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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-14 15:03:39 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-14 15:03:39 +0200
commit637f31960b1a01c7a70c2ef72d2d2953643aea67 (patch)
tree5b73bedafc47c15939e414615983e1e4a750a067 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] fin (?) sorites mesure produit restreint + définition adèles
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex74
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 39fe25e..c338878 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -90,7 +90,7 @@ Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
-des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
+des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝔬$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
@@ -2584,12 +2584,12 @@ Bien que cela ne soit pas nécessaire,
explicitons brièvement la notion de convergence
lorsque les $𝒳_s$ sont des groupes topologiques
métrisables, comme ce sera le cas ci-après.
-Par définition de la topologie, une suite $(a_n)=(a_{n,s})_{s ∈ Σ}$ de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
+Par définition de la topologie, une suite $(a_n)_n=((a_{s,n})_{s ∈ Σ})_n$ de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
converge vers $b=(b_s)_{s ∈ Σ}$ si et seulement si pour
tout $ε>0$ et tout ensemble cofini $U ⊆ Σ$, il
existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
-on ait $a_{n,s}-b_s ∈ 𝒱_s$ lorsque $s ∈ U$
-et $d_s(a_{n,s},b_s)< ε$ sinon.
+on ait $a_{s,n}-b_s ∈ 𝒱_s$ lorsque $s ∈ U$
+et $d_s(a_{s,n},b_s)< ε$ sinon.
On vérifie sans peine que si on suppose de plus $Σ$ dénombrable,
le produit restreint $(𝒳;𝒱)_𝐀$ est également métrisable.
\commentaire{à vérifier\\quoiqu'inutile}
@@ -2604,7 +2604,7 @@ restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ qui est lui-aussi localement compact.
De plus, sous ces hypothèses, un sous-ensemble de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
est \emph{relativement compact} — c'est-à-dire d'adhérence compacte —
si et seulement si il est inclus dans un produit
-$∏_{s ∉ U} 𝒞_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s$, où $U⊆Σ$ est cofinie
+$∏_{s ∉ U} 𝒞_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s ⊆ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, où $U⊆Σ$ est une partie cofinie
et chaque $𝒞_s$ est un compact de $𝒳_s$.
% Tate, 3.1.2
@@ -2619,38 +2619,60 @@ une mesure de Radon (\ref{mesure de Radon})
de mesures de Radon (dites « locales ») sur les facteurs. Soit $(μ_s)_{s ∈ Σ}$
une famille de telles mesures sur les $𝒳_s$,
telle que $μ_s(𝟭_{𝒱_s})=1$ pour presque tout $s$,
-où $𝟭_{𝒱_s}$ désigne la fonction caractéristique de l'ouvert $𝒱_s$.
+où $𝟭_{𝒱_s}$ désigne la fonction caractéristique de l'ouvert compact $𝒱_s$.
Il résulte de \ref{Radon produit} qu'il existe
pour chaque ensemble cofini $U$ de $Σ$
-une unique mesure de Radon $μ_U$ sur $(𝒳;\!𝒱)(U)$
+une unique mesure de Radon $μ_U$ sur $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$
telle que
\[
μ_U(f_U)=∏_{s ∈ Σ} μ_s(f_s),
\]
lorsque $f_U=⊠_s f_s:(x_s)↦ ∏_s f_s(x_s)$,
-où les fonctions $f_s$ appartiennent à $𝒞_c(X_s,𝐂)$
-lorsque $s ∉ U$, et sont dans $𝒞(𝒱_s,𝐂)$
+où les fonctions $f_s$ appartiennent à $𝒞_c(𝒳_s,𝐂)$
+lorsque $s ∉ U$, et sont dans $𝒞_c(𝒱_s,𝐂)=𝒞(𝒱_s,𝐂)$
et presque toutes égales à $𝟭_{𝒱_s}$ lorsque $s ∈ U$.
+(L'expression $μ_s(f_s)$ ci-dessus désigne abusivement, lorsque $s ∈ U$,
+l'intégrale $μ_s({j^{U Σ}_s}_! f_s)$ où ${j^{U Σ}_s}_! f_s$ est le prolongement
+par zéro de $f_s$ à $𝒳_s$.)
+Si $U′ ⊆ U$ est une autre partie cofinie et que l'on
+désigne par ${j^{U U′}}_{\! !} f_U$ le prolongement par zéro
+de $f_U=⊠_s f_s$ à $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$, on a
+$μ_{U′}( {j^{U U′}}_{\! !} f_U)=μ_U(f_U)$. Cela résulte
+de l'unicité de $μ_{U}$ et du fait
+que ${j^{U U′}}_{\! !} (⊠_s f_s) =⊠_s ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations
+évidentes. Soit maintenant $f ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀,𝐂)$.
+D'après l'observation du paragraphe précédent,
+il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ$ tel que $f$
+soit le prolongement par zéro d'une fonction
+$f_U ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),𝐂)$. Le nombre complexe $μ_U(f_U)$
+est indépendant du choix de $U$ d'après ce qui précède.
+On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
+\emph{produit restreint} des mesures $μ_s$.
\subsection{Adèles}
-\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ un ensemble
-\emph{cofini} de places ultramétriques.
-On note $K_𝐀(U)$ l'anneau
-\[
-∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
-\]
-muni de la topologie produit.
-
-
-Prendre garde de ne pas le confondre avec
-\[
-𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U) ⊆ K.
-\]
-
-\[
-K_𝐀=\colim_S K_𝐀(U).
-\]
+\subsubsection{}Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ$
+l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+cofini des places ultramétriques. La construction
+générale précédente nous permet de définir
+le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_s$ relativement
+aux anneaux d'entiers $𝒪_s$ (pour $s ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
+C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{s ∉ U} K_s × ∏_{s ∈ U} 𝒪_s$
+pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
+\emph{anneau des adèles sur $K$}.
+
+\subsubsection{}Pour chaque $s ∈ S$, le corps $K$ se plonge
+naturellement dans $K_s$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
+est $s$-entier pour presque toute place $s ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+Ainsi le morphisme d'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{s ∈ Σ} K_s$
+se factorise à travers un morphisme $K ↪ K_𝐀$, dit
+\emph{plongement canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
+avec son image dans les adèles sur $K$.
+
+\subsubsection{}On prendra garde de ne pas confondre
+l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
+pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
+des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.