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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 13:05:59 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 13:05:59 (GMT)
commit6322112b51d7a11996ee2317d018ee1fe6ee7af2 (patch)
treee44c75f2fa77fa273ce1493ffdc624472403affe /chapitres/locaux-globaux.tex
parent45a30d652545b1f7a71229f67e601dfaefd9806c (diff)
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[LG] suppression blabla sur Pic déjà réécrites
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex53
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index c4a651e..9dc9d7a 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3369,6 +3369,11 @@ C_K/C_K(U) ⥲ \Pic(U),
où l'on note
$C_K(U)$ l'image de $K^×_𝐀(U)$ dans le groupe $C_K$ des classes d'idèles.
+\begin{remarque2}
+\XXX On a une classification des fibrés de rang $n$ comme
+un double quotient $\GL_n(K) ∖ \GL_n(K_𝐀) ∕ \GL_n(𝒪_{K_𝐀})$.
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{}
\label{formule du produit additive}
Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
@@ -3396,6 +3401,9 @@ C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) ⥲ \Pic⁰(X),
où l'on note
$C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idèles.
+
+
+
\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
@@ -3423,10 +3431,9 @@ et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
\subsubsection{}
-Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
-Supposons que $𝒪_K(U)$ soit un anneau de Dedekind de corps
-des fractions $K$. (D'après \ref{OKU Dedekind},
-il en est ainsi sauf si $U$ est \emph{affine}.)
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense \emph{affine} de $K$
+de sorte que $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps
+des fractions $K$ (cf. \ref{OKU Dedekind}).
L'application $U ⥲ \Specmax(𝒪_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'étend par linéarité
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
@@ -3435,8 +3442,7 @@ par le sous-groupe de ses idéaux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U
étant $\div_U(K^×)$ [détailler \XXX], on a :
\begin{proposition2}
-Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$,
-supposé distinct de $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ si $K$ est un corps de fonctions.
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense affine de $K$.
Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(𝒪_K(U))$ est un
\emph{isomorphisme}.
\end{proposition2}
@@ -3494,41 +3500,6 @@ si et seulement si $D - D′ ∈ \Div_+(U)$, c'est-à-dire si et seulement si
$n_u ≥ n_u′$ pour chaque $u ∈ U$.
- \[*\]
-
-
-\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
-on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
-par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
-Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{K}^{×,∞}_𝐀= K^{×,∞}_𝐀∖K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
-
-Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
-un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
-d'un morphisme vers $𝐑^×$. Cf. Neukirch, p. 190 environ.
-
-Plus généralement, si $U$ est un ouvert non vide de $P_K$,
-on note $𝒪_U$ l'anneau …, $\Pic(U)$ son groupe de Picard
-et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …
-
-\begin{théorème2}
-\XXX
-\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ K^{×,=1}_𝐀/K^×\]
-et
-\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ K^{×,=1}_𝐀 / K^{×,∞}_𝐀.\]
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-Énoncé dans Weil 2, §1.3.1.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire2}
-$\Pic⁰_K$ est fini.
-\end{corollaire2}
-
-\begin{remarque2}
-On a une classification des fibrés de rang $n$ comme
-un double quotient $\GL_n(K) ∖ \GL_n(K_𝐀) ∕ \GL_n(𝒪_{K_𝐀})$.
-\end{remarque2}
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.