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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-11-02 16:53:51 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-11-02 16:53:51 (GMT)
commit56528502d1f6d74fe4020aabb2203f4e142767cb (patch)
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[LG] fin démonstration (à peaufiner) du calcul de volume idélique (cf. résidu ζ en 0)
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index f10eb68..ce2b2c0 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3254,13 +3254,14 @@ $f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient
à $K^× C$, et même à $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD.
\end{démo}
+
Le théorème précédent a pour corollaire le fameux
théorème de Dirichlet suivant.
\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\label{theoreme-unites-Dirichlet}
Soit $U$ un ouvert de $K$. L'application « logarithme »
-$f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
+$\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
@@ -3271,8 +3272,14 @@ $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités d
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}
+\begin{corollaire2}
+\label{finitude-racines-unite}
+Soit $K$ un corps global.
+L'ensemble des racines de l'unité de $K$ est fini.
+\end{corollaire2}
+
\begin{remarque2}
-Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $K$,
+Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $k$,
il résulte de ce qui précède que le quotient $𝒪_K(U)^×/k^×$ est
libre de rang $r$. Sous cette forme, c'est un résultat initialement
dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
@@ -3291,22 +3298,22 @@ de ce morphisme est la composante neutre de $C_K$. \XXX
Soit $U$ comme dans l'énoncé.
Montrons le premier point.
Le groupe $𝒪_K(U)^×$ n'est autre que l'image inverse du sous-groupe
-$G=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$
+$K^{×,=1}_𝐀(U)=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$
par le plongement diagonal $K^× → K^{×,=1}_𝐀$. D'après le théorème
\ref{theoreme-unites-abstrait} précédent et \ref{restriction isomorphisme modulo
-compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → G$ est donc un isomorphisme modulo les compacts.
-Il en est de même de la projection $G ↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$,
+compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → K^{×,=1}_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme modulo les compacts.
+Il en est de même de la projection $K^{×,=1}_𝐀(U)↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$,
par compacité du produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×$.
Enfin, chaque logarithme $K_x^× → 𝐑$, $f↦ \log(|f|_x)$ étant également un isomorphisme
modulo les compacts (que $x$ soit archimédienne ou ultramétrique),
il en est de même du produit $ ∏_{x ∉ U} K^×_x → ∏_{x ∉ U} 𝐑$ et de sa restriction à l'hyperplan de somme nulle.
Par composition (\ref{composé isomorphismes modulo compacts}), on en déduit
que $𝒪_K(U)^× → \big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ est un isomorphisme modulo les compacts.
-Si $U=Σ(U)$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps
+Si $U=Σ(K)$, de sorte que $Σ(K)-U$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps
de fonctions —, le groupe $𝒪_K^×(U)$ est un sous-groupe \emph{compact} du
groupe \emph{discret} $K^×$ : c'est un groupe abélien fini
-(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)).
-Si $U ≠ Σ(U)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ;
+(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)).
+Si $U ≠ Σ(K)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ;
il est de dimension $r$. D'après ce qui précède, $𝒪_K(U)^×$
est extension de son image $Γ$ par le logarithme, qui est
un sous-groupe \emph{discret} et \emph{cocompact} de $V$,
@@ -3337,6 +3344,23 @@ La conclusion résulte aussitôt de la théorie
Cf. \cite{} \XXX.
\end{démo}
+\subsubsection{}
+\label{définition-régulateur}
+Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses places ultramétriques
+et $A$ l'ensemble des places archimédiennes, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$.
+D'après ce qui précède, le \emph{covolume} de
+$\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$
+(muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini.
+On l'appelle \textbf{régulateur} de $K$.
+De façon (superficiellement) plus explicite, on peut l'exprimer comme un
+déterminant. Soit $u₁,…,u_{r}$ des éléments constituant une base de $𝒪_K^×$ (modulo torsion)
+et considérons la matrice $r×(r+1)$ dont la $i$-ième ligne
+est $(\log |u_i|_{K_a})$, pour $a ∈ A$.
