pour tout classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$,
on a l'égalité
\[
-l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-(g-1),
+l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
\]
où $g=½\deg(𝔠)+1$ est un entier appelé \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
@@ -2888,29 +2894,74 @@ l(𝔞)=\dim_k \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
\].
\end{théorème2}
+La principale application que nous ferons de ce théorème
+est la démonstration de la rationalité de la fonction
+zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf.
+\emph{infra}.
+
\begin{remarque2}
-Extension au cas d'un corps des constantes quelconques :
-cf. Lang, [Introduction to…] ou Weil, [BNT], remarque p. 101.
+Le théorème précédent est valide sous des hypothèses plus
+générales. Voir \cite[I.§2]{AAF@Lang} et \cite[II.nº9]{GACC@Serre}
+pour le cas des corps de fonctions sur un corps algébriquement clos,
+et \cite[p. 101]{BNT@Weil} pour une remarque sur une approche
+semblable à celle suivie ici.
+% Et peut-être même que le cas des corps finis entraîne le
+% cas général… ? \XXX
\end{remarque2}
-Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
+\subsection{Calculs de volumes}
-\begin{théorème2}
+\subsubsection{Idèle différentiel}
+Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$.
+Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
+que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
+un élément (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$
+tel que
+\[
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_x|^{-½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}.
+\]
+
+Lorsque $x$ est ultramétrique, l'égalité
+précédente est équivalente à
+\[
+ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=𝟭_{d_{ψ,x}^{-1} 𝒪_x},\]
+ou encore
+\[
+𝒪_x^{⊥}= d_{ψ,x}^{-1} 𝒪_x,
+\]
+où $𝒪_x^{⊥}=\{ f ∈ K_x: ψ_x(f 𝒪_x) =\{1\}\}$
+est l'orthogonal relativement à l'accouplement défini
+par $ψ_x$. Ceci se produit si et seulement si
+la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale à l'opposé du
+niveau $n_x(ψ_x)$. Celui-ci est nul pour presque tout $x
+∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
+idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
+tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
+
+Par construction, on a l'égalité
+\[
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{-½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
+\]
+
+D'autre part, on a vu en \ref{Poisson implique RR} que
+si $K$ est de caractéristique $p>0$ et de corps
+des constantes de cardinal $q$, le module $|d_ψ|^{-1}$ — qui ne dépend
+pas du choix de $ψ$ — est égal à $q^{2-2g}$.
+Si $K$ est de caractéristique nulle, il résulte de
+\ref{niveau et différente} et \ref{}\XXX
+que $|d_ψ|^{-1}$ — où l'on peut prendre $ψ=𝐞_{K}$ —
+est égal à $|𝔡_K|$.
+
+\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
-\end{théorème2}
+Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
+il résulte de ce qui précède que l'on a :
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ si }\mathrm{car.}(K)=0\]
+et
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ si }\mathrm{car.}(K)>0.\]
-\begin{démo}
-Cf. p. ex. [Weil, Adèles] ; [BNT] pp. 90--92 et [BNT] pp. 100.
-Corps des fonctions. Reprenons les notations de \ref{Poisson
-implique RR}. On a vu (\ref{Fourier et mesure locaux}) que,
-pour chaque $x ∈ Σ(K)$, la mesure auto-duale locale
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est égale à $q_x^{±o(ψ_x)/2} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$.
-Comme $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(K_𝐀/K)=1$, on a donc
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(K_𝐀/K)=∏_x
-q_x^{±o(ψ_x)/2}=q^{\deg(𝔠)/2}$. CQFD.
-\end{démo}
+Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
+théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
@@ -3248,6 +3299,12 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
\end{démo}
\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
+\label{HR courbes}
+
+\subsection{Applications du théorème de Riemann-Roch}
+
+Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
+\XXX
Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
varieties over finite fields » (1973-74) et