+La somme des colonnes est nulle (car on est dans l'hyperplan
+considéré ci-dessus). Le régulateur est le déterminant
+de la matrice précédente à laquelle on retire une colonne (quelconque).
+
+Exemples. [...] Lien avec la formule des classes. \XXX
\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}
@@ -4366,7 +4390,7 @@ elle est équivalente à la formule bien connue
\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
\]
-et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π |z|²}\big)$.
+et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π z \sur{z}}\big)$.
\subsubsection{}
\label{Tamagawa et idèle différentiel}
@@ -4438,33 +4462,66 @@ théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
-de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de
-Picard, isomorphe à $C^{=1}_K/C^{=1}_K(X)$, où $X$ est l'ensemble
-des places ultramétriques de $K$. Alors,
+de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors,
\[
-\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)
+\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)
= \frac{h}{w}×
\begin{cases}
\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
-où $R$ est le régulateur [...] \XXX.
+où $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{régulateur} défini
+en \ref{définition-régulateur}.
\end{théorème2}
+\begin{remarque2}
+On verra plus tard que, dans le langage des fonctions $ζ$,
+ce théorème devient — dans le cas des corps de nombres — :
+$\Res_{s=0} \frac{ζ_K(s)}{s^{r_𝐑+r_𝐂}}=-\frac{hR}{w}$.
+\XXX
+\end{remarque2}
+
\begin{démo}
-Commençons par traiter le cas d'un corps de fonctions.
-La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$
-nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$.
-Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau
-$𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors
-de l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$
-et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$.
-Supposons maintenant que $K$ est un corps de nombres.
-Le même argument nous ramène à établir l'égalité
-$\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K^{×,=1}_𝐀(X) K^×/K^×\big)=
-2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂} R/w$, où $X$ désigne l'ensemble des places ultramétriques
-de $K$ [...] cf. $𝒪_K^× → K^{×,=1}_𝐀(X)$ isom. modulo compacts etc.
+Le groupe de Picard étant isomorphe au quotient $C_K^{=1}/C_K^{=1}(X)$,
+où $X$ est l'ensemble des places ultramétriques de $K$ et
+$C_K^{=1}(X)=K^×K_𝐀^{×,=1}(X)/K^×$, il suffit de démontrer
+l'égalité $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C_K^{=1}(X))=1/w$ si
+$K$ est un corps de fonctions et $2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R/w$ sinon.
+Le noyau $K^× ∩ K_𝐀^{×,=1}(X)$ du morphisme
+$K_𝐀^{×,=1}(X) ↠ C_K^{=1}(X)$ étant
+l'ensemble $𝒪_K(X)^×$ des unités de $K$
+entières en chaque place ultramétrique, on a
+$K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K(X)^× ⥲ C_K^{=1}(X)$.
+
+Cas d'un corps de fonctions. La condition
+sur la norme (globale) est automatiquement satisfaite,
+$K^×_𝐀(X)=∏_x 𝒪_{K,x}^×$ et $𝒪_K(X)^×= k^×$.
+Le cardinal de $k^×$ étant $w$ et, par définition,
+$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(∏_x 𝒪_{K,x}^×)=1$,
+la conclusion est acquise dans ce cas.
+
+Cas d'un corps de nombres.
+Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons
+maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$
+définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et
+$μ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
+Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de
+l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité
+\[
+w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)=
+\sur{μ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
+\]
+(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.)
+Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales}
+ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat
+\footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et
+$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.}
+que la mesure $μ^{\mathrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
+la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
+Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel)
+de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
+au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\end{démo}
%Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].
@@ -5211,12 +5268,12 @@ de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
$(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}.
-Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$.
-\XXX
-\item Les résultats de la proposition précédente ont
+Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. \XXX
+
+Les résultats de la proposition précédente ont
été établis en \ref{sections globales droite projective}
lorsque $K=𝐅_p(t)$.
-\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
+\XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)